Home » Articole » Articole » Știință » Fizica » Electromagnetism » Intensitatea modelului de difracție în difracția cu o singură fantă

Intensitatea modelului de difracție în difracția cu o singură fantă

Pentru a calcula intensitatea modelului de difracție, urmăm metoda fazorilor utilizată pentru calculele cu circuite de curent alternativ în Circuite de curent alternativ. Dacă considerăm că există N surse Huygens peste fanta prezentată în Figura 4.4, fiecare sursă fiind separată de o distanță a/N de vecinii ei adiacenți, diferența de cale între undele de la sursele adiacente care ating punctul arbitrar P de pe ecran este (a/N)sinθ.

Lumina care trece printr-o singură fantăFigura 4.4 Lumina care trece printr-o singură fantă este difractată în toate direcțiile și poate interfera constructiv sau distructiv, în funcție de unghi. Diferența de lungime a drumului pentru razele de pe fiecare parte a fantei este văzută a fi un sinθ.

Această distanță este echivalentă cu o diferență de fază de (2πa/λN)sinθ. Diagrama fazorilor pentru undele care sosesc în punctul a cărui poziţie unghiulară este θ, este prezentată în Figura 4.7. Amplitudinea fazorului pentru fiecare wavelet (o oscilație sub formă de undă cu o amplitudine care începe la zero, crește sau scade și apoi revine la zero de o dată sau de mai multe ori) Huygens este ΔE0, amplitudinea fazorului rezultat este E, iar diferența de fază dintre waveletele de la prima și ultima sursă este

ϕ = (2π/λ) asinθ.

Cu N → ∞, diagrama fazorială se apropie de un arc de cerc de lungime NΔE0 și rază r. Deoarece lungimea arcului este NΔE0 pentru orice ϕ, raza r a arcului trebuie să scadă pe măsură ce ϕ crește (sau echivalent, pe măsură ce fazorii formează spirale mai strânse).

Diagrama fazorilorFigura 4.7 (a) Diagrama fazorilor corespunzătoare poziției unghiulare θ în modelul de difracție cu o singură fantă. Diferența de fază dintre waveletele de la prima și ultima sursă este ϕ = (2π/λ)asinθ. (b) Geometria diagramei fazorilor.

Diagrama fazorilor pentru ϕ = 0 (centrul modelului de difracție) este prezentată în Figura 4.8(a) folosind N = 30. În acest caz, fazorii sunt așezați cap la cap într-o linie dreaptă de lungime NΔE0, raza r merge la infinit, iar rezultanta are valoarea sa maximă E = NΔE0. Intensitatea luminii poate fi obținută folosind relația I = ½ cε0E2 din Unde electromagnetice. Intensitatea maximului este atunci

I0 = ½ cε0(NΔE0)2 = 1/2μ0c (NΔE0)2,

unde ε0 = 1/μ0c2. Diagramele fazorilor pentru primele două zerouri ale modelului de difracție sunt prezentate în părțile (b) și (d) ale figurii. În ambele cazuri, fazorii se adaugă la zero, după ce se rotesc prin ϕ = 2π rad pentru m = 1 și 4π rad pentru m = 2.

Diagrama fazorilorFigura 4.8 Diagrame de fazori (cu 30 de fazori) pentru diferite puncte de pe modelul de difracție cu o singură fantă. Rotațiile multiple în jurul unui cerc dat au fost ușor separate, astfel încât fazorii să poată fi văzuți. (a) maxim central, (b) primul minim, (c) primul maxim dincolo de maximul central, (d) al doilea minim și (e) al doilea maxim dincolo de maximul central.

Următoarele două maxime dincolo de maximele centrale sunt reprezentate de diagramele fazorice ale părților (c) și (e). În partea (c), fazorii s-au rotit prin ϕ = 3π rad și au format un fazor rezultat de magnitudinea E1. Lungimea arcului format de fazori este NΔE0. Deoarece aceasta corespunde la 1,5 rotații în jurul unui cerc cu diametrul E1, avem

3/2 πE1 ≈ NΔE0,

astfel

E1 = 2NΔE0/3π

și

I1 = 1/2μ0c E21 = 4(NΔE0)2/(9π2)(2μ0c) ≈ 0,045I0,

unde

I0 = (NΔE0)2/2μ0c.

În partea (e), fazorii s-au rotit prin ϕ = 5π rad, corespunzând la 2,5 rotații în jurul unui cerc cu diametrul E2 și lungimea arcului NΔE0. Rezultă I2 ≈ 0,016I0. Dovada este lăsată ca exercițiu (Exercițiul 4.119).

Aceste două maxime corespund de fapt la valori ale lui ϕ puțin mai mici decât 3π rad și 5π rad. Deoarece lungimea totală a arcului diagramei fazoare este întotdeauna NΔE0, raza arcului scade pe măsură ce ϕ crește. Ca rezultat, E1 și E2 se dovedesc a fi puțin mai mari pentru arcele care nu s-au ondulat complet prin 3π rad și, respectiv, 5π rad. Valorile exacte ale lui ϕ pentru maxime sunt investigate în Exercițiul 4.120. În rezolvarea acestei probleme, veți descoperi că sunt mai mici decât, dar foarte aproape de, ϕ = 3π,5π,7π,…rad.

Pentru a calcula intensitatea într-un punct arbitrar P de pe ecran, revenim la diagrama fazorială din Figura 4.7. Deoarece arcul subtinde un unghi ϕ în centrul cercului,

NΔE0 = rϕ

și

sin(ϕ/2) = E/2r.

unde E este amplitudinea câmpului rezultat. Rezolvând a doua ecuație pentru E și apoi înlocuind r din prima ecuație, găsim

E = 2rsin(ϕ/2) = 2NΔEoϕsin(ϕ/2).

Acum definind

(4.2)   β = ϕ/2 =πasinθ/λ

 

obținem

(4.3)   E = NΔE0 sinβ/β

 

Această ecuație leagă amplitudinea câmpului rezultat în orice punct al modelului de difracție cu amplitudinea NΔE0 la maximul central. Intensitatea este proporțională cu pătratul amplitudinii, deci

(4.4)   I = I0(sinβ/β)2

 

unde I0 = (NΔE0)2/2μ0c este intensitatea din centrul modelului.

Pentru maximul central, ϕ = 0, β este de asemenea zero și vedem din regula lui l’Hôpital că limβ→0(sinβ/β) = 1, astfel încât limϕ→0I = I0. Pentru următorul maxim, ϕ = 3π rad, avem β = 3π/2 rad și atunci când este înlocuit în ecuația 4.4, rezultă

I1 = I0((sin3π/2)/(3π/2))2 ≈ 0,045I0,

în acord cu ceea ce am găsit mai devreme în această secțiune folosind diametrele și circumferințele diagramelor fazorice. Înlocuirea ϕ = 5π rad în ecuația 4.4 dă un rezultat similar pentru I2.

O diagramă a ecuației 4.4 este prezentată în Figura 4.9 și direct sub ea este o fotografie a unui model de difracție real. Observați că vârful central este mult mai luminos decât celelalte și că zerourile modelului sunt situate în acele puncte în care sinβ = 0, ceea ce apare când β = mπ rad. Aceasta corespunde lui

πasinθ/λ = mπ,

sau

asinθ = mλ,

care este ecuația 4.1.

Model de difracție cu o singură fantă Figura 4.9 (a) Distribuția de intensitate calculată a unui model de difracție cu o singură fantă. (b) Modelul de difracție real.

EXEMPLUL 4.2

Intensitatea în difracția cu o singură fantă

Lumina cu lungimea de undă de 550 nm trece printr-o fantă cu lățimea de 2,00 μm și produce un model de difracție similar cu cel prezentat în Figura 4.9. (a) Aflați locațiile primelor două minime în termeni de unghi față de maximul central și (b) determinați intensitatea relativă la maximul central într-un punct la jumătatea distanței dintre aceste două minime.

Strategie

Minimele sunt date de ecuația 4.1, asinθ = mλ. Primele două minime sunt pentru m = 1 și m = 2. Ecuația 4.4 și ecuația 4.2 pot fi utilizate pentru a determina intensitatea odată ce unghiul a fost calculat.

Soluție

a. Rezolvarea ecuației 4.1 pentru θ ne dă θm = sin−1(mλ/a), astfel încât

θ1 = sin−1((+1)(550 × 10−9 m)/(2,00 × 10−6 m)) = +16,0°

și

θ2 = sin−1((+2)(550 × 10−9 m)/(2,00 × 10−6 m)) = +33,4°.

b. Punctul de la jumătatea drumului dintre θ1 și θ2 este

θ = (θ1 + θ2)/2 = (16,0° + 33,4°)/2 = 24,7°.

Ecuația 4.2 dă

β = πasinθ/λ = π(2,00 × 10−6 m)sin(24,7°)/(550 × 10−9 m) = 1,52π sau 4,77rad.

Din ecuația 4.4, putem calcula

I/Io = (sinβ/β)2 = (sin(4,77)/4,77)2 = (−0,99854,77)2 = 0,044.

Semnificație

Această poziție, la jumătatea distanței dintre două minime, este foarte aproape de locația maximului, așteptată lângă β = 3π/2, sau 1,5π.

 

Exercițiul 4.2

Pentru experimentul din Exemplul 4.2, la ce unghi față de centru se află al treilea maxim și care este intensitatea acestuia în raport cu maximul central?

 

Dacă lățimea fantei a este variată, distribuția intensității se modifică, așa cum este ilustrat în Figura 4.10. Vârful central este distribuit pe regiunea de la sinθ = −λ/a la sinθ = +λ/a. Pentru θ mic, aceasta corespunde unei lățimi unghiulare Δθ ≈ 2λ/a. Prin urmare, o creștere a lățimii fantei are ca rezultat o scădere a lățimii vârfului central. Pentru o fantă cu a ≫ λ, vârful central este foarte ascuțit, în timp ce dacă a ≈ λ, acesta devine destul de larg.

Modele de difracție cu o singură fantă Figura 4.10 Modele de difracție cu o singură fantă pentru diferite lățimi de fantă. Pe măsură ce lățimea fantei a crește de la a = λ la 5λ și apoi la 10λ, lățimea vârfului central scade pe măsură ce unghiurile pentru primele minime scad așa cum este prezis de ecuația 4.1.

Sursa: University Physics (OpenStax), acces gratuit sub licență CC BY 4.0. Traducere de Nicolae Sfetcu. © 2024 MultiMedia Publishing, Fizica, Vol. 1-3

Fizica fenomenologică - Compendiu - Volumul 2
Fizica fenomenologică – Compendiu – Volumul 2

Un compendiu care se dorește a fi exhaustiv pentru domeniul fizicii, cu accent pe explicarea fenomenelor și aplicațiilor practice. O carte pentru studiul personal, concisă și ușor de citit, care clarifică aceste teorii ale fizicii, cel mai important domeniu al … Citeşte mai mult

Nu a fost votat $9.99$35.00 Selectează opțiunile
Fizica fenomenologică - Compendiu - Volumul 1
Fizica fenomenologică – Compendiu – Volumul 1

Un compendiu care se dorește a fi exhaustiv pentru domeniul fizicii, cu accent pe explicarea fenomenelor și aplicațiilor practice. O carte pentru studiul personal, concisă și ușor de citit, care clarifică aceste teorii ale fizicii, cel mai important domeniu al … Citeşte mai mult

Nu a fost votat $9.99$35.00 Selectează opțiunile
Electricitate și magnetism - Electromagnetism fenomenologic
Electricitate și magnetism – Electromagnetism fenomenologic

O introducere în lumea electricității și a magnetismului, explicată în principal fenomenologic, cu ajutorul unui aparat matematic minimal, și cu exemple și aplicații din viața reală. O prezentare compactă, clară și precisă a unui domeniu care reprezintă o parte importantă … Citeşte mai mult

Nu a fost votat $4.99$8.81 Selectează opțiunile

Lasă un răspuns

Adresa ta de email nu va fi publicată. Câmpurile obligatorii sunt marcate cu *