Legea inversului pătratului pentru lumină

© 2025 Nicolae Sfetcu

 

Sfetcu, Nicolae (2025). ”Legea inversului pătratului pentru lumină”, în Index Academic, I 2025, DOI: 10.58679/IA15570

 

PDF: https://www.indexacademic.ro/pdf/legea-inversului-patratului-pentru-lumina/

HTML: https://www.telework.ro/ro/legea-inversului-patratului-pentru-lumina/

 

Concepte: intensitate ∝ 1/r².
Ce faci: LED puternic ca sursă; luxmetrul telefonului la diverse distanțe.
Măsori: logI vs. logr → pantă ≈ −2.
Extinde: efectul colimatorului (tub), obstacole.

 

Cuprins

Legea inversului pătratului pentru lumină. 1

Rezumat 2

Introducere și concepte teoretice. 2

Aparatură și metodologie. 3

Condiții inițiale. 4

Procedura de măsurare. 4

Prelucrarea datelor 5

Posibile erori și soluții 5

Extensii și aplicații la nivel universitar 5

Verificarea cantitativă a legii 1/r² 5

Efectul colimării fasciculului 5

Influența obstacolelor și a unghiului de incidență. 6

Aplicații astronomice. 6

Fișă de laborator 6

Scopul lucrării 6

Noțiuni teoretice. 6

Materiale necesare. 7

Configurare experimentală. 7

Procedură. 7

Tabel de date (exemplu) 7

Prelucrarea datelor 8

Întrebări și observații 8

Concluzii 8

Bibliografie. 9

 

Rezumat

Lucrarea investighează experimental legea inversului pătratului pentru lumină, conform căreia intensitatea unei surse punctiforme scade proporțional cu 1/r² odată cu distanța r. S-a utilizat un LED de mare luminozitate ca sursă și un senzor de lux (smartphone sau luxmetru dedicat) pentru măsurători la distanțe succesive, în condiții controlate de iluminare. Valorile corectate au fost analizate prin raporturi și prin reprezentări log-log, obținându-se o pantă apropiată de –2, în concordanță cu predicțiile teoretice. Experimentul a demonstrat menținerea aproximativ constantă a produsului I·r² și a evidențiat posibile surse de eroare (limitările senzorului, caracterul nepunctiform al LED-ului, lumina de fond). Extensii propuse includ studierea efectului colimării fasciculului, al obstacolelor parțiale și al unghiului de incidență, precum și aplicații astronomice în determinarea distanțelor. Rezultatele confirmă validitatea relației fundamentale I ∝ 1/r² și relevanța sa pentru fizică aplicată, optică și educație științifică.

Cuvinte cheie: legea inversului pătratului, lumina, experiment, intensitatea luminii, efectului colimării fasciculului, optică

Introducere și concepte teoretice

Legea inversului pătrat al distanței afirmă că intensitatea I a luminii emise de o sursă punctuală scade proporțional cu inversul pătratului distanței r față de sursă (I ∝ 1/r²). Cu alte cuvinte, pe măsură ce ne îndepărtăm de un bec sau LED considerat sursă punctiformă, lumina percepută devine rapid mai slabă. Cauza fundamentală este diluția geometrică: lumina se răspândește radial, iar suprafața unei sfere imaginare în jurul sursei crește cu pătratul razei (4πr²). Astfel, aceeași putere luminoasă se distribuie pe arii din ce în ce mai mari, ducând la scăderea densității fluxului luminos (iluminarea, măsurată în lux) odată cu distanța (Mace 2017). Formal, dacă la distanța r₁ intensitatea este I₁, iar la r₂ este I₂, legea prevede I₁/I₂ = (r₂/r₁)². Echivalent, produsul I · r² rămâne constant pentru orice punct de pe o sferă înconjurătoare a sursei ideale. Această relație este valabilă pentru surse punctuale și radiație uniformă în toate direcțiile (izotropă), întâlnindu-se nu doar la lumină, ci și la gravitație, sunet, radiații etc..

În practică, iluminanța (lux) măsoară cantitatea de lumină care cade pe o unitate de suprafață și este direct legată de această lege. De exemplu, un senzor care indică 400 lx la 1 m de o lampă va indica ~100 lx la 2 m (de 4 ori mai mic), presupunând că lampa se comportă ca sursă punctuală și nu există alte pierderi (Ryer 1997). Experimentul de față își propune să demonstreze această dependență, verificând că dublarea distanței reduce aparent intensitatea luminii la aproximativ un sfert, iar trasând grafic log(I) în funcție de log(r) se obține o panta de ~–2, confirmând relația I ∝ 1/r².

Aparatură și metodologie

Aparate necesare: Sursa de lumină poate fi un LED puternic (preferabil alb, cu fascicul relativ îngust) sau un bec mic, alimentat stabil pentru a menține luminozitatea constantă. Ca detector de intensitate, se folosește un smartphone cu o aplicație de luxmetru (senzorul de lumină ambientală al telefonului) sau un luxmetru dedicat. De asemenea, sunt necesare: o riglă sau bandă metrică (pentru a măsura distanțele r dintre LED și senzor), un stativ sau suport pentru a fixa telefonul și LED-ul la aceeași înălțime, și un mediu cât mai întunecat (pentru a minimiza lumina ambientală parazită). Opțional, se pot pregăti un tub opac (colimator) ce poate fi montat în jurul LED-ului și obstacole (ecrane parțiale) pentru experimente extinse.

Condiții inițiale

Camera trebuie întunecată pe cât posibil, astfel încât singura lumină relevantă să fie cea a LED-ului. Se identifică poziția senzorului de lumină al telefonului (de regulă aproape de marginea superioară a ecranului) – se poate verifica acest lucru acoperind pe rând zone ale telefonului și observând scăderea citirii în aplicația de luxmetru. De asemenea, se calibrează zero-ul luminii de fond: se măsoară nivelul de iluminare cu sursa stinsă, pentru a obține I_fundal. Acesta se va scădea ulterior din valorile măsurate cu sursa aprinsă, astfel încât rezultatele finale I să reflecte doar contribuția LED-ului. Această procedură de corecție elimină influența eventualei lumini reziduale din încăpere.

Procedura de măsurare

Sursa de lumină și senzorul se aliniază față în față. Se fixează LED-ul pe un suport, iar telefonul (sau luxmetrul) pe un alt suport, astfel încât senzorul să fie orientat direct spre LED. Se plasează senzorul la o distanță inițială r₁ (de exemplu 0,5 m) față de LED și se înregistrează iluminanța I₁ (în lucși). Pentru a asigura stabilitatea citirii, se poate media valoarea pe câteva secunde sau se fac 2-3 citiri succesive și se calculează media lor. Apoi, senzorul se mută succesiv la distanțe mai mari: r₂, r₃, r₄ etc. (de exemplu 0,75 m, 1 m, 1,5 m, 2 m – se pot alege ~5-6 valori distribuite în intervalul accesibil). La fiecare poziție se măsoară și notează intensitatea luminoasă I₂, I₃, I₄, … corespunzătoare. Important: Se evită distanțele prea mici, deoarece în imediata apropiere a sursei senzorul poate satura (LED-ul fiind foarte strălucitor) sau geometria sursei nu mai poate fi considerată punctiformă (Ryer 1997). Un bun prag minim empiric este ca distanța cea mai mică să fie de cel puțin de ~5 ori mai mare decât dimensiunea LED-ului (regula „de cinci ori dimensiunea sursei”) pentru ca abaterea de la legea 1/r² să fie sub ~1% (Ryer 1997). De asemenea, se verifică între poziții că axa LED-senzor rămâne liberă (fără obstacole neintenționate), iar senzorul este orientat perpendicular pe direcția luminii (dacă senzorul se înclină, citirea scade conform legii cosinusului lui Lambert).

Prelucrarea datelor

Pentru fiecare distanță r și intensitatea măsurată I, se poate adăuga o coloană de valori corectate I_corectat = I – I_fundal (dacă lumina de fundal a fost semnificativă). Apoi, se verifică relația așteptată. O metodă simplă este să se calculeze produsele Ir² pentru fiecare punct – ideal, toate produsele ar trebui să fie aproximativ egale (constante) dacă legea se confirmă. O altă metodă robustă este reprezentarea grafică: se trasează grafic în coordonate log-log, cu log(r) pe axa OX și log(I) pe axa OY, pentru toate punctele măsurate. Conform modelului teoretic I = Cr^-2, ecuația în logaritmi este logI = –2logr + logC, care reprezintă o dreaptă de pantă –2. Prin urmare, se efectuează o regresie liniară pe graficul log-log; dacă panta regresiei este foarte apropiată de –2 (de exemplu, valori experimentale precum –1,99 sau –2,02) și coeficientul de determinare R² ~ 0,99+, rezultatele susțin legea inversului pătrat. În plus, se poate verifica numeric un caz concret: de pildă, comparați intensitatea la două distanțe diferite. Dacă la r₁ ați măsurat I₁ și la r₂ ați măsurat I₂, atunci raportul I₁/I₂ ar trebui să fie aproximativ (r₂/r₁)². Un exemplu tipic: dacă la 50 cm de LED avem 1600 lx, la 100 cm ar trebui ~400 lx (raport ~4) în condiții ideale.

Posibile erori și soluții

Este normal să apară mici abateri de la dependența ideală, datorită erorilor de măsurare sau limitărilor experimentale. Senzorul telefonului poate să nu fie calibrat absolut (dar pentru raporturi relative este adecvat). De asemenea, acesta poate avea o gamă limitată: valori prea mari pot satura (afișând un maxim constant) sau valori foarte mici pot fi afișate ca zero. De aceea, nu se recomandă măsurători prea aproape de sursă (saturare) sau la distanțe extrem de mari unde semnalul se apropie de zgomotul de fond. Dacă totuși unele puncte deviază, se pot repeta măsurătorile, asigurându-ne că 1) senzorul nu a fost umbrit accidental de vreun obiect sau de mâna experimentatorului, 2) LED-ul are intensitate constantă (alimentare stabilă), 3) reflexiile de pe pereți sau obiecte nu influențează senzorul (mențineți distanța suficient de mare față de orice suprafață reflectantă) și 4) alinierea este corectă (dacă senzorul este decalat lateral, intensitatea scade deoarece nu primește întreaga densitate de flux).

Extensii și aplicații la nivel universitar

Pentru studenții de nivel universitar sau cei care doresc să aprofundeze, experimentul poate fi extins cu analize suplimentare și considerații teoretice mai avansate:

Verificarea cantitativă a legii 1/r²

În locul unui telefon, se poate folosi un sistem senzorial mai precis – de exemplu un fotodetector calibrat (fotodiodă cu circuit de citire) plasat pe banc de optică. Astfel se pot obține date de înaltă acuratețe, permițând evaluarea deviațiilor sistematice. Studenții pot analiza erori sistematice precum dimensiunea finită a sursei (dacă LED-ul are un cip extins, la distanțe mici distribuția nu este uniformă pe un front sferic), sau absorbția mediului (dacă se realizează pe distanțe mai mari în aer cu eventual praf). Se poate investiga și distanța minimă de valabilitate: în teorie legea se aplică strict de la infinit; experimental, la distanțe foarte mici față de sursă intensitatea nu mai scade exact cu 1/r² din cauza dimensiunii sursei și a distribuției unghiulare a emisiei (Ryer 1997).

Efectul colimării fasciculului

Legea inversului pătrat presupune răspândirea uniformă a luminii în toate direcțiile. Dacă însă colimăm lumina (o forțăm să aibă raze paralele sau aproape paralele), dependența se schimbă. De exemplu, montați un tub cilindric opac în fața LED-ului, care lasă să treacă doar lumina pe direcția aproximativ axială. Veți observa că intensitatea măsurată scade mult mai lent cu distanța decât fără tub. În cazul ideal al unui fascicul perfect paralel, iluminarea ar rămâne aproape constantă independent de distanță (negijând divergența mică a razelor). Acest fapt se datorează reducerii unghiului solid în care se răspândește energia luminoasă – lumina colimată nu „umple” o sferă întreagă, deci nu mai diluează energia pe suprafețe tot mai mari, ci păstrează un flux concentrat. În termeni tehnici, legea inversului pătrat nu se aplică unor surse directive sau fascicule laser, care se descriu mai bine prin parametri de divergență (ex: ecuațiile opticii Gaussiene pentru un laser). Ca extensie practică, studenții pot măsura intensitatea unui fascicul de lanternă focalizată sau a unui laser la diferite distanțe, comparând cu un LED necolimat la aceleași distanțe.

Influența obstacolelor și a unghiului de incidență

O altă abordare avansată este să se studieze cum scade intensitatea când o parte din „sfera” luminoasă este blocată. De exemplu, interpunând la o anumită distanță un ecran cu o gaură circulară (diafragmă), se poate măsura intensitatea din spatele ecranului. Aceasta ar trebui să corespundă fracției de suprafață neacoperită a ecranului raportată la suprafața sferei la acel r. Cu alte cuvinte, dacă gaura are arie egală cu 1/4 din aria sferei de rază r, intensitatea din spate va scădea de ~4 ori față de cazul fără obstacol (în mod ideal). Acest experiment evidențiază direct proporționalitatea dintre intensitate și aria „fereastrei” prin care trece fluxul (Mace 2017). Tot aici se poate include verificarea legii cosinusului: dacă înclinăm senzorul cu un unghi θ față de direcția razelor, lectura luxmetrului va scădea la I(θ) = I·cos θ, datorită proiecției efective mai mici. Acest fenomen este important, de exemplu, în orientarea optimă a panourilor solare (care primesc maxim de lumină când sunt perpendiculare pe razele Soarelui).

Aplicații astronomice

Legea 1/r² este utilizată pe scară largă în astronomie pentru a determina distanțe până la stele. Dacă două stele de același tip (aceeași luminozitate intrinsecă) au străluciri aparente diferite pe cer, raportul acestor intensități aparente este invers proporțional cu pătratul raportului distanțelor. Practic, cunoscând distanța uneia (prin alte metode, ex. paralaxa) și măsurând fluxul de lumină de la ambele, se poate deduce distanța celeilalte. Acest principiu stă la baza metodei lumânării standard în astronomie. Ca extensie de laborator, studenții pot emula această idee folosind două LED-uri identice: plasați un LED la distanța d₁ și al doilea LED la d₂, ambele aprinse (și fără influență unul asupra celuilalt). Măsurând intensitățile I₁ și I₂ la poziția senzorului, se poate verifica dacă I₁/I₂ ≈ (d₂/d₁)². De asemenea, dacă se cunoaște d₁, se poate estima d₂ din formula inversă d₂ ≈ d₁ · sqrt(I₁/I₂) și compara cu valoarea reală.

Fișă de laborator

Scopul lucrării

Verificarea experimentală a dependenței intensității luminoase de distanță pentru o sursă punctuală de lumină – legea inversului pătrat – și evidențierea relației I ∝ 1/r² prin măsurători cantitative.

Noțiuni teoretice

Intensitatea luminoasă (iluminanța, în lucși) produsă de o sursă punctuală scade cu pătratul distanței față de sursă. Matematic: I ∝ 1/r². Pentru două distanțe r₁ și r₂, I₁/I₂ = (r₂/r₁)². Aceasta rezultă din faptul că aceeași energie luminoasă se distribuie pe suprafețe sferice tot mai mari odată cu creșterea razei sferei. În practică, dacă dublăm distanța, intensitatea scade de ~4 ori, dacă triplam distanța, scade de ~9 ori ș.a.m.d. Grafic, log I în funcție de log r ar trebui să dea o linie dreaptă cu panta ≈ –2, caracteristică dependenței de tip putere cu exponentul –2.

Materiale necesare

• Sursă de lumină punctiformă (LED alb de mare luminozitate sau bec mic fără abajur).
• Smartphone cu aplicație de luxmetru (sau luxmetru dedicat) pentru măsurarea iluminanței.
• Riglă sau metru (pentru măsurarea distanțelor între LED și senzor).
• Suporturi/stative pentru fixarea LED-ului și a telefonului.
• Cameră obscură (sau posibilitatea de a întuneca parțial încăperea, pentru a elimina lumina ambientală).

Configurare experimentală

Așezați LED-ul pe un suport, la o înălțime de ~1 m deasupra solului. Poziționați telefonul astfel încât senzorul de lumină să fie orientat spre LED, la aceeași înălțime, evitând alinierea directă cu alte surse de lumină. Identificați și notați poziția senzorului pe telefon (de obicei aproape de marginea superioară a ecranului). Stingeți luminile ambientale și asigurați-vă că LED-ul este singura sursă semnificativă de lumină în incintă.

Procedură

1. Calibrarea fondului

Măsurați nivelul de iluminare ambientală (I_fundal) cu LED-ul stins. Notați valoarea (în lucși) – ideal ar trebui să fie cât mai aproape de 0 în camera întunecată.

2. Măsurători la diferite distanțe

Stabiliți o distanță inițială r₁ (de exemplu 0,5 m) între LED și senzor. Aprindeți LED-ul și orientați senzorul direct spre el (asigurați-vă că nu acoperiți senzorul cu degetele). Citiți valoarea stabilizată a iluminanței I₁ pe telefon. Apoi mutați senzorul la distanța r₂ (de ex. 1,0 m). La fiecare poziție rₙ, țineți senzorul nemișcat câteva secunde și notați iluminanța Iₙ. Recomandare: efectuați măsurători pentru 5-6 distanțe cuprinse între ~0,5 m și ~2,5 m, incluzând atât valori apropiate cât și mai îndepărtate, pentru a observa clar variația.

3. Repetiție și acuratețe

Pentru fiecare distanță, repetați măsurarea de 2-3 ori și calculați media, pentru a reduce efectul eventualelor fluctuații ale senzorului. Asigurați-vă că între LED și senzor nu intervin obstacole și că LED-ul menține aceeași intensitate (dacă folosește baterii, verificați ca acestea să nu se descarce pe parcursul experimentului).

Tabel de date (exemplu)

Distanța r (m)	Iluminanța brută (lux)	Iluminanța corectată (lux)	Ir² (valoare)
0,50	1600	1600 – Ifundal = 1595	0,50² × 1595 = …
0,75	710	710 – Ifundal = 705	0,75² × 705 = …
1,00	400	400 – Ifundal = 396	1,00² × 396 = …
1,50	180	180 – Ifundal = 175	1,50² × 175 = …
2,00	100	100 – Ifundal = 95	2,00² × 95 = …
(Valorile din tabel sunt fictive și au rol ilustrativ.)

Prelucrarea datelor

Scădeți I_fundal din fiecare citire pentru a obține intensitatea luminoasă datorată exclusiv LED-ului. Completați coloana I · r² și observați variația acestei mărimi. Dacă legea se respectă, I · r² ar trebui să fie aproximativ constantă la toate distanțele (diferențe de max. 5-10% datorate erorilor experimentale). Reprezentați grafic I în funcție de r (grafic cartezian) și, separat, log I în funcție de log r (grafic log-log). Trasați, pe graficul log-log, linia de regresie liniară prin punctele experimentale și determinați panta acesteia. Așteptați o pantă în jur de –2. De asemenea, verificați un caz particular: calculați raportul I₁/I₂ pentru două distanțe distincte și comparați cu inversul pătrat al raportului distanțelor (r₂/r₁)². Acest calcul servește ca verificare punctuală a legii; deviații mici (sub 10-15%) sunt acceptabile având în vedere precizia senzorului și a citirilor.

Întrebări și observații

• Cum ați putea estima incertitudinea (eroarea) în determinarea exponențialului –2? (Sugestie: analizați abaterea valorilor I · r² față de medie sau eroarea standard a pentei în regresia log-log).
• Explicați calitativ de ce este important ca LED-ul să fie considerat sursă punctiformă. Ce s-ar întâmpla cu măsurătorile dacă sursa ar fi una extinsă (de ex. un tub fluorescent de 1 m)?
• De ce este necesar ca senzorul să fie orientat perpendicular către sursă și să nu fie prea aproape de aceasta? (Răspundeți discutând despre legea cosinusului și despre limitele de linearitate ale senzorului).
• Dacă ați folosi un laser în loc de LED, credeți că măsurătorile ar mai indica o dependență de 1/r²? De ce? (Digital 2024).
• Cum ați folosi rezultatele acestui experiment pentru a determina distanța la care un anumit nivel de iluminare devine sub o valoare prag (de exemplu, < 1 lux)? Formulați pe baza datelor obținute o metodă de extrapolare.

Concluzii

Experimentul v-a permis să confirmați legea inversului pătrat pentru lumina emisă de o sursă aproximativ punctiformă. Datele măsurate arată că intensitatea scade semnificativ odată cu creșterea distanței – graficul log-log obținut fiind aproape o linie dreaptă de pantă –2, în acord cu modelul teoretic. Abaterile mici pot fi explicate prin erori experimentale sau caracteristici neideale ale dispozitivelor (limitarea senzorului, sursa neperfect punctuală etc.). Per ansamblu, rezultatele susțin relația I ∝ 1/r², demonstrând validitatea acestei legi fundamentale a opticii. Pe baza experimentului, am înțeles de ce luminile par mai slabe la distanță: densitatea fluxului luminos scade cu pătratul distanței, ceea ce are implicații practice de la iluminatul scenelor până la astronomie și fotografie. Sources:

Bibliografie

• Digital, ProGrade. 2024. „Inverse Square Law in Photography”. ProGrade Digital, iunie 12. https://progradedigital.com/understanding-and-using-the-inverse-square-law-in-photography/.
• Mace, Nina. 2017. „Photographing Children : Tips for Creating Interesting Light Indoors”. Www.Ninamacephotography.Com, aprilie 18. https://www.ninamacephotography.com/photographing-children-tips-for-creating-interesting-light-indoors/.
• Ryer, Alexander D. 1997. „Basic Light Measurement Principles – Chapter 6 – Light Measurement Tutorial | ILT”. https://internationallight.com/basic-light-measurement-principles-chapter-6-light-measurement-tutorial?srsltid=AfmBOoqmlfGvfXvg4O_Amr2c_f7FNvPR6y9Qw4oV323ecfmnnNhM0fKv.

PDF: https://www.telework.ro/ro/e-books/legea-inversului-patratului-pentru-lumina/