Notații științifice

În astronomie (și în alte științe), este adesea necesar să ne ocupăm de numere foarte mari sau foarte mici. De fapt, atunci când numerele devin cu adevărat mari în viața de zi cu zi, cum ar fi datoria națională a Statelor Unite, le numim astronomice. Printre ideile cu care astronomii trebuie să se ocupe în mod obișnuit este că Pământul se află la 150.000.000.000 de metri de Soare, iar masa atomului de hidrogen este de 0,00000000000000000000000000167 kilograme. Nimeni sănătos la minte nu ar dori să scrie și să memoreze atâtea zerouri!

În schimb, oamenii de știință au convenit asupra unui fel de notație scurtă, care nu numai că este mai ușor de scris, dar (cum vom vedea) face mult mai puțin dificilă înmulțirea și împărțirea numerelor mari și mici. Dacă nu ați folosit niciodată această notație cu puteri de zece sau notație științifică, poate dura ceva timp să vă obișnuiți, dar în curând vă va fi mult mai ușor decât să țineți evidența tuturor acestor zerouri.

Scrierea numerelor mari

În notația științifică, în general suntem de acord să avem un singur număr la stânga punctului zecimal. Dacă un număr nu este în acest format, trebuie schimbat. Numărul 6 este deja în formatul corect, deoarece pentru numere întregi, înțelegem că există un punct zecimal în dreapta lor. Deci 6 este într-adevăr 6., și există într-adevăr un singur număr la stânga punctului zecimal. Dar numărul 965 (care este 965.) are trei numere la stânga virgulei zecimale și, prin urmare, este pregătit pentru conversie.

Pentru a schimba 965 la forma corectă, trebuie să îl facem 9,65 și apoi să urmărim modificarea pe care am făcut-o. (Gândiți-vă la număr ca la un salariu săptămânal și dintr-o dată este o mare diferență dacă avem 965 USD sau 9,65 USD.) Ținem evidența numărului de locuri în care am mutat punctul zecimal exprimându-l ca putere a zece. Deci 965 devine 9,65 × 10² sau 9,65 înmulțit cu zece la a doua putere. Micul 2 de la putere se numește exponent și ne spune de câte ori am mutat punctul zecimal spre stânga.

Rețineți că 10² desemnează și 10 pătrat, sau 10 × 10, care este egal cu 100. Și 9,65 × 100 este tot 965, numărul cu care am început. Un alt mod de a privi notația științifică este că separăm numerele dezordonate din față și lăsăm unitățile netede de zece pentru ca exponentul să le denote. Deci un număr ca 1.372.568 devine 1,372568 ori un milion (10⁶) sau 1,372568 ori 10 înmulțit cu el însuși de 6 ori. A trebuit să mutam virgulă zecimală cu șase locuri la stânga (de la locul ei după 8) pentru a obține numărul în forma în care există doar o cifră la stânga punctului zecimal.

Motivul pentru care numim această notație cu puteri de zece este că sistemul nostru de numărare se bazează pe creșteri de zece; fiecare loc din sistemul nostru de numerotare este de zece ori mai mare decât locul din dreapta acestuia. După cum probabil ați învățat, acest lucru a început pentru că ființele umane au zece degete și am început să numărăm cu ele. (Este interesant să speculăm că dacă vom întâlni vreodată forme de viață inteligente cu doar opt degete, sistemul lor de numărare ar fi probabil o notație cu puteri de opt!)

Deci, în exemplul cu care am început, numărul de metri de la Pământ la Soare este de 1,5 × 10¹¹. În altă parte a cărții, menționăm că o coardă de 1 an lumină s-ar răsuci în jurul ecuatorului Pământului de 236 de milioane sau de 236.000.000 de ori. În notație științifică, aceasta ar deveni 2,36 × 10⁸. Acum, dacă vă place să exprimați lucrurile în milioane, așa cum fac rapoartele anuale ale companiilor de succes, s-ar putea să doriți să scrieți acest număr ca 236 × 10⁶. Cu toate acestea, convenția obișnuită este să aveți doar un număr la stânga punctului zecimal.

Scrierea numerelor mici

Acum luați în considerare un număr ca 0,00347, care, de asemenea, nu este în forma standard (cu care s-a căzut de acord) pentru notația științifică. Pentru a-l pune în acest format, trebuie să facem prima parte a acestuia 3,47 mutând virgulă zecimală cu trei locuri la dreapta. Rețineți că această mișcare spre dreapta este opusă mișcării către stânga despre care am discutat mai sus. Pentru a urmări, numim această modificare negativă și punem semnul minus în exponent. Astfel 0,00347 devine 3,47 × 10⁻³.

În exemplul pe care l-am dat la început, masa atomului de hidrogen ar fi atunci scrisă ca 1,67 × 10⁻²⁷ kg. În acest sistem, unul este scris ca 10⁰, o zecime ca 10⁻¹, o sutime ca 10⁻² și așa mai departe. Rețineți că orice număr, indiferent cât de mare sau cât de mic, poate fi exprimat în notație științifică.

Înmulțirea și împărțirea

Notația științifică nu este doar compactă și convenabilă, ci simplifică și aritmetica. Pentru a înmulți două numere exprimate ca puteri de zece, trebuie doar să înmulțiți numerele din față și apoi să adăugați exponenții. Dacă nu există numere în față, ca în 100 × 100.000, atunci trebuie doar să adăugați exponenții (în notația noastră, 10² × 10⁵ = 10⁷). Când există numere în față, trebuie să le înmulți, dar sunt mult mai ușor de tratat decât numerele cu multe zerouri în ele.

Iată un exemplu:

(3 × 10⁵) × (2 × 10⁹) = 6 × 10¹⁴

Și iată un alt exemplu:

0,04 × 6.000.000 = (4 × 10⁻²) × (6 × 10⁶) = 24 × 10⁴ = 2,4 × 10⁵

Rețineți în al doilea exemplu că atunci când am adăugat exponenții, am tratat exponenții negativi așa cum facem în aritmetica obișnuită (−2 plus 6 este egal cu 4). De asemenea, observați că primul nostru rezultat avea un 24 în el, care nu era în forma acceptabilă, având două locuri la stânga punctului zecimal și, prin urmare, l-am schimbat la 2,4 și am schimbat exponentul în consecință.

Pentru a împărți, împărțiți numerele din față și scădeți exponenții. Iată câteva exemple:

1.000.000/1000 = 10⁶/10³ = 10⁽⁶⁻³⁾=10³

9 × 10¹²/2 × 10³= 4,5×10⁹

2,8 × 10²/6,2 × 10⁵ = 0,452×10⁻³ = 4,52×10⁻⁴

În ultimul exemplu, primul nostru rezultat nu a fost în forma standard așa că a trebuit să schimbăm 0,452 în 4,52 și să schimbăm exponentul în consecință.

Dacă este prima dată când întâlniți notația științifică, vă îndemnăm să exersați multe exemple folosind-o. Ca orice limbă nouă, notația pare complicată la început, dar devine mai ușoară pe măsură ce o exersați.