Intensitatea modelului de difracție în difracția cu o singură fantă

Pentru a calcula intensitatea modelului de difracție, urmăm metoda fazorilor utilizată pentru calculele cu circuite de curent alternativ în Circuite de curent alternativ. Dacă considerăm că există N surse Huygens peste fanta prezentată în Figura 4.4, fiecare sursă fiind separată de o distanță a/N de vecinii ei adiacenți, diferența de cale între undele de la sursele adiacente care ating punctul arbitrar P de pe ecran este (a/N)sinθ.

Figura 4.4 Lumina care trece printr-o singură fantă este difractată în toate direcțiile și poate interfera constructiv sau distructiv, în funcție de unghi. Diferența de lungime a drumului pentru razele de pe fiecare parte a fantei este văzută a fi un sinθ.

Această distanță este echivalentă cu o diferență de fază de (2πa/λN)sinθ. Diagrama fazorilor pentru undele care sosesc în punctul a cărui poziţie unghiulară este θ, este prezentată în Figura 4.7. Amplitudinea fazorului pentru fiecare wavelet (o oscilație sub formă de undă cu o amplitudine care începe la zero, crește sau scade și apoi revine la zero de o dată sau de mai multe ori) Huygens este ΔE₀, amplitudinea fazorului rezultat este E, iar diferența de fază dintre waveletele de la prima și ultima sursă este

ϕ = (2π/λ) asinθ.

Cu N → ∞, diagrama fazorială se apropie de un arc de cerc de lungime NΔE₀ și rază r. Deoarece lungimea arcului este NΔE₀ pentru orice ϕ, raza r a arcului trebuie să scadă pe măsură ce ϕ crește (sau echivalent, pe măsură ce fazorii formează spirale mai strânse).

Figura 4.7 (a) Diagrama fazorilor corespunzătoare poziției unghiulare θ în modelul de difracție cu o singură fantă. Diferența de fază dintre waveletele de la prima și ultima sursă este ϕ = (2π/λ)asinθ. (b) Geometria diagramei fazorilor.

Diagrama fazorilor pentru ϕ = 0 (centrul modelului de difracție) este prezentată în Figura 4.8(a) folosind N = 30. În acest caz, fazorii sunt așezați cap la cap într-o linie dreaptă de lungime NΔE₀, raza r merge la infinit, iar rezultanta are valoarea sa maximă E = NΔE0. Intensitatea luminii poate fi obținută folosind relația I = ½ cε₀E² din Unde electromagnetice. Intensitatea maximului este atunci

I₀ = ½ cε₀(NΔE₀)² = 1/2μ₀c (NΔE₀)²,

unde ε₀ = 1/μ₀c². Diagramele fazorilor pentru primele două zerouri ale modelului de difracție sunt prezentate în părțile (b) și (d) ale figurii. În ambele cazuri, fazorii se adaugă la zero, după ce se rotesc prin ϕ = 2π rad pentru m = 1 și 4π rad pentru m = 2.

Figura 4.8 Diagrame de fazori (cu 30 de fazori) pentru diferite puncte de pe modelul de difracție cu o singură fantă. Rotațiile multiple în jurul unui cerc dat au fost ușor separate, astfel încât fazorii să poată fi văzuți. (a) maxim central, (b) primul minim, (c) primul maxim dincolo de maximul central, (d) al doilea minim și (e) al doilea maxim dincolo de maximul central.

Următoarele două maxime dincolo de maximele centrale sunt reprezentate de diagramele fazorice ale părților (c) și (e). În partea (c), fazorii s-au rotit prin ϕ = 3π rad și au format un fazor rezultat de magnitudinea E₁. Lungimea arcului format de fazori este NΔE₀. Deoarece aceasta corespunde la 1,5 rotații în jurul unui cerc cu diametrul E₁, avem

3/2 πE₁ ≈ NΔE₀,

astfel

E₁ = 2NΔE₀/3π

și

I1 = 1/2μ₀c E²₁ = 4(NΔE₀)²/(9π²)(2μ₀c) ≈ 0,045I₀,

unde

I₀ = (NΔE₀)²/2μ0c.

În partea (e), fazorii s-au rotit prin ϕ = 5π rad, corespunzând la 2,5 rotații în jurul unui cerc cu diametrul E₂ și lungimea arcului NΔE₀. Rezultă I₂ ≈ 0,016I₀. Dovada este lăsată ca exercițiu (Exercițiul 4.119).

Aceste două maxime corespund de fapt la valori ale lui ϕ puțin mai mici decât 3π rad și 5π rad. Deoarece lungimea totală a arcului diagramei fazoare este întotdeauna NΔE₀, raza arcului scade pe măsură ce ϕ crește. Ca rezultat, E₁ și E₂ se dovedesc a fi puțin mai mari pentru arcele care nu s-au ondulat complet prin 3π rad și, respectiv, 5π rad. Valorile exacte ale lui ϕ pentru maxime sunt investigate în Exercițiul 4.120. În rezolvarea acestei probleme, veți descoperi că sunt mai mici decât, dar foarte aproape de, ϕ = 3π,5π,7π,…rad.

Pentru a calcula intensitatea într-un punct arbitrar P de pe ecran, revenim la diagrama fazorială din Figura 4.7. Deoarece arcul subtinde un unghi ϕ în centrul cercului,

NΔE₀ = rϕ

și

sin(ϕ/2) = E/2r.

unde E este amplitudinea câmpului rezultat. Rezolvând a doua ecuație pentru E și apoi înlocuind r din prima ecuație, găsim

E = 2rsin(ϕ/2) = 2NΔE_oϕsin(ϕ/2).

Acum definind

(4.2)   β = ϕ/2 =πasinθ/λ

 

obținem

(4.3)   E = NΔE0 sinβ/β

 

Această ecuație leagă amplitudinea câmpului rezultat în orice punct al modelului de difracție cu amplitudinea NΔE₀ la maximul central. Intensitatea este proporțională cu pătratul amplitudinii, deci

(4.4)   I = I0(sinβ/β)2

 

unde I₀ = (NΔE₀)²/2μ₀c este intensitatea din centrul modelului.

Pentru maximul central, ϕ = 0, β este de asemenea zero și vedem din regula lui l’Hôpital că lim_β→0(sinβ/β) = 1, astfel încât lim_ϕ→0I = I₀. Pentru următorul maxim, ϕ = 3π rad, avem β = 3π/2 rad și atunci când este înlocuit în ecuația 4.4, rezultă

I₁ = I₀((sin3π/2)/(3π/2))² ≈ 0,045I₀,

în acord cu ceea ce am găsit mai devreme în această secțiune folosind diametrele și circumferințele diagramelor fazorice. Înlocuirea ϕ = 5π rad în ecuația 4.4 dă un rezultat similar pentru I₂.

O diagramă a ecuației 4.4 este prezentată în Figura 4.9 și direct sub ea este o fotografie a unui model de difracție real. Observați că vârful central este mult mai luminos decât celelalte și că zerourile modelului sunt situate în acele puncte în care sinβ = 0, ceea ce apare când β = mπ rad. Aceasta corespunde lui

πasinθ/λ = mπ,

sau

asinθ = mλ,

care este ecuația 4.1.

Figura 4.9 (a) Distribuția de intensitate calculată a unui model de difracție cu o singură fantă. (b) Modelul de difracție real.

EXEMPLUL 4.2 Intensitatea în difracția cu o singură fantă Lumina cu lungimea de undă de 550 nm trece printr-o fantă cu lățimea de 2,00 μm și produce un model de difracție similar cu cel prezentat în Figura 4.9. (a) Aflați locațiile primelor două minime în termeni de unghi față de maximul central și (b) determinați intensitatea relativă la maximul central într-un punct la jumătatea distanței dintre aceste două minime. Strategie Minimele sunt date de ecuația 4.1, asinθ = mλ. Primele două minime sunt pentru m = 1 și m = 2. Ecuația 4.4 și ecuația 4.2 pot fi utilizate pentru a determina intensitatea odată ce unghiul a fost calculat. Soluție a. Rezolvarea ecuației 4.1 pentru θ ne dă θm = sin−1(mλ/a), astfel încât θ1 = sin−1((+1)(550 × 10−9 m)/(2,00 × 10−6 m)) = +16,0° și θ2 = sin−1((+2)(550 × 10−9 m)/(2,00 × 10−6 m)) = +33,4°. b. Punctul de la jumătatea drumului dintre θ1 și θ2 este θ = (θ1 + θ2)/2 = (16,0° + 33,4°)/2 = 24,7°. Ecuația 4.2 dă β = πasinθ/λ = π(2,00 × 10−6 m)sin(24,7°)/(550 × 10−9 m) = 1,52π sau 4,77rad. Din ecuația 4.4, putem calcula I/Io = (sinβ/β)2 = (sin(4,77)/4,77)2 = (−0,99854,77)2 = 0,044. Semnificație Această poziție, la jumătatea distanței dintre două minime, este foarte aproape de locația maximului, așteptată lângă β = 3π/2, sau 1,5π.

 

Exercițiul 4.2 Pentru experimentul din Exemplul 4.2, la ce unghi față de centru se află al treilea maxim și care este intensitatea acestuia în raport cu maximul central?

 

Dacă lățimea fantei a este variată, distribuția intensității se modifică, așa cum este ilustrat în Figura 4.10. Vârful central este distribuit pe regiunea de la sinθ = −λ/a la sinθ = +λ/a. Pentru θ mic, aceasta corespunde unei lățimi unghiulare Δθ ≈ 2λ/a. Prin urmare, o creștere a lățimii fantei are ca rezultat o scădere a lățimii vârfului central. Pentru o fantă cu a ≫ λ, vârful central este foarte ascuțit, în timp ce dacă a ≈ λ, acesta devine destul de larg.

Figura 4.10 Modele de difracție cu o singură fantă pentru diferite lățimi de fantă. Pe măsură ce lățimea fantei a crește de la a = λ la 5λ și apoi la 10λ, lățimea vârfului central scade pe măsură ce unghiurile pentru primele minime scad așa cum este prezis de ecuația 4.1.

Sursa: University Physics (OpenStax), acces gratuit sub licență CC BY 4.0. Traducere de Nicolae Sfetcu. © 2024 MultiMedia Publishing, Fizica, Vol. 1-3