Nouă elevi se plimbă câte trei timp de șase zile, astfel încât niciun elev să nu meargă de două ori alături de același coleg. Cum i-ai aranja?
Dacă îi reprezentăm prin primele nouă litere ale alfabetului, aceștia ar putea fi grupați în prima zi după cum urmează:
Astfel A nu mai poate merge în altă zi alături de B, sau B alături de C, sau D alături de E, și așa mai departe. Dar A poate, bineînțeles, să meargă alături de C. Nu este vorba aici de a fi împreună în aceeași grupă de trei, ci de a merge unul lângă altul într-o astfel de grupă. În aceste condiții pot ieși timp de șase zile.
Elevii se pot plimba astfel:
Ziua 1 Ziua 2 Ziua 3 Ziua 4 Ziua 5 Ziua 6
A B C B F H F A G A D H G B I D C A
D E F E I A I D B B E G C F D E H B
G H I C G D H C E F I C H A E I G F
În acest mod, fiecare elev se va alături de fiecare coleg o singură dată.
Abordând problema în general, 12n + 9 elevi pot ieși câte trei în condițiile date timp de 9n + 6 zile, unde n poate fi zero sau orice număr întreg. Fiecare pereche posibilă va apărea o singură dată. Să numim numărul de elevi cu m. Atunci, fiecare doi elevi vor fi alături de m – 1 ori, din care de (m – 1)/4 ori va fi în mijlocul unui grup de trei și de (m – 1)/2 ori va fi în exterior. Astfel, dacă ne referim la soluția de mai sus, descoperim că fiecare elev este la mijloc de două ori (formând 4 perechi) și de patru ori pe exterior (formând restul de 4 perechi din cele 8). Cititorul poate dori acum să încerce să rezolve cele două cazuri următoare de 21 de elevi în 15 zile și 33 de elevi în 24 de zile. Este, poate, interesant de remarcat faptul că o școală de 489 de elevi ar putea astfel să meargă zilnic timp de un an bisect.
Lasă un răspuns