Cele trei oi

de Nicolae Sfetcu | postat în: Amuzamente matematice | 0

Un fermier avea trei oi și un aranjament format din șaisprezece țarcuri, împărțite prin obstacole, în modul indicat în ilustrație. În câte feluri diferite ar putea așeza oile respective, fiecare într-un țarc separat, astfel încât fiecare țarc să fie fie ocupat sau să fie în linie (orizontal, vertical, sau în diagonală) cu cel puțin o oaie? Am dat un aranjament care îndeplinește condițiile. Câte altele puteți găsi? Simplele inversări și reflecții nu trebuie considerate ca fiind diferite. Șahișii pot considera oile ca regine. Problema este apoi să plasați cele trei regine astfel încât fiecare pătrat să fie ocupat sau atacat de cel puțin o regină – în numărul maxim de moduri diferite.

Numărul diferitelor moduri în care cele trei oi pot fi așezate astfel încât fiecare țarc să fie întotdeauna ocupat sau în linie cu cel puțin o oaie este de patruzeci și șapte.

Următorul tabel, dacă este folosit cu cheia din diagrama 1, va permite cititorului să le plaseze în toate aceste moduri:

Două oi.     Trei oi.                                 Nr. de moduri.
A și B         C, E, G, K, L, N, sau P       7
A și C         I, J, K, sau O                      4
A și D         M, N, sau J                         3
A și F         J, K, L, sau P                      4
A și G         H, J, K, N, O, sau P           6
A și H         K, L, N, sau O                   4
A și O         K sau L                              2
B și C         N                                        1
B și E         F, H, K, sau L                     4
B și F         G, J, N, sau O                     4
B și G         K, L, sau N                         3
B și H         J sau N                               2
B și J          K sau L                               2
F și G         J                                         1
–––––––––––––––
47

Desigur, asta înseamnă că dacă așezați oile în țarcurile marcate A și B, atunci există șapte țarcuri diferite în care puteți plasa a treia oaie, oferind șapte soluții diferite. S-a înțeles că inversările și reflecțiile nu sunt considerate ca fiind diferite.

Dacă cel puțin un țarc trebuie să nu fie în linie cu o oaie, ar exista treizeci de soluții la această problemă. Dacă am considera toate inversările și reflecțiile acestor 47 și respectiv 30 de cazuri, ca diferite, totalul lor ar fi de 560, ceea ce reprezintă numărul de moduri diferite prin care oile poate fi plasată în trei țarcuri fără nicio condiție. Voi remarca faptul că există trei moduri prin care două oi pot fi așezate astfel încât fiecare țarc să fie ocupat sau în linie cu o oaie, ca în diagramele 2, 3 și 4, dar în fiecare caz, fiecare oaie este în linie cu însoțitorul său. Există doar două moduri în care trei oi pot fi așezate astfel încât fiecare țarc să fie ocupat sau în linie cu o singură oaie, dar nicio oaie în linie cu alta. Aceste situații se arată în diagramele 5 și 6. În sfârșit, există o singură modalitate prin care trei oi pot fi așezate astfel încât cel puțin un țarc să nu fie în linie cu oaie și totuși nicio oaie în linie cu alta. Plasați oile în C, E, L. Aceasta este practic absolut tot ce se poate spune despre acest subiect pastoral plăcut.