Fluxul electric

Acum că am definit vectorul arie al unei suprafețe, putem defini fluxul electric al unui câmp electric uniform printr-o zonă plană ca produsul scalar al câmpului electric și vectorul suprafeței, așa cum este definit în Produsele vectoriale:

(6.1) Φ = E⃗⋅ A⃗ (E^→ uniform, suprafață plană).

Figura 6.7 prezintă câmpul electric al unui sistem de plăci paralele cu încărcare opusă și o cutie imaginară între plăci. Câmpul electric dintre plăci este uniform și este orientat de la placa pozitivă spre placa negativă. Un calcul al fluxului acestui câmp prin diferite fețe ale cutiei arată că fluxul net prin cutie este zero. De ce se anulează fluxul aici?

Figura 6.7 Flux electric printr-un cub, plasat între două plăci încărcate. Fluxul electric prin fața inferioară (ABCD) este negativ, deoarece E⃗ este în direcția opusă normalei la suprafață. Fluxul electric prin fața superioară (FGHK) este pozitiv, deoarece câmpul electric și normala sunt în aceeași direcție. Fluxul electric prin celelalte fețe este zero, deoarece câmpul electric este perpendicular pe vectorii normali ai acelor fețe. Fluxul electric net prin cub este suma fluxurilor prin cele șase fețe. Aici, fluxul net prin cub este egal cu zero. Mărimea fluxului prin dreptunghiul BCKF este egală cu mărimile fluxului prin ambele fețe de sus și de jos.

Motivul este că sursele câmpului electric sunt în afara cutiei. Prin urmare, dacă vreo linie de câmp electric intră în volumul cutiei, aceasta trebuie să iasă și undeva la suprafață, deoarece nu există nicio sarcină în interior pe care liniile să se oprească. Prin urmare, în general, fluxul electric printr-o suprafață închisă este zero dacă nu există surse de câmp electric, fie că sunt sarcini pozitive sau negative, în interiorul volumului închis. În general, când liniile de câmp părăsesc (sau „curg din”) o suprafață închisă, Φ este pozitiv; când intră (sau „curg în”) suprafață, Φ este negativ.

Orice suprafață netedă, neplană poate fi înlocuită cu o colecție de suprafețe minuscule, aproximativ plane, așa cum se arată în Figura 6.8. Dacă împărțim o suprafață S în suprafețe mici, atunci observăm că, pe măsură ce suprafețele devin mai mici, acestea pot fi aproximate prin suprafețe plane. Acest lucru este similar cu modul în care tratăm suprafața Pământului ca local plată, chiar dacă știm că la nivel global, este aproximativ sferică.

Figura 6.8 O suprafață este împărțită în suprafețe mici pentru a găsi fluxul.

Pentru a urmări suprafețele mici, le putem numerota de la 1 la N. Acum, definim vectorul arie pentru fiecare suprafață mică, ca fiind aria suprafeței mici îndreptată în direcția normală. Să notăm vectorul arie pentru a i-a suprafață mică cu δA⃗_i. (Am folosit simbolul δ pentru a ne aminti că aria este a unei suprafețe arbitrar mică.) Cu suprafețe suficient de mici, putem aproxima câmpul electric peste orice suprafață mică dată ca fiind uniform. Să notăm câmpul electric mediu la locul celui de-al i-lea suprafețe mici cu E⃗_i.

E⃗_i = câmpul electric mediu peste a i-lea suprafață mică.

Prin urmare, putem scrie fluxul electric Φ_i prin zona celei de-a i-lea suprafață mică, ca

Φ_i = E⃗_i δA⃗_i (al i-lea suprafață mică).

Fluxul prin fiecare dintre suprafețele mici individuale poate fi construit în acest mod și apoi adăugat pentru a ne oferi o estimare a fluxului net prin întreaga suprafață S, pe care îl notăm simplu ca Φ.

Φ = ∑_i=1^NΦi = ∑_i=1^NE⃗_i δA⃗_i (estimare N suprafețe mici).

Această estimare a fluxului devine mai bună pe măsură ce micșorăm dimensiunea suprafețelor mici. Cu toate acestea, atunci când utilizați suprafețe mai mici, aveți nevoie de mai multe dintre ele pentru a acoperi aceeași suprafață. În limita suprafețelor infinitezimal de mici, acestea pot fi considerate a avea aria dA și unitatea normală nˆ. Deoarece elementele sunt infinitezimale, se poate presupune că sunt plane, iar E⃗_i poate fi considerat constant pentru orice element. Atunci fluxul dΦ printr-o zonă dA este dat de dΦ = E⃗⋅nˆdA. Este pozitiv când unghiul dintre E⃗_i și nˆ este mai mic de 90° și negativ când unghiul este mai mare de 90°. Fluxul net este suma elementelor fluxului infinitezimal de pe întreaga suprafață. Cu suprafețe infinitezimal de mici, aveți nevoie de suprafeșe infinite, iar limita sumei devine o integrală de suprafață. Cu ∫_S reprezentând integrala peste S,

(6.2) Φ = ∫_SE⃗⋅nˆdA = ∫_SE⃗⋅dA⃗ (suprafață deschisă).

În termeni practici, integralele de suprafață sunt calculate luând antiderivatele ambelor dimensiuni care definesc aria, marginile suprafeței în cauză fiind limitele integralei.

Pentru a distinge între fluxul printr-o suprafață deschisă precum cea din figura 6.4 și fluxul printr-o suprafață închisă (una care limitează complet un anumit volum), reprezentăm fluxul printr-o suprafață închisă prin

(6.3) Φ = ∮_SE⃗⋅nˆdA = ∮_SE⃗⋅dA⃗ (suprafață închisă)

unde cercul prin simbolul integralei înseamnă pur și simplu că suprafața este închisă și integrăm peste tot. Dacă integrați doar pe o porțiune a unei suprafețe închise, înseamnă că tratați un subset al acesteia ca pe o suprafață deschisă.

EXEMPLUL 6.1

Fluxul unui câmp electric uniform

Un câmp electric constant de mărime E₀ indică în direcția axei z pozitive (Figura 6.9). Care este fluxul electric printr-un dreptunghi cu laturile a și b în planul (a) xy și în planul (b) xz?

Figura 6.9 Calcularea fluxului lui E₀ printr-o suprafață dreptunghiulară.

Strategie

Aplicați definiția fluxului: Φ = E⃗⋅A⃗ (E⃗ uniform), unde definiția produsului scalar este crucială.

Soluţie

a. În acest caz, Φ = E⃗₀⋅A⃗ = E₀A = E₀ab.

b. Aici, direcția vectorului arie este fie de-a lungul axei y pozitive, fie spre axa y negativă. Prin urmare, produsul scalar al câmpului electric cu vectorul zonă este zero, dând flux zero.

Semnificaţie

Direcțiile relative ale câmpului electric și ale ariei pot face ca fluxul prin zonă să fie zero.

EXEMPLUL 6.2

Fluxul unui câmp electric uniform printr-o suprafață închisă

Un câmp electric constant de mărime E₀ indică în direcția axei z pozitive (Figura 6.10). Care este fluxul electric net printr-un cub?

Figura 6.10 Calcularea fluxului lui E₀ printr-o suprafață cubică închisă.

Strategie

Aplicați definiția fluxului: Φ = E⃗⋅A⃗ (E⃗ uniform), observând că o suprafață închisă elimină ambiguitatea în direcția vectorului arie.

Soluţie

Prin faţa superioară a cubului, Φ = E⃗₀⋅A⃗ = E₀A.

Prin fața inferioară a cubului, Φ = E⃗₀⋅A⃗ = −E₀A, deoarece vectorul ariei de aici este îndreptat în jos.

De-a lungul celorlalte patru laturi, direcția vectorului zonă este perpendiculară pe direcția câmpului electric. Prin urmare, produsul scalar al câmpului electric cu vectorul arie este zero, dând flux zero.

Fluxul net este Φnet = E₀A − E₀A + 0 + 0 + 0 + 0 = 0.

Semnificaţie

Fluxul net al unui câmp electric uniform printr-o suprafață închisă este zero.

EXEMPLUL 6.3

Flux electric printr-un plan, metoda integrală

Un câmp electric uniform E⃗ de magnitudinea 10 N/C este îndreptat paralel cu planul yz la 30° deasupra planului xy, așa cum se arată în Figura 6.11. Care este fluxul electric prin suprafața plană a ariei de 6,0 m² situată în planul xz? Să presupunem că nˆ punctează în direcția y pozitivă.

Figura 6.11 Câmpul electric produce un flux electric net prin suprafața S.

Strategie

Aplicați Φ = ∫_SE⃗⋅nˆdA, unde direcția și mărimea câmpului electric sunt constante.

Soluţie

Unghiul dintre câmpul electric uniform E⃗ și normala unității nˆ la suprafața plană este de 30°. Deoarece atât direcția, cât și mărimea sunt constante, E iese în afara integralei. Tot ce rămâne este o integrală de suprafață peste dA, care este A. Prin urmare, folosind ecuația cu suprafață deschisă, aflăm că fluxul electric prin suprafață este

Φ = ∫_SE⃗⋅nˆdA = EAcosθ = (10 N/C)(6,0 m²)(cos30°) = 52 N⋅m²/C.

Semnificaţie

Din nou, direcțiile relative ale câmpului și ariei contează, iar ecuația generală cu integrala se va simplifica la produsul punctual simplu al ariei și câmpului electric.

EXERCIȚIUL 6.1

Ce unghi ar trebui să existe între câmpul electric și suprafața prezentată în figura 6.11 din exemplul anterior, astfel încât niciun flux electric să nu treacă prin suprafață?

EXEMPLUL 6.4

Câmp electric neomogen

Care este fluxul total al câmpului electric E⃗ = cy²kˆ prin suprafața dreptunghiulară prezentată în figura 6.12?

Figura 6.12 Deoarece câmpul electric nu este constant pe suprafață, este necesară o integrare pentru a determina fluxul.

Strategie

Aplicați Φ = ∫_SE⃗⋅nˆdA. Presupunem că normala unității nˆ față de suprafața dată punctează în direcția z pozitivă, deci nˆ = kˆ. Deoarece câmpul electric nu este uniform pe suprafață, este necesar să se împartă suprafața în benzi infinitezimale de-a lungul cărora E⃗ este esențial constantă. După cum se arată în Figura 6.12, aceste benzi sunt paralele cu axa x și fiecare bandă are o zonă dA = bdy.