Canale cuantice

În teoria informației cuantice, un canal cuantic este un canal de comunicație care poate transmite informații cuantice, precum și informații clasice. Un exemplu de informație cuantică este dinamica generală a unui qubit. Un exemplu de informație clasică este un document text transmis prin internet.

Din punct de vedere terminologic, canalele cuantice sunt hărți complet pozitive (CP) care păstrează urme între spații de operatori. Cu alte cuvinte, un canal cuantic este doar o operație cuantică privită nu doar ca dinamica redusă a unui sistem, ci ca o conductă destinată transportării informațiilor cuantice. (Unii autori folosesc termenul „operație cuantică” pentru a include hărți care descresc urmele, rezervând în același timp „canal cuantic” pentru hărțile care păstrează strict urmele.[1])

Canal cuantic fără memorie

Vom presupune pentru moment că toate spațiile de stare ale sistemelor considerate, clasice sau cuantice, sunt finit-dimensionale.

Fără memorie din titlul secțiunii are același sens ca în teoria informației clasice: ieșirea unui canal la un moment dat depinde doar de intrarea corespunzătoare și nu de cele anterioare.

Imagine Schrödinger

Luați în considerare canalele cuantice care transmit doar informații cuantice. Aceasta este tocmai o operație cuantică, ale cărei proprietăți le rezumăm acum.

Fie H_A și H_B spațiile de stare (spații Hilbert finit-dimensionale) ale capetelor de emitere și respectiv recepție ale unui canal. L(H_A) va denota familia de operatori pe H_A. În imaginea Schrödinger, un canal pur cuantic este o aplicație Φ între matricile de densitate care acționează asupra H_A și H_B cu următoarele proprietăți:[2]

1. Conform postulatelor mecanicii cuantice, Φ trebuie să fie liniară.
2. Deoarece matricile de densitate sunt pozitive, Φ trebuie să păstreze conul elementelor pozitive. Cu alte cuvinte, Φ este o aplicație pozitivă.
3. Dacă o ancilă de dimensiune finită arbitrară n este cuplată la sistem, atunci aplicația indusă I_n ⊗ Φ, unde I_n este aplicația de identitate pe ancilă, trebuie să fie, de asemenea, pozitivă. Prin urmare, este necesar ca I_n ⊗ Φ să fie pozitivă pentru orice n. Astfel de aplicații sunt numite complet pozitive.
4. Matricile de densitate sunt specificate ca având urme 1, deci Φ trebuie să păstreze urmele.

Adjectivele complet pozitiv și păstrând urmele folosite pentru a descrie o aplicație sunt uneori abreviate CPTP. În literatura de specialitate, uneori a patra proprietate este slăbită astfel încât Φ este necesar doar să nu fie crescător în urme. În acest articol, se va presupune că toate canalele sunt CPTP.

Imaginea Heisenberg

Matricile de densitate care acționează asupra H_A constituie doar un subset propriu al operatorilor de pe H_A și același lucru se poate spune și despre sistemul B. Cu toate acestea, odată ce este specificată o aplicație liniară Φ între matricile de densitate, un argument standard de liniaritate, împreună cu presupunerea finit-dimensională, ne permit să extindem Φ în mod unic la întregul spațiu al operatorilor. Aceasta duce la aplicația adjunctă Φ^∗, care descrie acțiunea lui Φ în imaginea Heisenberg:[3]

Spațiile operatorilor L(H_A) și L(H_B) sunt spații Hilbert cu produsul intern Hilbert-Schmidt. Prin urmare, considerând Φ : L(H_A) → L(H_B) ca o aplicație între spații Hilbert, obținem adjunctul său Φ^* dat de

⟨A,Φ(ρ)⟩ = ⟨Φ∗(A),ρ⟩.

În timp ce Φ transferă stările de pe A la cele de pe B, Φ^∗ mapează observabilele de pe sistemul B la observabilele de pe A. Această relație este aceeași cu cea dintre descrierile dinamicii ale lui Schrödinger și Heisenberg. Statisticile de măsurare rămân neschimbate indiferent dacă observabilele sunt considerate fixe în timp ce stările sunt supuse unor operațiuni sau invers.

Se poate verifica direct că, dacă se presupune că Φ păstrează urmele, Φ^∗ este unitară, adică, Φ^∗(I) = I. Din punct de vedere fizic, aceasta înseamnă că, în imaginea Heisenberg, observabilul trivial rămâne trivial după aplicarea canalului.

Informații clasice

Până acum am definit doar un canal cuantic care transmite doar informații cuantice. Așa cum s-a menționat în introducere, intrarea și ieșirea unui canal pot include și informații clasice. Pentru a descrie acest lucru, formularea dată până acum trebuie generalizată oarecum. Un canal pur cuantic, în imaginea lui Heisenberg, este o aplicație liniară Ψ între spații de operatori:

Ψ : L(H_B) → L(H_A)

care este unitară și complet pozitivă (CP). Spațiul operatorilor poate fi privit ca algebre C* finit-dimensionale. Prin urmare, putem spune că un canal este o aplicație CP unitară între algebre C*:

Ψ : B → A.

Informațiile clasice pot fi apoi incluse în această formulare. Observabilele unui sistem clasic pot fi considerate a fi o algebră C* comutativă, adică spațiul funcțiilor continue C(X) pe o mulțime X. Presupunem că X este finit, deci C(X) poate fi identificat cu spațiul euclidian n-dimensional Rⁿ cu multiplicare la intrare.

Prin urmare, în imaginea Heisenberg, dacă informația clasică face parte din ea, să zicem, din intrare, am defini B pentru a include observabilele clasice relevante. Un exemplu în acest sens ar fi un canal

Ψ : L(H_B) ⊗ C(X) → L(H_A).

Observați L(HB) ⊗ C(X) este încă o algebră C*. Un element a al unei algebre C* A se numește pozitiv dacă a = x∗x pentru un anumit x. Pozitivitatea unei aplicații este definită în consecință. Această caracterizare nu este universal acceptată; instrumentul cuantic este uneori dat drept cadrul matematic generalizat pentru transmiterea atât a informațiilor cuantice, cât și a celor clasice. În axiomatizările mecanicii cuantice, informația clasică este transportată într-o algebră Frobenius sau o categorie Frobenius.

(Include texte traduse și adaptate din Wikipedia de Nicolae Sfetcu)