Figura 7.1 Energia eliberată într-un fulger este o ilustrare excelentă a cantităților mari de energie care pot fi stocate și eliberate de o diferență de potențial electric. În acest capitol, calculăm exact câtă energie poate fi eliberată într-un fulger și cum variază aceasta în funcție de înălțimea norilor de la sol.
În Sarcini și câmpuri electrice, doar am zgâriat suprafața (sau cel puțin am atins-o) fenomenelor electrice. Doi termeni folosiți în mod obișnuit pentru a descrie electricitatea sunt energia și tensiunea acesteia, despre care arătăm în acest capitol că este direct legată de energia potențială dintr-un sistem.
Știm, de exemplu, că mari cantități de energie electrică pot fi stocate în baterii, sunt transmise peste granițe prin curenți prin liniile electrice, și pot fulgera din nori lovind copacii. În mod similar, la nivel molecular, ionii traversează membranele celulare și transferă informații.
Știm și despre tensiunile asociate cu electricitatea. Bateriile sunt de obicei de câțiva volți, prizele din casa dvs. produc frecvent 220 de volți, iar liniile de alimentare pot ajunge la sute de mii de volți. Dar energia și tensiunea nu sunt același lucru. O baterie de motocicletă, de exemplu, este mică și nu ar avea mare succes în înlocuirea unei baterii de mașină mult mai mare, totuși fiecare are aceeași tensiune. În acest capitol, examinăm relația dintre tensiune și energia electrică și începem să explorăm câteva dintre numeroasele aplicații ale electricității.
Energia potenţială electrică
Când o sarcină pozitivă liberă q este accelerată de un câmp electric, i se transmite energie cinetică (Figura 7.2). Procesul este analog cu un obiect care este accelerat de un câmp gravitațional, ca și cum sarcina ar cobora pe un deal electric unde energia sa potențială electrică este convertită în energie cinetică, deși, desigur, sursele forțelor sunt foarte diferite. Să examinăm lucrul mecanic efectuat asupra unei sarcini q de către câmpul electric în acest proces, astfel încât să putem dezvolta o definiție a energiei potențiale electrice.
Figura 7.2 O sarcină accelerată de un câmp electric este analogă cu o masă care coboară un deal. În ambele cazuri, energia potențială scade pe măsură ce energia cinetică crește, –ΔU = ΔK. Lucrul mecanic este efectuat de o forță, dar deoarece această forță este conservativă, putem scrie W = –ΔU.
Forța electrostatică sau coulombiană este conservatoare, ceea ce înseamnă că munca efectuată pe q este independentă de calea urmată, așa cum vom demonstra mai târziu. Aceasta este exact analogă cu forța gravitațională. Când o forță este conservativă, este posibil să se definească o energie potențială asociată forței. De obicei, este mai ușor să lucrezi cu energia potențială (pentru că depinde doar de poziție) decât să calculezi lucrul mecanic direct.
Pentru a arăta acest lucru în mod explicit, luăm în considerare o sarcină electrică +q fixată la origine și mutați o altă sarcină +Q spre q astfel încât, în fiecare moment, forța aplicată F⃗ echilibrează exact forța electrică F⃗e pe Q (Figura 7.3). ). Lucrul mecanic efectuat de forța aplicată F⃗ asupra sarcinii Q modifică energia potențială a lui Q. Numim această energie potențială energia potențială electrică a lui Q.
Figura 7.3 Deplasarea sarcinii „de test” Q în prezența sarcinii „sursei” fixe q.
Lucrul mecanic W12 efectuat de forța aplicată F⃗ atunci când particula se mișcă de la P1 la P2 poate fi calculată prin
W12 = ∫P1P2 F⃗⋅dl⃗ .
Deoarece forța aplicată F⃗ echilibrează forța electrică F⃗e pe Q, cele două forțe au mărime egală și direcții opuse. Prin urmare, forța aplicată este
F⃗ = − F⃗e = −kqQ/r2·rˆ,
unde am definit sensul pozitiv ca fiind orientat departe de origine și r este distanța de la origine. Direcțiile atât ale deplasării, cât și ale forței aplicate în sistem din Figura 7.3 sunt paralele și astfel lucrul mecanic efectuat asupra sistemului este pozitivă.
Folosim litera U pentru a desemna energia potențială electrică, care are unități de jouli (J). Când o forță conservatoare efectuează un lucru mecanic negativ, sistemul câștigă energie potențială. Când o forță conservatoare efectuează un lucru mecanic pozitiv, sistemul pierde energie potențială, ΔU = −W. În sistemul din figura 7.3, forța Coulomb acționează în direcția opusă deplasării; prin urmare, lucrul mecanic este negativ. Cu toate acestea, am crescut energia potențială în sistemul cu două sarcini.
| EXEMPLUL 7.1
Energia cinetică a unei particule încărcate O sarcină Q de +3,0-nC este inițial în repaus la o distanță de 10 cm (r1) de o sarcină q de +5,0-nC fixată la origine (Figura 7.4). Desigur, forța Coulomb accelerează Q departe de q, ajungând în cele din urmă la 15 cm (r2).
a. Care este lucrul mecanic efectuat de câmpul electric între r1 și r2? b. Câtă energie cinetică are Q la r2? Strategie Calculați lucrul mecanic cu definiția obișnuită. Deoarece Q a pornit din repaus, aceasta este aceeași cu energia cinetică. Soluţie Integrând forța pe distanță, obținem W12 = ∫r1r2F⃗⋅dr⃗ = ∫r1r2kqQ/r2⋅dr = [−kqQr]r1r2 = kqQ[−1/r2 + 1/r1] = (8,99 × 109 Nm2/C2)(5,0 × 10−9 C)(3,0 × 10−9 C)[−1/0,15 m + 1/0,10 m] = 4,5 × 10−7 J. Aceasta este și valoarea energiei cinetice la r2. Semnificaţie Sarcina Q a fost inițial în repaus; câmpul electric al lui q a lucrat pe Q, deci acum Q are energie cinetică egală cu lucrul mecanic efectuat de câmpul electric. |
| EXERCIȚIUL 7.1
Exercițiu Dacă Q are o masă de 4,00 μg, care este viteza lui Q la r2? |
În acest exemplu, lucrul mecanic W efectuată pentru a accelera o sarcină pozitivă din repaus este pozitiv și rezultă dintr-o pierdere în U sau un ΔU negativ. O valoare pentru U poate fi găsită în orice punct luând un punct ca referință și calculând lucrul mecanic necesar pentru a muta o sarcină în celălalt punct.
| ENERGIE POTENŢIALĂ ELECTRICĂ
Lucrul mecanic W efectuat pentru a accelera o sarcină pozitivă din repaus este pozitiv și rezultă dintr-o pierdere în U sau un ΔU negativ. Din punct de vedere matematic, (7.1) W = −ΔU. |
Energia potențială gravitațională și energia potențială electrică sunt destul de analoge. Energia potențială reprezintă lucrul mecanic efectuat de o forță conservatoare și oferă o perspectivă suplimentară cu privire la energie și transformarea energiei, fără a fi nevoie să se ocupe direct de forță. Este mult mai obișnuit, de exemplu, să se folosească conceptul de energie potențială electrică decât să se ocupe direct de forța Coulomb în aplicații din lumea reală.
În coordonatele polare cu q la origine și Q situat la r, vectorul elementului de deplasare este dl⃗ = rˆdr și astfel lucrul mecanic devine
W12 = kqQ∫r1r21/r2 rˆ⋅rˆdr = –kqQ 1/r2 + kqQ 1/r1.
Observați că acest rezultat depinde numai de punctele finale și, altfel, este independent de calea urmată. Pentru a explora acest lucru în continuare, comparați calea P1 la P2 cu calea P1P3P4P2 din Figura 7.5.
Figura 7.5 Două căi pentru deplasarea P1 la P2. Lucrările pe segmentele P1P3 și P4P2 sunt nule, deoarece forța electrică este perpendiculară pe deplasarea de-a lungul acestor căi. Prin urmare, lucrul mecanic pe căile P1P2 și P1P3P4P2 sunt egale.
Segmentele P1P3 și P4P2 sunt arce de cerc centrate pe q. Deoarece forța pe Q indică fie spre sau departe de q, o forță care echilibrează forța electrică nu efectuează niciun lucru mecanic, deoarece este perpendiculară pe deplasarea de-a lungul acestor arcuri. Prin urmare, singurul lucru mecanic efectuat este de-a lungul segmentului P3P4, care este identic cu P1P2.
O implicație a acestui calcul de lucru este că, dacă ar fi să ocolim calea P1P3P4P2P1, lucrul mecanic net ar fi zero (Figura 7.6). Amintiți-vă că așa determinăm dacă o forță este conservatoare sau nu. Prin urmare, deoarece forța electrică este legată de câmpul electric prin F⃗ = qE→, câmpul electric este el însuși conservator. Acesta este,
∮E→⋅dl⃗ = 0.
Rețineți că Q este o constantă.
Figura 7.6 O cale închisă într-un câmp electric. Lucrul mecanic net în jurul acestei căi este zero.
O altă implicație este că putem defini o energie potențială electrică. Amintiți-vă că lucrul mecanic efectuat de o forță conservativă este, de asemenea, exprimată ca diferența de energie potențială corespunzătoare acelei forțe. Prin urmare, lucrul mecanic Wref pentru a aduce o sarcină de la un punct de referință la un punct de interes poate fi scrisă ca
Wref = ∫rrrefF⃗⋅dl⃗
și, prin ecuația 7.1, diferența de energie potențială (U2 − U1) a sarcinii de testare Q între cele două puncte este
ΔU = −∫rrrefF⃗⋅dl⃗ .
Prin urmare, putem scrie o expresie generală pentru energia potențială a două sarcini punctiforme (în coordonate sferice):
ΔU = −∫rrrefkqQ/r2 dr = −[−kqQ/r] rrref = kqQ[1/r – 1/rref].
Putem considera al doilea termen ca fiind un nivel de referință constant arbitrar, care servește ca referință zero:
U(r) = k qQ/r − Uref.
O alegere convenabilă de referință care se bazează pe bunul nostru simț este aceea că, atunci când cele două sarcini sunt infinit de departe, nu există nicio interacțiune între ele. (Reamintim discuția despre energia potențială de referință în Energia potențială și Conservarea energiei.) Luând energia potențială a acestei stări ca zero, se elimină termenul Uref din ecuație (la fel ca atunci când spunem că pământul este energie potențială zero într-o problemă a energiei potențiale gravitaționale), iar energia potențială a lui Q atunci când este separată de q printr-o distanță r ia forma
| (7.2) U(r) = k qQ/r (referință zero la r=∞). |
Această formulă este simetrică în raport cu q și Q, deci este cel mai bine descrisă ca energia potențială a sistemului cu două sarcini.
| EXEMPLUL 7.2
Energia potențială a unei particule încărcate O sarcină Q de +3,0-nC este inițial în repaus la o distanță de 10 cm (r1) de o sarcină q de +5,0-nC fixată la origine (Figura 7.7). Desigur, forța Coulomb accelerează Q departe de q, ajungând în cele din urmă la 15 cm (r2).
Care este modificarea energiei potențiale a sistemului cu două sarcini de la r1 la r2? Strategie Calculați energia potențială cu definiția dată mai sus: ΔU12 = −∫r2r1 F⃗⋅dr⃗ . Deoarece Q a pornit din repaus, aceasta este aceeași cu energia cinetică. Soluţie Avem ΔU12 = −∫r2r1F⃗⋅dr⃗ = −∫r2r1kqQ/r2 dr = −[−kqQ/r]r2r1 = kqQ[1/r2 – 1/r1] = (8,99 × 109 Nm2/C2)(5,0 × 10−9 C)(5,0 × 10−9 C)(5,0 × 10−9 C)(-3,9 C)[1/0,15 m – 1/0,10 m] = −4,5×10−7 J. Semnificaţie Modificarea energiei potențiale este negativă, așa cum era de așteptat, și egală ca mărime cu modificarea energiei cinetice în acest sistem. Reamintim din Exemplul 7.1 că modificarea energiei cinetice a fost pozitivă. |
| EXERCIȚIUL 7.2
Exercițiu. Care este energia potențială a lui Q în raport cu referința zero la infinit la r2 în exemplul de mai sus? |
Datorită legii lui Coulomb, forțele datorate sarcinilor multiple pe o sarcină de test Q se suprapun; acestea pot fi calculate individual și apoi însumate. Aceasta implică faptul că integralele de lucru mecanic și, prin urmare, energiile potențiale rezultate, prezintă același comportament. Pentru a demonstra acest lucru, luăm în considerare un exemplu de asamblare a unui sistem de patru sarcini.
| EXEMPLUL 7.3
Asamblarea a patru sarcini pozitive Aflați cantitatea de muncă pe care trebuie să o efectueze un agent extern în asamblarea a patru sarcini +2,0 μC, +3,0 μC, +4,0 μC și +5,0 μC în vârfurile unui pătrat cu latura de 1,0 cm, pornind fiecare sarcină de la infinit (Figura 7.8) .
Strategie Aducem sarcinile pe rând, dându-le locații de pornire la infinit și calculând lucrul mecanic pentru a le aduce de la infinit la locația lor finală. Facem acest lucru în ordinea creșterii sarcinii. Soluţie Pasul 1. Mai întâi aduceți sarcina de +2,0 μC la origine. Deoarece nu există încă alte sarcini la o distanță finită de această sarcină, nu se efectuează lucru mecanic pentru a o aduce de la infinit, W1 = 0. Pasul 2. În timp ce mențineți încărcătura de +2,0-μC fixată la origine, aduceți sarcina de +3,0 μC la (x,y,z) = (1,0 cm , 0, 0) (Figura 7.9). Acum, forța aplicată trebuie să lucreze împotriva forței exercitate de sarcina de +2,0 μC fixată la origine. Lucrul mecanic efectuat este egal cu modificarea energiei potențiale a sarcinii de +3,0 μC: W2 = kq1q2/r12 = (9,0 × 109 N⋅m2/C2) (2,0 × 10−6 C)(3,0 × 10−6 C)/(1,0 × 10−2 m) = 5,4 J.
Pasul 3. În timp ce mențineți sarcinile de +2,0 μC și +3,0 μC fixe în locurile lor, aduceți sarcina de +4,0 μC la (x,y,z) = (1,0 cm , 1,0 cm , 0) (Figura 7.10) . Lucrul mecanic efectuat în acest pas este W3 = kq1q3/r13 + kq2q3/r23 = (9,0 × 109 N⋅m2/C2) [(2,0 × 10−6 C)(4,0 × 10−6 C)/(√2 × 10−2 m) + (3,0 × 10−6 C)(4,0 × 10−6 C)/(1,0×10−2 m)] = 15,9 J.
Pasul 4. În cele din urmă, păstrând primele trei sarcini la locul lor, aduceți sarcina de +5,0 μC la (x,y,z) = (0 , 1,0 cm , 0) (Figura 7.11). Lucrul mecanic efectuat aici este W4 = kq4[q1/r14 + q2/r24 + q3/r34] = (9,0 × 109 N⋅m2/C2)(5,0 × 10−6 C)[(2,0 × 10−6 C)/(1,0 × 10−2 m)+(3,0 × 10−6 C)/(√2 × 10−2 m) + (4,0 × 10−6 C)/(1,0 × 10−2 m] = 36,5 J.
Prin urmare, lucrul mecanic total efectuat de forța aplicată în asamblarea celor patru sarcini este egală cu suma lucrurilor mecanice în aducerea fiecărei sarcini de la infinit în poziția sa finală: WT = W1 + W2 + W3 + W4 = 0 + 5,4 J + 15,9 J + 36,5 J = 57,8 J. Semnificaţie Lucrul mecanic pe fiecare sarcină depinde doar de interacțiunile ei în perechi cu celelalte sarcini. Nu trebuie luate în considerare interacțiuni mai complicate; lucrul mecanic la a treia sarcină depinde doar de interacțiunea acesteia cu prima și a doua sarcină, interacțiunea dintre prima și a doua sarcină nu o afectează pe a treia. |
| EXERCIȚIUL 7.3
Exercițiu Este energia potențială electrică a două sarcini punctuale pozitivă sau negativă dacă sarcinile sunt de același semn? Au semne opuse? Cum se leagă acest lucru cu lucrul mecanic necesar pentru a aduce sarcinile în apropiere de la infinit? |
Rețineți că energia potențială electrică este pozitivă dacă cele două sarcini sunt de același tip, fie pozitive fie negative, și negativă dacă cele două sarcini sunt de tipuri opuse. Acest lucru are sens dacă vă gândiți la schimbarea energiei potențiale ΔU pe măsură ce apropiați cele două sarcini sau le îndepărtați. În funcție de tipurile relative de sarcini, este posibil să trebuiască să lucrați la sistem sau sistemul ar lucra asupra dvs., adică lucrul mecanic al dvs. este fie pozitiv, fie negativ. Dacă trebuie să efectuați lucru mecanic pozitiv asupra sistemului (de fapt, împingeți sarcinile mai aproape), atunci energia sistemului ar trebui să crească. Dacă apropii două sarcini pozitive sau două sarcini negative, trebuie să efectuezi un lucru mecanic pozitiv asupra sistemului, ceea ce le crește energia potențială. Deoarece energia potențială este proporțională cu 1/r, energia potențială crește atunci când r scade între două sarcini pozitive sau două negative.
Pe de altă parte, dacă apropii o sarcină pozitivă și una negativă, trebuie să efectuezi un lucru mecanic negativ asupra sistemului (sarcinile te trag), ceea ce înseamnă că iei energie din sistem. Acest lucru reduce energia potențială. Deoarece energia potențială este negativă în cazul unei perechi de sarcini pozitive și negative, creșterea în 1/r face energia potențială mai negativă, ceea ce este același lucru cu o reducere a energiei potențiale.
Rezultatul din Exemplul 7.1 poate fi extins la sisteme cu orice număr arbitrar de sarcini. În acest caz, cel mai convenabil este să scrieți formula ca
| (7.3) W12⋯N = k/2 ∑iN∑jNqiqj/rij pentru i≠j. |
Factorul de 1/2 reprezintă adăugarea de două ori a fiecărei perechi de sarcini.
Sursa: University Physics (OpenStax), acces gratuit sub licență CC BY 4.0. Traducere de Nicolae Sfetcu. © 2021 MultiMedia Publishing, Fizica, Vol. 1-3
Fizica fenomenologică – Compendiu – Volumul 2
Un compendiu care se dorește a fi exhaustiv pentru domeniul fizicii, cu accent pe explicarea fenomenelor și aplicațiilor practice. O carte pentru studiul personal, concisă și ușor de citit, care clarifică aceste teorii ale fizicii, cel mai important domeniu al … Citeşte mai mult
Fizica fenomenologică – Compendiu – Volumul 1
Un compendiu care se dorește a fi exhaustiv pentru domeniul fizicii, cu accent pe explicarea fenomenelor și aplicațiilor practice. O carte pentru studiul personal, concisă și ușor de citit, care clarifică aceste teorii ale fizicii, cel mai important domeniu al … Citeşte mai mult
Electricitate și magnetism – Electromagnetism fenomenologic
O introducere în lumea electricității și a magnetismului, explicată în principal fenomenologic, cu ajutorul unui aparat matematic minimal, și cu exemple și aplicații din viața reală. O prezentare compactă, clară și precisă a unui domeniu care reprezintă o parte importantă … Citeşte mai mult
Lasă un răspuns