Dimensiunea oricărei mărimi fizice exprimă dependența sa de mărimile de bază ca un produs al simbolurilor (sau puterilor simbolurilor) reprezentând mărimile de bază. Tabelul 1.3 enumeră mărimile de bază și simbolurile utilizate pentru dimensiunea lor. De exemplu, se spune că o măsurătoare a lungimii are dimensiunea L sau L1, o măsurătoare a masei are dimensiunea M sau M1, iar o măsurătoare a timpului are dimensiunea T sau T1. La fel ca unitățile, dimensiunile respectă regulile algebrei. Astfel, aria este produsul a două lungimi și deci are dimensiunea L2, sau pătratul lungimii. În mod similar, volumul este produsul a trei lungimi și are dimensiunea L3, sau cubul lungimii. Viteza are dimensiunea lungime pe timp, L/T sau LT–1. Densitatea de masă volumetrică are dimensiunea M/L3 sau ML–3, sau masa pe cubul lungimii. În general, dimensiunea oricărei mărimi fizice poate fi scrisă ca LaMbTcIdΘeNfJg pentru unele puteri a,b,c,d,e,f și g. Putem scrie dimensiunile unei lungimi în această formă cu a = 1 și cele șase puteri rămase egale cu zero: L1 = L1M0T0I0Θ0N0J0. Orice mărime cu o dimensiune care poate fi scrisă astfel încât toate cele șapte puteri să fie zero (adică dimensiunea sa este L0M0T0I0Θ0N0J0) se numește adimensională (sau uneori „de dimensiunea 1”, deoarece orice lucru ridicat la puterea zero este unul). Fizicienii numesc adesea cantitățile fără dimensiune numere pure.
Cantitatea de bază | Simbol pentru dimensiune |
Lungimea | L |
Masa | M |
Timpul | T |
Curentul | I |
Temperatura termodinamică | Θ |
Cantitatea de substanță | N |
Intensitatea luminoasă | J |
Tabelul 1.3 Cantitățile de bază și dimensiunile lor
Fizicienii folosesc adesea paranteze pătrate în jurul simbolului pentru o mărime fizică pentru a reprezenta dimensiunile acelei mărimi. De exemplu, dacă r este raza unui cilindru și h este înălțimea acestuia, atunci scriem [r] = L și [h] = L pentru a indica dimensiunile razei și înălțimii, ambele fiind se lungime, L. În mod similar , dacă folosim simbolul A pentru suprafața unui cilindru și V pentru volumul acestuia, atunci [A] = L2 și [V] = L3. Dacă folosim simbolul m pentru masa cilindrului și ρ pentru densitatea materialului din care este realizat cilindrul, atunci [m] = M și [ρ] = ML−3.
Importanța conceptului de dimensiune provine din faptul că orice ecuație matematică implicând mărimi fizice trebuie să fie consecventă dimensional, ceea ce înseamnă că ecuația trebuie să respecte următoarele reguli:
- Fiecare termen dintr-o expresie trebuie să aibă aceleași dimensiuni; nu are sens să adăugați sau să scădeți cantități de dimensiuni diferite (gândiți-vă la vechea zicală: „Nu puteți aduna mere și portocale”). În special, expresiile de pe fiecare parte a egalității dintr-o ecuație trebuie să aibă aceleași dimensiuni.
- Argumentele oricăreia dintre funcțiile matematice standard, cum ar fi funcțiile trigonometrice (cum ar fi sinusul și cosinusul), logaritmii sau funcțiile exponențiale care apar în ecuație trebuie să fie adimensionale. Aceste funcții necesită numere pure ca intrări și dau numere pure ca ieșiri.
Dacă oricare dintre aceste reguli este încălcată, o ecuație nu este consecventă dimensional și nu poate fi o declarație corectă a legii fizice. Acest fapt simplu poate fi folosit pentru a verifica greșelile de scriere sau de algebră, pentru a ajuta la amintirea diferitelor legi ale fizicii și chiar pentru a sugera forma pe care noile legi ale fizicii le-ar putea lua. Această ultimă utilizare a dimensiunilor depășește domeniul de aplicare al acestui text, dar este ceva ce, fără îndoială, veți învăța mai târziu în cariera dvs. academică.
EXEMPLUL 1.4
Utilizarea dimensiunilor pentru a ne aminti o ecuație Să presupunem că avem nevoie de formula pentru aria unui cerc pentru anumite calcule. La fel ca mulți oameni care au învățat geometria cu prea mult timp în urmă pentru a-și aminti cu certitudine, ne pot apărea în minte două expresii atunci când ne gândim la cercuri: πr2 și 2πr. O expresie este circumferința unui cerc cu raza r, iar cealaltă este aria acestuia. Dar care este care? Strategie O strategie naturală este să o căutați, dar acest lucru ar putea dura timp pentru a găsi informații dintr-o sursă de încredere. În plus, chiar dacă credem că sursa este de încredere, nu ar trebui să avem încredere în tot ceea ce citim. Este frumos să ai o modalitate de a verifica din nou doar gândindu-te la asta. De asemenea, s-ar putea să ne aflăm într-o situație în care nu putem căuta lucrurile (cum ar fi în timpul unui test). Astfel, strategia este de a găsi dimensiunile ambelor expresii utilizând faptul că dimensiunile urmează regulile algebrei. Dacă niciuna dintre expresii nu are aceleași dimensiuni ca aria, atunci nu poate fi ecuația corectă pentru aria unui cerc. Soluție Știm că dimensiunea ariei este L2. Acum, dimensiunea expresiei πr2 este [πr2] = [π]⋅[r]2 = 1⋅L2 = L2,întrucât constanta π este un număr pur și raza r este o lungime. Prin urmare, πr2 are dimensiunea ariei. În mod similar, dimensiunea expresiei 2πr este [2πr] = [2]⋅[π]⋅[r] = 1⋅1⋅L = L,întrucât constantele 2 și π sunt ambele adimensionale și raza r este o lungime. Vedem că 2πr are dimensiunea lungimii, ceea ce înseamnă că nu poate fi o arie. Excludem 2πr deoarece nu este în concordanță dimensional cu a fi o arie. Vedem că πr2 este dimensional în concordanță cu a fi o arie, așa că dacă trebuie să alegem între aceste două expresii, πr2 este cea pe care o putem alege. Semnificație Acesta poate părea un fel de exemplu naiv, dar ideile sunt foarte generale. Atâta timp cât cunoaștem dimensiunile mărimilor fizice individuale care apar într-o ecuație, putem verifica pentru a vedea dacă ecuația este consecventă dimensional. Pe de altă parte, știind că ecuațiile adevărate sunt consistente dimensional, putem potrivi expresiile din amintirile noastre imperfecte cu cantitățile pentru care ar putea fi expresii. Făcând acest lucru nu ne va ajuta să ne amintim factorii adimensionali care apar în ecuații (de exemplu, dacă ați combinat accidental cele două expresii din exemplu în 2πr2, atunci analiza dimensională nu este de ajutor), dar ne ajută să ne amintim forma de bază corectă. a ecuațiilor. |
EXERCIȚIUL 1.5
Să presupunem că vrem formula pentru volumul unei sfere. Cele două expresii menționate în mod obișnuit în discuțiile elementare despre sfere sunt 4πr2 și 4πr3/3. Una este volumul unei sfere cu raza r, iar cealaltă este aria suprafeței acesteia. Care din ele este volumul? |
EXEMPLUL 1.5
Verificarea ecuațiilor pentru consistența dimensională Luați în considerare mărimile fizice s, v, a și t cu dimensiunile [s] = L, [v] = LT−1, [a] = LT−2 și [t] = T. Determinați dacă fiecare dintre următoarele ecuații este consecventă dimensional: (a) s = vt + 0,5at2; (b) s = vt2 + 0,5at; și (c) v = sin(at2/s). Strategie Prin definiția consistenței dimensionale, trebuie să verificăm că fiecare termen dintr-o ecuație dată are aceleași dimensiuni ca ceilalți termeni din ecuația respectivă și că argumentele oricăror funcții matematice standard sunt adimensionale. Soluție a. Nu există funcții trigonometrice, logaritmice sau exponențiale de care să ne facem griji în această ecuație, așa că trebuie doar să ne uităm la dimensiunile fiecărui termen care apare în ecuație. Există trei termeni, unul în expresia din stânga și doi în expresia din dreapta, așa că ne uităm la fiecare pe rând: [s] = L [vt] = [v]⋅[t] = LT−1⋅T = LT0 = L [0.5at2] = [a]⋅[t]2 = LT−2⋅T2 = LT0 = L.Toți cei trei termeni au aceeași dimensiune, deci această ecuație este consecventă dimensional. b. Din nou, nu există funcții trigonometrice, exponențiale sau logaritmice, așa că trebuie doar să ne uităm la dimensiunile fiecăruia dintre cei trei termeni care apar în ecuație: [s] = L[vt2] = [v]⋅[t]2 = LT−1⋅T2 = LT[at] = [a]⋅[t] = LT−2⋅T = LT−1.Niciunul dintre cei trei termeni nu are aceeași dimensiune ca oricare din ceilalți termeni, așa că este departe de a fi consistentă dimensional. Din punct de vedere tehnic o astfel de ecuație este un nonsens. c. Această ecuație are o funcție trigonometrică în ea, așa că mai întâi ar trebui să verificăm dacă argumentul funcției sinus este adimensional: [at2s] = [a]⋅[t]2[s] = LT−2⋅T2L = LL = 1.Argumentul este adimensional. Până acum, este bine. Acum trebuie să verificăm dimensiunile fiecăruia dintre cei doi termeni (adică expresia din stânga și expresia din dreapta) din ecuație: [v] = LT−1 [sin(at2s)] = 1.Cei doi termeni au dimensiuni diferite – ceea ce înseamnă că ecuația nu este consecventă dimensional. Această ecuație este un alt exemplu de „nonsens”. Semnificație Dacă avem încredere în oameni, aceste tipuri de verificări dimensionale ar putea părea inutile. Dar, fiți siguri, orice manual despre un subiect cantitativ precum fizica (inclusiv acesta) conține aproape sigur niște ecuații cu greșeli de scriere. Verificarea de rutină a ecuațiilor prin analiză dimensională ne scutește de jena de a folosi o ecuație incorectă. De asemenea, verificarea dimensiunilor unei ecuații pe care le obținem prin manipulare algebrică este o modalitate excelentă de a ne asigura că nu am făcut o greșeală (sau de a identifica o greșeală, dacă am făcut una). |
EXERCIȚIUL 1.6
Este ecuația v = at consistentă dimensional? |
Un alt punct care trebuie menționat este efectul operațiilor de calcul asupra dimensiunilor. Am văzut că dimensiunile se supun regulilor algebrei, la fel ca unitățile, dar ce se întâmplă atunci când luăm derivata unei mărimi fizice față de alta sau integrăm o mărime fizică peste alta? Derivata unei funcții este doar panta dreptei tangente la graficul acesteia, iar pantele sunt rapoarte, deci pentru mărimile fizice v și t, avem că dimensiunea derivatei lui v față de t este doar raportul dimensiunii a lui v peste cea a lui t:
[dv/dt] = [v]/[t].În mod similar, deoarece integralele sunt doar sume de produse, dimensiunea integralei lui v în raport cu t este pur și simplu dimensiunea lui v ori dimensiunea lui t:
[∫vdt] = [v]⋅[t].Prin același raționament, reguli analoge sunt valabile pentru unitățile de mărimi fizice derivate din alte mărimi prin integrare sau diferențiere.
Sursa: Physics, University Physics (OpenStax), https://openstax.org/books/university-physics-volume-1/pages/1-introductionacces gratuit sub licență CC BY 4.0. Traducere și adaptare de Nicolae Sfetcu
© 2022 MultiMedia Publishing, Fizica, Volumul 1
Lasă un răspuns