A treia lege a lui Kepler

Primele două legi ale mișcării planetare ale lui Kepler descriu forma orbitei unei planete și ne permit să calculăm viteza mișcării sale în orice punct al orbitei. Kepler a fost încântat să fi descoperit astfel de reguli fundamentale, dar ele nu i-au satisfăcut încercarea de a înțelege pe deplin mișcările planetare. El a vrut să știe de ce orbitele planetelor sunt distanțate așa cum sunt și să găsească un model matematic în mișcările lor – o „armonie a sferelor”, așa cum o numea el. Timp de mulți ani, a lucrat pentru a descoperi relații matematice care guvernează distanța dintre planete și timpul necesar fiecărei planete pentru a înconjura Soarele.

În 1619, Kepler a descoperit o relație de bază pentru a lega orbitele planetelor de distanța lor relativă de la Soare. Definim perioada orbitală a unei planete, (P), ca timpul necesar unei planete pentru a călători o dată în jurul Soarelui. De asemenea, amintiți-vă că semiaxa mare a unei planete, a, este egală cu distanța medie de la Soare. Relația, cunoscută acum sub numele de a treia lege a lui Kepler, spune că perioada orbitală a unei planete la pătrat este proporțională cu semiaxa majoră a orbitei sale, sau

P² ∝ a³

Când P (perioada orbitală) se măsoară în ani și a este exprimat într-o cantitate cunoscută ca unitate astronomică (UA), cele două părți ale formulei nu sunt doar proporționale, ci chiar egale. O UA este distanța medie dintre Pământ și Soare și este aproximativ egală cu 1,5 × 10⁸ kilometri. În aceste unități,

P² = a³

A treia lege a lui Kepler se aplică tuturor obiectelor care orbitează în jurul Soarelui, inclusiv Pământul, și oferă un mijloc de calculare a distanțelor relative de la Soare din momentul în care orbitează. Să ne uităm la un exemplu specific pentru a ilustra cât de utilă este a treia lege a lui Kepler.

De exemplu, să presupunem că cronometrați cât timp îi ia lui Marte să se învârtă în jurul Soarelui (în anii Pământului). A treia lege a lui Kepler poate fi apoi folosită pentru a calcula distanța medie a lui Marte față de Soare. Perioada orbitală a lui Marte (1,88 ani pământeni) la pătrat, sau P², este 1,882 = 3,53 și, conform ecuației pentru cea de-a treia lege a lui Kepler, aceasta este egală cu cubul semiaxei sale majore, sau a³. Deci, ce număr trebuie ridicat la cub pentru a da 3,53? Răspunsul este 1,52 (din moment ce 1,52 × 1,52 × 1,52 = 3,53). Astfel, semiaxa majoră a lui Marte în unități astronomice trebuie să fie de 1,52 UA. Cu alte cuvinte, pentru a face ocolul Soarelui în puțin mai puțin de doi ani, Marte trebuie să fie cu aproximativ 50% (din nou jumătate) cât de departe de Soare este Pământul.

EXEMPLUL 3.1 Calculul perioadelor Imaginați-vă că un obiect călătorește în jurul Soarelui. Care ar fi perioada orbitală a obiectului dacă orbita lui are o semiaxă majoră de 50 UA? Soluție Din a treia lege a lui Kepler, știm că (atunci când folosim unitățile de ani și AU) P2 = a3 Dacă orbita obiectului are o semiaxă majoră de 50 AU (a = 50), putem ridica la cub 50 și apoi extragem rădăcina pătrată a rezultatului pentru a obține P: P = √a3 P = √(50 × 50 × 50) = √125.000 = 353,6 ani Prin urmare, perioada orbitală a obiectului este de aproximativ 350 de ani. Acest lucru ar plasa obiectul nostru ipotetic dincolo de orbita lui Pluto. Exercițiu Care ar fi perioada orbitală a unui asteroid (o bucată stâncoasă între Marte și Jupiter) cu o semiaxă majoră de 3 UA? Răspuns: P=√(3 × 3 × 3) = √27 = 5,2 ani

 

Cele trei legi ale mișcării planetare ale lui Kepler pot fi rezumate după cum urmează:

• Prima lege a lui Kepler: Fiecare planetă se mișcă în jurul Soarelui pe o orbită care este o elipsă, cu Soarele în un focar al elipsei.
• A doua lege a lui Kepler: Linia dreaptă care unește o planetă și Soarele mătură zone egale în spațiu în intervale de timp egale.
• A treia lege a lui Kepler: Pătratul perioadei orbitale a unei planete este direct proporțional cu cubul semiaxei majore a orbitei sale.

Cele trei legi ale lui Kepler oferă o descriere geometrică precisă a mișcării planetare în cadrul sistemului copernican. Cu aceste instrumente, a fost posibil să se calculeze pozițiile planetare cu o precizie mult îmbunătățită. Totuși, legile lui Kepler sunt pur descriptive: ele nu ne ajută să înțelegem ce forțe ale naturii constrâng planetele să urmeze acest set particular de reguli. Acest pas i-a fost lăsat lui Isaac Newton.

EXEMPLUL 3.2 Aplicarea celei de-a treia legi a lui Kepler Folosind perioadele orbitale și semi-axele majore pentru Venus și Pământ care sunt furnizate aici, calculați P2 și a3 și verificați dacă respectă a treia lege a lui Kepler. Perioada orbitală a lui Venus este de 0,62 ani, iar semiaxa sa majoră este de 0,72 UA. Perioada orbitală a Pământului este de 1,00 an, iar semiaxa sa majoră este de 1,00 UA. Soluție Putem folosi ecuația pentru a treia lege a lui Kepler, P2 ∝ a3. Pentru Venus, P2 = 0,62 × 0,62 = 0,38 și a3 = 0,72 × 0,72 × 0,72 = .037 (rotunjirea numerelor cauzează uneori discrepanțe minore ca aceasta). Pătratul perioadei orbitale (0,38) aproximează cubul semiaxei majore (0,37). Prin urmare, Venus respectă a treia lege a lui Kepler. Pentru Pământ, P2 = 1,00 × 1,00 = 1,00 și a3 = 1,00 × 1,00 × 1,00 = 1,00. Pătratul perioadei orbitale (1,00) aproximează (în acest caz, egal) cubul semiaxei majore (1,00). Prin urmare, Pământul respectă a treia lege a lui Kepler. Exercițiu Folosind perioadele orbitale și semiaxele majore pentru Saturn și Jupiter care sunt furnizate aici, calculați P2 și a3 și verificați dacă respectă a treia lege a lui Kepler. Perioada orbitală a lui Saturn este de 29,46 ani, iar semiaxa sa majoră este de 9,54 UA. Perioada orbitală a lui Jupiter este de 11,86 ani, iar semiaxa sa majoră este de 5,20 UA. Răspuns: Pentru Saturn, P2 = 29,46 × 29,46 = 867,9 și a3 = 9,54 × 9,54 × 9,54 = 868,3. Pătratul perioadei orbitale (867,9) aproximează cubul semiaxei majore (868,3). Prin urmare, Saturn respectă a treia lege a lui Kepler.

 

Sursa: Astronomy 2e, by OpenStax, access for free at https://openstax.org. ©2020 Rice University, licența CC BY 4.0. Traducere și adaptare: Nicolae Sfetcu, © 2025 MultiMedia Publishing