11. Transformarea Lorentz în relativitatea specială

Rezultatele ultimelor trei secțiuni arată că incompatibilitatea aparentă a legii propagării luminii cu principiul relativității (Secțiunea 7) a fost derivată printr-o considerație care a împrumutat două ipoteze nejustificabile din mecanica clasică; acestea sunt următoarele:

(1) Intervalul de timp (timpul) dintre două evenimente este independent de starea de mișcare a corpului de referință.

(2) Intervalul de spațiu (distanța) dintre două puncte ale unui corp rigid este independent de starea de mișcare a corpului de referință.

Dacă renunțăm la aceste ipoteze, atunci dispare dilema din Secțiunea 7, deoarece teorema adăugării vitezelor derivată în Secțiunea 6 devine invalidă. Există posibilitatea ca legea propagării luminii în vid să poate fi compatibilă cu principiul relativității și se pune întrebarea: Cum trebuie să modificăm considerentele Secțiunii 6 pentru a elimina dezacordul aparent dintre aceste două rezultate fundamentale de experiență? Această întrebare conduce la una generală. În discuția Secțiunii 6, avem de-a face cu locuri și timpuri legate atât de tren cât și de calea ferată. Cum să găsim locul și timpul unui eveniment în raport cu trenul, când știm locul și timpul evenimentului în raport cu calea ferată? Există un răspuns imaginabil la această întrebare, de o asemenea natură încât legea transmiterii luminii în vid nu contravine principiului relativității? Cu alte cuvinte: putem concepe o relație între locul și timpul evenimentelor individuale față de ambele corpuri de referință, astfel încât fiecare rază de lumină să posede viteza de transmisie c în raport cu calea ferată și în raport cu trenul? Această întrebare conduce la un răspuns pozitiv clar și la o lege de transformare perfect definită pentru magnitudinile spațiu-timp ale unui eveniment când se trece de la un corp de referință la altul.

Înainte de a ne ocupa de acest lucru, vom introduce următoarea considerație incidentală. Până în prezent am considerat doar evenimente care au avut loc de-a lungul căii ferate, care ar fi trebuit să asume în mod matematic funcția unei linii drepte. În modul indicat în Secțiunea 2, putem imagina acest corp de referință suplimentat lateral și într-o direcție verticală prin intermediul unui cadru de tije, astfel încât un eveniment care are loc oriunde poate fi localizat cu referire la acest cadru.

Fig. 2

Similar, putem să ne imaginăm că trenul călătorește cu viteza v continuând pe tot spațiul, astfel încât orice eveniment, indiferent cât de departe poate fi, ar putea fi localizat și în ceea ce privește al doilea cadru. Fără să comitem nicio eroare fundamentală, putem ignora faptul că, în realitate, aceste cadre ar interfera în mod continuu unele cu altele, datorită impenetrabilității corpurilor solide. În fiecare astfel de cadru, ne imaginăm trei suprafețe perpendiculare una pe cealaltă marcate și desemnate drept „planuri de coordonate” („sistem de coordonate”). Un sistem de coordonate K corespunde atunci cu calea ferată și un sistem de coordonate K’ cu trenul. Un eveniment, oriunde ar fi avut loc, ar fi fixat în spațiu în raport cu K prin cele trei perpendiculare x, y, z pe planurile de coordonate și în ceea ce privește timpul cu o valoare de timp t. Relativ la K ‘, același eveniment ar fi fixat în funcție de spațiu și timp prin valorile corespunzătoare x’, y ‘, z’, t ‘, care desigur nu sunt identice cu x, y, z, t. A fost deja prezentat în detaliu modul în care aceste mărimi trebuie privite ca rezultate ale măsurătorilor fizice.

Evident, problema noastră poate fi formulată exact în felul următor. Care sunt valorile x’, y’, z ‘, t’ ale unui eveniment în raport cu K’, când sunt date valorile x, y, z, t ale aceluiași eveniment în raport cu K? Relațiile trebuie alese astfel încât legea transmiterii luminii în vid să fie satisfăcută pentru aceeași rază de lumină (și, bineînțeles, pentru fiecare rază) față de K și K’. Pentru orientarea relativă în spațiu a sistemelor de coordonate indicate în diagramă (Figura 2), această problemă este rezolvată prin intermediul ecuațiilor:

x’ = (x – vt)/√(1 – v²/c²)

y’ = y

z’ = z

t’ = (t – vx/c²)/√(1 – v²/c²)

Acest sistem de ecuații este cunoscut sub numele de „transformarea Lorentz„. 9)

Dacă în loc de legea transmiterii luminii am lua ca bază ipotezele tacite ale mecanicii mai vechi cu privire la caracterul absolut al timpurilor și lungimilor, atunci în locul celor de mai sus ar fi trebuit să obținem următoarele ecuații:

x’ = x – vt

y’ = y

z’ = z

t’ = t

Acest sistem de ecuații este adesea numit „transformarea Galilei„. Transformarea Galilei poate fi obținută din transformarea Lorentz prin înlocuirea unei valori infinit de mari pentru viteza luminii c în ultima transformare.

Ajutați de ilustrarea următoare, putem observa cu ușurință că, în conformitate cu transformarea lui Lorentz, legea transmiterii luminii în vid este îndeplinită atât pentru corpul de referință K, cât și pentru corpul de referință K’. Un semnal luminos este trimis de-a lungul axei x pozitive, iar acest stimul luminos avansează în conformitate cu ecuația

x = ct,

adică cu viteza c. Conform ecuațiilor transformării Lorentz, această relație simplă între x și t implică o relație între x’ și t’. De fapt, dacă înlocuim pentru x valoarea ct în prima și a patra ecuație a transformării Lorentz, obținem:

x’ = (c – v)t/√(1 – v²/c²)

y’ = y

z’ = z

t’ = (1 – v/c)t/√(1 – v²/c²)

din care, prin diviziune, obținem imediat expresia

x’ = ct’

Dacă se face referire la sistemul K’, propagarea luminii are loc în conformitate cu această ecuație. Astfel vedem că viteza de transmisie față de corpul de referință K’ este, de asemenea, egală cu c. Același rezultat este obținut pentru razele de lumină care avansează în orice altă direcție. Bineînțeles că acest lucru nu este surprinzător, deoarece ecuațiile transformării Lorentz au fost derivate în mod conform cu acest punct de vedere.

Anexa 1 Derivarea simplă a transformării Lorentz (suplimentar la Secțiunea 11)

Pentru orientarea relativă a sistemelor de coordonate indicate în figura 2, axele x ale ambelor sisteme coincid permanent. În cazul de față, putem împărți problema în părți considerând întâi numai evenimente care sunt localizate pe axa x. Orice astfel de eveniment este reprezentat cu privire la sistemul de coordonate K prin abscisa x și timpul t și în ceea ce privește sistemul K’ prin abscisa x’ și timpul t’. Trebuie să găsim x’ și t’ când x și t sunt date.

Un semnal luminos, care se desfășoară de-a lungul axei pozitive a lui x, este transmis în conformitate cu ecuația

x = xt

x – ct = 0 (1).

Deoarece același semnal luminos trebuie transmis în raport cu K’ cu viteza c, propagarea relativă față de sistemul K’ va fi reprezentată de formula analogă

x’ – ct’ = 0 (2)

Acele puncte spațiu-timp (evenimente) care satisfac (1) trebuie, de asemenea, să satisfacă (2). Evident, acest lucru va fi cazul atunci când relația

(x’ – ct’) = λ(x – ct) (3).

este îndeplinită în general, unde λ indică o constantă; pentru că, în conformitate cu (3), dispariția (x – ct) implică dispariția lui (x’ – ct’).

Dacă aplicăm considerații similare cu razele de lumină care sunt transmise de-a lungul axei x negative, obținem condiția

(x’ + ct’) = μ(x + ct) (4).

Prin adăugarea (sau scăderea) ecuațiilor (3) și (4) și introducerea pentru conveniență a constantelor a și b în locul constantelor λ și μ, unde

a = (λ + μ)/2

și

b = (λ – μ)/2

obținem ecuațiile

x’ = ax – bct (5)

ct’ = act – bx (5)

Ar trebui deci să avem soluția problemei noastre, dacă constantele a și b sunt cunoscute. Acestea rezultă din următoarea discuție.

Pentru originea lui K’ avem permanent x’ = 0 și, prin urmare, conform primei ecuații (5)

x = (bc/a)t

Dacă numim v viteza cu care originea lui K’ se mișcă relativ la K, atunci avem

v = bc/a (6)

Aceeași valoare v poate fi obținută din ecuațiile (5), dacă se calculează viteza unui alt punct K’ față de K, sau viteza (direcționată spre axa x negativă) a unui punct K față de K’ . Pe scurt, putem desemna v ca viteza relativă a celor două sisteme.

În plus, principiul relativității ne învață că, văzută din K, lungimea unei bare ca unitare de măsură care se află în stare de repaus cu referire la K’ trebuie să aibă exact aceeași lungime ca cea văzută din K’ a unei bare ca unitare de măsură care se află în stare de repaus față de K. Pentru a vedea cum apar punctele de pe axa x vizualizate din K, trebuie să luăm doar un „instantaneu” al lui K’ din K; acest lucru înseamnă că trebuie să inserăm o anumită valoare a lui t (timpul lui K), de ex. t = 0. Pentru această valoare a lui t obținem apoi din prima ecuație (5)

x’ = ax

Două puncte ale axei x care sunt separate de distanța Δx’ = 1 atunci când sunt măsurate în sistemul K’ sunt astfel separate în fotografia noastră instantanee de distanța

Δx = 1/a (7)

Dar dacă instantaneul este luat din K'(t’ = 0) și dacă eliminăm t din ecuațiile (5), luând luând în considerare expresia (6), obținem

x’ = a(1 – v²/c²)x

Din aceasta conchidem că două puncte pe axa x separate de distanța 1 (relativ la K) vor fi reprezentate în instantaneul nostru de distanța

Δx’ = a(1 – v²/c²) (7a)

Dar din ceea ce s-a spus, cele două instantanee trebuie să fie identice; prin urmare, Δx în (7) trebuie să fie egală cu Δx’ în (7a), astfel încât să obținem

a = 1/√(1 – v²/c²) (7b)

Ecuațiile (6) și (7b) determină constantele a și b. Prin introducerea valorilor acestor constante în (5), obținem prima și a patra dintre ecuațiile date în Secțiunea 11.

x’ = (x – vt)/√(1 – v²/c²) (8)

t’ = (t – (v/c²)x)/√(1 – v²/c²) (8)

Astfel, am obținut transformarea Lorentz pentru evenimente pe axa x. Aceasta satisface condiția

x’² – c²t² = x² – c²t²(8a).

Extinderea acestui rezultat, pentru a include evenimente care au loc în afara axei x, se obține prin păstrarea ecuațiilor (8) și completarea acestora de către relațiile

y’ = y (9)

z’ = z (9)

În acest fel satisfacem postulatul constanței vitezei luminii în vid pentru razele de lumină ale direcției arbitrare, atât pentru sistemul K, cât și pentru sistemul K’. Acest lucru poate fi arătat în modul următor.

Presupunem că un semnal luminos trimis de la originea lui K la momentul t = 0. Va fi propagat conform ecuației

r = √(x² + y² + z²) = ct

sau, dacă ridicăm la pătrat această ecuație, conform ecuației

x² + y² + z² – c²t² = 0 (10)

Legea propagării luminii, coroborată cu postulatul relativității, impune ca transmisia semnalului în cauză ar trebui să aibă loc – așa cum este văzută din K’ – în conformitate cu formula corespunzătoare

r’ = ct’

sau,

x’² + y’² + z’² – c²t’² = 0 (10a ).

Pentru ca ecuația (10a) să fie o consecință a ecuației (10), trebuie să avem

x’² + y’² + z’² – c²t’² = s (x² + y² + z² – c²t²) (11).

Deoarece ecuația (8a) trebuie să fie valabilă pentru punctele de pe axa x, avem astfel s = 1. Este ușor de observat că transformarea Lorentz într-adevăr satisface ecuația (11) pentru s = 1; pentru (11) este o consecință a ecuațiilor (8a) și (9) și, prin urmare, și a ecuațiilor (8) și (9). Astfel, am obținut transformarea Lorentz.

Transformarea Lorentz reprezentată de (8) și (9) necesită încă generalizare. Evident, nu contează dacă axele lui K’ sunt alese astfel încât să fie paralele spațial cu cele ale lui K. De asemenea, nu este esențial ca viteza de translație a lui K’ în raport cu K să fie în direcția axei x . O analiză simplă arată că suntem capabili să construim transformarea Lorentz în acest sens general pornind de la două tipuri de transformări, și anume: din transformările Lorentz în sens special și din transformări pur spațiale. care corespund înlocuirii sistemului de coordonate rectangulare cu un nou sistem, cu axele acestuia îndreptate în alte direcții.

Matematic, putem caracteriza transformarea generalizată Lorentz astfel:

Ea exprimă x’, y’, z’, t’ în termeni de funcții lineare omogene ale lui x, y, x, t, astfel ăncât relația

x’² + y’² + z’² – c²t’² = x² + y² + z² – c²t² (11a)

este satisfăcut identic. Cu alte cuvinte, dacă înlocuim expresiile lor în x, y, z, t, în loc de x’, y’, z’, t’, în partea stângă, atunci partea stângă a (11a ) este de egală cu partea dreaptă.