Acele ceasornicului

Există treizeci și șase de perechi de inversări când acele schimbă exact pozițiile între orele trei. și miezul nopții. Numărul de perechi de inversări de la orice oră (n) la miezul nopții este suma a 12 – (n + 1) numere naturale. În cazul de față n = 3; deci 12 – (3 + 1) = 8 și 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36, răspunsul necesar.

Prima pereche de inversări este la ora 3 și 21 ⁵⁷/₁₄₃ min. și ora 4 și 16 ¹¹²/₁₄₃ min., iar ultima pereche este la ora 10 și 59 ⁸³/₁₄₃ min. și ora 11 și 54 ¹³⁸/₁₄₃ min. Nu voi arăta aici toate cele treizeci și șase de perechi de inversări, dar voi furniza o formulă prin care oricare dintre cele șaizeci și șase de perechi care apar de la amiază până la miezul nopții poate fi găsită imediat:

Ora A și (720b + 60a)/143 minute și ora B și (720a + 60b)/143 minute

Litera A poate fi înlocuită cu orice oră de la 0, 1, 2, 3 până la 10 (unde 0 este miezul zilei, ora 12) iar B poate reprezenta orice oră, mai târziu de A, până la ora 11.

Cu ajutorul acestei formule este ușor de găsit răspunsul la a doua întrebare: A = 8 și B = 11 va da perechea de ora 8 și 58 ¹⁰⁶/₁₄₃ min. și ora 11 și 44 ¹²⁸/₁₄₃ min., ultima oră fiind momentul în care minutarul este cel mai apropiat de punctul IX de pe ceas – de fapt, este la o diferență de numai ¹⁵/₁₄₃ minute.

Cititorii pot considera că este instructiv să facă un tabel al tuturor celor șaizeci și șase de perechi de inversări în care se schimbă acele unui ceas. O modalitate ușoară este după cum urmează: Faceți o coloană pentru prima oră și o a doua coloană pentru ora a doua a perechilor. Făcând A = 0 și B = 1 în expresiile de mai sus, găsim primul caz și introduceți ora 0 și 5 ⁵/₁₄₃ min. în partea de sus a primei coloane și ora 1 și 0 ⁶⁰/₁₄₃ min. în partea de sus a celei de-a doua coloane. Acum, prin adăugarea succesivă de ⁵⁵/₁₄₃ min. în prima coloană și 1 oră și 0 ⁶⁰/₁₄₃ min. în cea de-a doua coloană, obținem toate cele unsprezece perechi în care primul timp este un anumit număr de minute după miezul nopții, sau la miezul zilei. Apoi, există un „salt” în timp, dar puteți găsi perechea următoare făcând A = 1 și B = 2 și apoi adăugând succesiv aceste două perioade de timp ca înainte veți obține cele zece perechi după ora 1 . Apoi, există un alt „salt”, și veți putea obține prin adăugare toate cele nouă perechi după ora 2. Și așa mai departe până la capăt. Voi lăsa cititorii să investigheze pentru ei înșiși natura și cauza „salturilor”. În acest fel obținem, pentru orele succesive, 11 + 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 66 de perechi de inversări, rezultatul fiind de acord cu formula din primul paragraf al acestui articol.