Acum, un corp platonic nu înseamnă un corp ceresc; dar se va potrivi cu scopul puzzle-ului nostru dacă presupunem că va exista o planetă locuibilă de această formă. De asemenea, vom presupune că, datorită unor surplusuri de apă, singurul sol uscat este de-a lungul muchiilor, și că locuitorii nu știu cum și nu pot să navigheze prin apă. Dacă fiecare dintre aceste muchii are o lungime de 10.000 de kilometri și un călător solitar este plasat la Polul Nord (cel mai înalt punct arătat), cât va trebui să călătorească înainte ca să fi vizitat fiecare parte locuită a planetei – adică să fi traversat fiecare muchie?
Există treizeci de muchii, dintre care optsprezece sunt vizibile în ilustrația inițială, reprezentate în diagrama următoare de hexagonul NAESGD. Prin această proiecție a solidului obținem o imagine a celorlalte douăsprezece muchii și putem vedea imediat direcția lor și cele douăsprezece puncte în care se întâlnesc toate muchiile. Diferența în lungimea liniilor nu are importanță; tot ce vrem este să prezentăm direcția într-o manieră grafică. Dar, în cazul în care un neinițiat ar fi nedumerit că găsește doar nouăzeci triunghiuri în loc de cele douăzeci necesare, voi sublinia că triunghiul aparent lipsă este conturul HIK. În acest caz, există douăsprezece noduri impare; prin urmare, șase rute distincte și deconectate vor fi necesare dacă nu trebuie să trecem peste vreo linie de două ori. Să găsim deci cea mai mare distanță pe care o putem străbate într-un singur traseu.
Se va observa că am însemnat cu mici cruci cinci linii sau muchii în diagramă. Aceste cinci linii pot fi însemnate oriunde, atâta timp cât ele nu se unesc una cu alta și atâta timp cât una dintre ele nu se conectează la N, Polul Nord, de unde trebuie să începem. Se va observa că rezultatul însemnării acestor cinci linii este că toate nodurile sunt acum pare cu excepția N și S. Prin urmare, dacă începem la N și ne oprim la S, putem străbate toate liniile, cu excepția celor cinci traversate, fără a traversa o linie de două ori. Există multe modalități de a face acest lucru. Iată un traseu: de la N la H, I, K, S, I, E, S, G, K, D, H, A, N, B, C, G, D, N , C, F, S. Făcând astfel cinci dintre rute cât mai scurte posibil – pur și simplu de la un nod la următorul – putem obține cea mai mare lungime posibilă pentru linia a șasea. O distanță mai mare într-o rută, fără a trece de două ori pe același teren, nu este posibilă.
Acum este ușor de văzut că cele cinci linii însemnate trebuie să fie străbătute de două ori și pot fi „incluse”, ca să zic așa, în orice punct al traseului nostru. Astfel, ori de câte ori călătorul se întâmplă să ajungă la I, el poate merge până la A și înapoi înainte de a-și continua traseul, sau poate aștepta până când este la A și apoi să meargă la I și înapoi la A. Și la fel și cu celelalte linii care trebuie străbătute de două ori. Este deci evident că poate trece peste 25 de linii o singură dată (25 × 10.000 km = 250.000 km) și peste 5 linii de două ori (5 × 20.000 km = 100.000 km), în total 350.000 km, aceasta fiind lungimea călătoriilor sale și cea mai scurtă distanță care este posibilă pentru vizitarea întregii planete icosaedrice pe muchiile sale (terenul solid).
Se va observa că l-am făcut să-și încheie călătoriile la S, Polul Sud, dar acest lucru nu este imperativ. Ar fi putut termina în oricare dintre celelalte noduri, cu excepția celui de la care a început. Să presupunem că a trebuit să ajungă din nou acasă la N la sfârșitul călătoriilor sale. Atunci, în loc de a suprima linia AI, s-ar putea să o lăsăm și să închidem IS. Acest lucru i-ar permite să-și finalizeze turneul de 350.000 km la A, iar alte 10.000 km îl vor aduce la propriul său punct de plecare. Există o mare varietate de trasee, dar, având în vedere că lungimile muchiilor sunt egale, orice traseu este la fel de bun ca altul. Pentru a face un tur complet de 350.000 km de la N la S absolut clară pentru toată lumea, o voi da în întregime: de la N la H, I, A, I, K, H, K, S, I, E, S, G, F, G, K, D, C, D, H, A, N, B, E, B, A, E, F, B, C, G, D, N, C, F, S – adică, 35 linii a câte 10.000 km fiecare.
Icosaedrul este o altă figură geometrică regulată, sau platonică dintre cele cinci care au toate laturile, unghiurile și planurile similare și egale. Este limitată de douăzeci de triunghiuri echilaterale similare. Dacă tăiați o bucată de carton cu forma prezentată în diagrama mai mică și tăiați pe jumătate de-a lungul liniilor întrerupte, din aceasta se poate forma un icosaedru perfect.
Lasă un răspuns