În această secțiune, observăm modul în care legea gravitației lui Newton se aplică la suprafața unei planete și cum se conectează cu ceea ce am învățat mai devreme despre căderea liberă. De asemenea, examinăm efectele gravitaționale din corpurile sferice.
Greutatea
Amintiți-vă că accelerația unui obiect în cădere liberă lângă suprafața Pământului este de aproximativ g = 9,80 m/s2. Forța care provoacă această accelerație se numește greutatea obiectului, iar din a doua lege a lui Newton, are valoarea mg. Această greutate este prezentă indiferent dacă obiectul este în cădere liberă. Știm acum că această forță este forța gravitațională dintre obiect și Pământ. Dacă înlocuim cu mg magnitudinea lui F⃗12 în legea gravitației universale a lui Newton, m pentru m1 și ME pentru m2, obținem ecuația scalară
mg = G mME/r2
unde r este distanța dintre centrele de masă ale obiectului și Pământ. Raza medie a Pământului este de aproximativ 6370 km. Prin urmare, pentru obiectele aflate la câțiva kilometri de suprafața Pământului, putem lua r = RE (Figura 13.7). Masa m a obiectului se anulează, rezultând
| (13.2) g = G ME/r2. |
Acest lucru explică de ce toate masele cad libere cu aceeași accelerație. Am ignorat faptul că Pământul accelerează și către obiectul care cade, dar acest lucru este acceptabil atâta timp cât masa Pământului este mult mai mare decât cea a obiectului.
Figura 13.7 Putem considera că distanța dintre centrele de masă ale Pământului și un obiect de pe suprafața lui este raza Pământului, cu condiția ca dimensiunea acestuia să fie mult mai mică decât raza Pământului.
| EXEMPLUL 13.3
Masele Pământului și Lunii Te-ai întrebat vreodată de unde știm masa Pământului? Cu siguranță nu o putem plasa pe un cântar. Valorile lui g și raza Pământului au fost măsurate cu o precizie rezonabilă cu secole în urmă. a. Utilizați valorile standard ale lui g, RE și ecuația 13.2 pentru a afla masa Pământului. b. Estimați valoarea lui g pe Lună. Folosiți faptul că Luna are o rază de aproximativ 1700 km (o valoare cu această acuratețe a fost determinată cu multe secole în urmă) și presupuneți că are aceeași densitate medie ca Pământul, 5500 kg/m3. Strategie Cu valorile cunoscute ale lui g și RE, putem folosi ecuația 13.2 pentru a găsi ME. Pentru Lună, folosim ipoteza unei densități medii egale pentru a determina masa dintr-un raport dintre volumele Pământului și ale Lunii. Soluție a. Rearanjând ecuația 13.2, avem ME = gRE2/G = 9,80 m/s2(6,37 × 106 m)26,67 × 10−11 N⋅m2/kg2 = 5,95 × 1024 kg. b. Volumul unei sfere este proporțional cu raza cubului, deci un raport simplu ne oferă MM/ME = RM3RE3 → MM = ((1,7×106 m)3/(6,37 × 106 m)3)(5,95 × 1024 kg) = 1,1 × 1023 kg. Acum folosim ecuația 13.2. gM = G MM/rM2 = (6,67 × 10−11 N⋅m2/kg2)(1,1 × 1023 kg)/(1,7 × 106 m)2 = 2,5 m/s2 Semnificație De îndată ce Cavendish a determinat valoarea lui G în 1798, masa Pământului a putut fi calculată. (De fapt, acesta a fost scopul final al experimentului lui Cavendish în primul rând.) Valoarea pe care am calculat-o pentru g pentru Lună este incorectă. Densitatea medie a Lunii este de fapt de doar 3340 kg/m3 și g = 1,6 m/s2 la suprafață. Newton a încercat să măsoare masa Lunii comparând efectul Soarelui asupra mareelor oceanice ale Pământului în comparație cu cel al Lunii. Valoarea lui era un factor de doi prea mică. Cele mai precise valori pentru g și masa Lunii provin din urmărirea mișcării navelor spațiale care au orbitat în jurul Lunii. Dar masa Lunii poate fi determinată cu exactitate fără a merge pe Lună. Pământul și Luna orbitează în jurul unui centru de masă comun, iar măsurătorile astronomice atente pot determina acea locație. Raportul dintre masa Lunii și cea a Pământului este raportul dintre [distanța de la centrul de masă comun la centrul Lunii] și [distanța de la centrul de masă comun la centrul Pământului]. Mai târziu în acest capitol, vom vedea că masa altor corpuri astronomice poate fi determinată și de perioada cu care sateliții mici le orbitează. Dar până când Cavendish a determinat valoarea lui G, masele tuturor acestor corpuri erau necunoscute. |
| EXEMPLUL 13.4
Gravitația deasupra suprafeței Pământului Care este valoarea lui g la 400 km deasupra suprafeței Pământului, unde Stația Spațială Internațională se află pe orbită? Strategie Folosind valoarea lui ME și notând că raza este r = RE + 400 km, folosim ecuația 13.2 pentru a găsi g. Din ecuația 13.2 avem G = G ME/r2 = (6,67 × 10−11 N⋅m2/kg2) (5,96 × 1024 kg)/(6,37 × 106 + 400 × 103 m)2 = 8,67 m/s2. Semnificație Vedem adesea videoclipuri cu astronauți în stațiile spațiale, aparent lipsiți de greutate. Dar în mod clar, forța gravitației acționează asupra lor. Comparând valoarea lui g pe care tocmai am calculat-o cu cea de pe Pământ (9,80 m/s2), vedem că astronauții din Stația Spațială Internațională au încă 88% din greutatea lor. Ei par a fi lipsiți de greutate doar pentru că sunt în cădere liberă. Vom reveni la asta în Orbitele sateliților și energie. |
| EXERCIȚIUL 13.2
Cum se compară greutatea ta în vârful unei clădiri înalte cu cea de la primul etaj? Credeți că inginerii trebuie să țină cont de modificarea valorii lui g atunci când proiectează suport structural pentru o clădire foarte înaltă? |
Câmpul gravitațional
Ecuația 13.2 este o ecuație scalară, dând mărimea accelerației gravitaționale în funcție de distanța de la centrul de masă care provoacă accelerația. Dar am fi putut reține forma vectorială pentru forța gravitațională din ecuația 13.1 și am fi putut scrie accelerația sub formă vectorială ca
g⃗ =G M/r2 rˆ.
Identificăm câmpul vectorial reprezentat de g⃗ ca fiind câmp gravitațional cauzat de masa M. Putem imagina câmpul așa cum se arată în Figura 13.8. Liniile sunt îndreptate radial spre interior și sunt distribuite simetric în jurul masei.
Figura 13.8 O reprezentare tridimensională a câmpului gravitațional creat de masa M. Rețineți că liniile sunt distribuite uniform în toate direcțiile. (Delimitarea a fost adăugată doar pentru a ajuta la vizualizare.)
Așa cum este adevărat pentru orice câmp vectorial, direcția lui g⃗ este paralelă cu liniile câmpului în orice punct. Forța lui g⃗ în orice punct este invers proporțională cu distanța dintre linii. Un alt mod de a afirma acest lucru este că mărimea câmpului în orice regiune este proporțională cu numărul de linii care trec printr-o unitate de suprafață, efectiv o densitate de linii. Deoarece liniile sunt egal distanțate în toate direcțiile, numărul de linii pe unitatea de suprafață la o distanță r de masă este numărul total de linii împărțit la aria suprafeței unei sfere cu raza r, care este proporțional cu r2. Prin urmare, această imagine reprezintă perfect legea pătratului invers, în plus față de indicarea direcției câmpului. În imaginea câmpului, spunem că o masă m interacționează cu câmpul gravitațional de masă M. Vom folosi conceptul de câmpuri în capitolele ulterioare despre electromagnetism.
Greutate aparentă: Luarea în considerare a rotației Pământului
După cum am văzut în Aplicațiile legilor lui Newton, obiectele care se mișcă cu viteză constantă într-un cerc au o accelerație centripetă îndreptată spre centrul cercului, ceea ce înseamnă că trebuie să existe o forță netă îndreptată spre centrul acelui cerc. Deoarece toate obiectele de pe suprafața Pământului se deplasează printr-un cerc la fiecare 24 de ore, trebuie să existe o forță centripetă netă asupra fiecărui obiect îndreptată spre centrul acelui cerc.
Să considerăm mai întâi un obiect de masă m situat la ecuator, suspendat de o scară (Figura 13.9). Scara exercită o forță ascendentă F⃗s departe de centrul Pământului. Aceasta este citirea pe scară și, prin urmare, este greutatea aparentă a obiectului. Greutatea (mg) indică spre centrul Pământului. Dacă Pământul nu s-ar roti, accelerația ar fi zero și, în consecință, forța netă ar fi zero, rezultând Fs = mg. Aceasta ar fi citirea adevărată a greutății.
Figura 13.9 Pentru o persoană care stă la ecuator, accelerația centripetă (ac) este în aceeași direcție cu forța gravitației. La latitudinea λ, unghiul dintre ac și forța gravitațională este λ și mărimea ac scade cu cosλ.
Odată cu rotația, suma acestor forțe trebuie să asigure accelerația centripetă, ac. Folosind a doua lege a lui Newton, avem
| (13.3) ∑F = Fs – mg = mac, unde ac = −v2/r. |
Rețineți că ac indică în aceeași direcție cu greutatea; prin urmare, este negativă. Viteza tangențială v este viteza la ecuator și r este RE. Putem calcula viteza pur și simplu observând că obiectele de pe ecuator parcurg circumferința Pământului în 24 de ore. În schimb, să folosim expresia alternativă pentru ac din Mișcarea în două și trei dimensiuni. Reamintim că viteza tangențială este legată de viteza unghiulară (ω) prin v = rω. Prin urmare, avem ac = −rω2. Prin rearanjarea ecuației 13.3 și înlocuirea r = RE, greutatea aparentă la ecuator este
Fs = m(g − REω2).
Viteza unghiulară a Pământului este peste tot
ω = 2π rad/(24 hr × 3600 s/hr) = 7,27 × 10−5 rad/s.
Înlocuind valorile sau RE și ω, avem REω2 = 0,0337 m/s2. Aceasta este doar 0,34% din valoarea gravitației, deci este în mod clar o mică corecție.
| EXEMPLUL 13.5
Greutatae aparentă zero Cât de repede ar trebui să se rotească Pământul pentru ca cei de la ecuator să aibă greutatea aparentă zero? Cât ar fi lungimea zilei? Strategie Folosind ecuația 13.3, putem seta greutatea aparentă (Fs) la zero și putem determina accelerația centripetă necesară. Din aceasta, putem găsi viteza la ecuator. Lungimea zilei este timpul necesar pentru o rotație completă. Soluție Din ecuația 13.2, avem ∑F = Fs – mg = mac, deci setând Fs = 0, obținem g = ac. Folosind expresia pentru ac, înlocuind raza Pământului și valoarea standard a gravitației, obținem ac = v2/r = g v = √(gr) = √((9,80 m/s2)(6,37 × 106 m)) = 7,91 × 103 m/s . Perioada T este timpul pentru o rotație completă. Prin urmare, viteza tangențială este circumferința împărțită la T, deci avem v = 2πr/T T = 2πr/v = 2π(6,37 × 106 m)/(7,91 × 103 m/s) = 5,06 × 103 s. Este vorba de aproximativ 84 de minute. Semnificație Vom vedea mai târziu în acest capitol că această viteză și lungimea zilei ar fi, de asemenea, viteza orbitală și perioada unui satelit pe orbită la suprafața Pământului. Deși o astfel de orbită nu ar fi posibilă lângă suprafața Pământului din cauza rezistenței aerului, cu siguranță este posibilă doar la câteva sute de mile deasupra Pământului. |
Rezultate departe de ecuator
La poli, ac → 0 și Fs = mg, așa cum este cazul fără rotație. La orice altă latitudine λ, situația este mai complicată. Accelerația centripetă este îndreptată către punctul P din figură, iar raza devine r = REcosλ. Suma vectorială a greutății și F⃗s trebuie să se îndrepte către punctul P, deci F⃗s nu mai este îndreptat dinspre centrul Pământului. (Diferența este mică și exagerată în figură.) Un fir cu plumb se va alinia întotdeauna de-a lungul acestei direcții deviate. Toate clădirile sunt construite aliniate de-a lungul acestei direcții deviate, nu de-a lungul unei raze prin centrul Pământului. Pentru cele mai înalte clădiri, aceasta reprezintă o abatere de câțiva metri în vârf.
De asemenea, merită remarcat faptul că Pământul nu este o sferă perfectă. Interiorul este parțial lichid, iar acest lucru sporește bombarea Pământului la ecuator datorită rotației sale. Raza Pământului este cu aproximativ 30 km mai mare la ecuator în comparație cu polii. Este lăsat ca un exercițiu să comparați puterea gravitației la poli cu cea de la ecuator folosind ecuația 13.2. Diferența este comparabilă cu diferența datorată rotației și este în aceeași direcție. Aparent, poți să slăbești cu adevărat trecând la tropice.
Gravitația departe de suprafața Pământului
Mai devreme am afirmat fără dovezi că legea gravitației se aplică obiectelor cu simetrie sferică, unde masa fiecărui corp acționează ca și cum ar fi în centrul corpului. Deoarece ecuația 13.2 este derivată din ecuația 13.1, este valabilă și pentru distribuțiile de masă simetrice, dar ambele ecuații sunt valabile numai pentru valorile lui r ≥ RE. După cum am văzut în Exemplul 13.4, la 400 km deasupra suprafeței Pământului, unde orbitează Stația Spațială Internațională, valoarea lui g este de 8,67 m/s2. (Vom vedea mai târziu că aceasta este și accelerația centripetă a lui ISS.)
Pentru r < RE, ecuația 13.1 și ecuația 13.2 nu sunt valide. Cu toate acestea, putem determina g pentru aceste cazuri folosind un principiu care provine din legea lui Gauss, care este un instrument matematic puternic pe care îl studiem mai detaliat mai târziu în curs. O consecință a legii lui Gauss, aplicată gravitației, este că numai masa din r contribuie la forța gravitațională. De asemenea, acea masă, la fel ca înainte, poate fi considerată a fi situată în centru. Efectul gravitațional al masei din afara lui r are efect net zero.
Apar două cazuri speciale foarte interesante. Pentru o planetă sferică cu densitate constantă, masa din r este densitatea înmulțită cu volumul din r. Această masă poate fi considerată situată în centru. Înlocuind ME doar cu masa din r, M = ρ × (volumul unei sfere) și RE cu r, ecuația 13.2 devine
g = G ME/RE2 = G ρ(4/3πr3)/r2 = 4/3 Gρπr.
Valoarea lui g și, prin urmare, greutatea dvs., scade liniar pe măsură ce coborâți într-o gaură până în centrul planetei sferice. În centru, sunteți fără greutate, deoarece masa planetei trage în mod egal în toate direcțiile. De fapt, densitatea Pământului nu este constantă și nici Pământul nu este solid în întregime. Figura 13.10 arată profilul lui g dacă Pământul ar avea o densitate constantă și profilul cel mai probabil bazat pe estimări ale densității derivate din datele seismice.
Figura 13.10 Pentru r < RE, valoarea lui g pentru cazul densității constante este linia dreaptă verde. Linia albastră din PREM (Preliminary Reference Earth Model) este probabil mai aproape de profilul real pentru g.
Al doilea caz interesant se referă la viața pe o planetă sferică. Acest scenariu a fost propus în multe povești științifico-fantastice. Ignorând problemele de inginerie semnificative, carcasa ar putea fi construită cu o rază și o masă totală dorite, astfel încât g la suprafață să fie același cu cel al Pământului. Poți ghici ce se întâmplă odată ce cobori cu un lift în interiorul carcasei, unde nu există nicio masă între tine și centru? Ce beneficii ar oferi acest lucru pentru a parcurge distanțe mari de la un punct la altul al sferei? Și, în sfârșit, ce efect ar avea dacă planeta s-ar învârti?
Sursa: Physics, University Physics (OpenStax), gratuit sub licență CC BY 4.0. Traducere și adaptare de Nicolae Sfetcu
© 2022 MultiMedia Publishing, Fizica, Volumul 1
Isaac Newton despre acțiunea la distanță în gravitație – Cu sau fără Dumnezeu?
Intră într-o călătorie a descoperirii intelectuale care îmbină istoria științei cu teologia și filozofia!
Gravitația
Explorați misterele gravitației cu o lucrare fascinantă și cuprinzătoare
De la Big Bang la singularități și găuri negre
O călătorie fascinantă în universul fizicii și cosmologiei.
Lasă un răspuns