Potențialul cuantic

Potențialul cuantic este un concept central al formulării de Broglie-Bohm a mecanicii cuantice, introdus de David Bohm în 1952.

Inițial prezentat sub numele de potențial mecanic cuantic, ulterior potențial cuantic, a fost mai târziu elaborat de Bohm și de Basil Hiley în interpretarea sa ca potențial de informație care acționează asupra unei particule cuantice. Se mai menționează și ca energia potențialului cuantic, potențialul Bohm, potențialul cuantic Bohm sau potențialul Bohm cuantic.

Potențialul cuantic:

Q = – ℏ²/2m·∇²R/R

În cadrul teoriei de Broglie-Bohm, potențialul cuantic este un termen din ecuația Schrödinger care acționează pentru a ghida mișcarea particulelor cuantice. Abordarea cuantică a potențialului introdusă de Bohm oferă o expunere formală mai completă a ideii prezentate de Louis de Broglie: de Broglie a postulat în 1926 că funcția de undă reprezintă o undă pilot care ghidează o particulă cuantică, dar și-a abandonat ulterior abordarea datorită obiecțiile ridicate de Wolfgang Pauli. Articolele seminale ale lui Bohm din 1952 au introdus potențialul cuantic și au inclus răspunsuri la obiecțiile ridicate împotriva teoriei undei pilot.

Potențialul cuantic Bohm este strâns legat de rezultatele altor abordări, în special legate de munca lui Erwin Madelung din 1927 și de munca lui Carl Friedrich von Weizsäcker din 1935.

Bazându-se pe interpretarea teoriei cuantice introdusă de Bohm în 1952, David Bohm și Basil Hiley în 1975 au prezentat modul în care conceptul de potențial cuantic conduce la noțiunea de „integritate neîntreruptă a întregului univers”, propunând ca noua calitate fundamentală introdusă de fizica cuantică să fie nonlocalitatea.

Potențialul cuantic ca parte a ecuației lui Schrödinger

Ecuația Schrödinger

iℏ·∂ψ/∂ t = (- ℏ²/2m·∇² + V)ψ

este re-scrisă folosind forma polară pentru funcția de unde ψ = Rexp(iS/ℏ) cu funcții reale R și S, unde R este amplitudinea (valoarea absolută) a undei ψ și S/ℏ faza sa. Aceasta dă două ecuații: din părțile imaginară și reală a ecuației Schrödinger rezultă ecuația continuității și respectiv ecuația cuantică Hamilton-Jacobi.

Ecuația de continuitate

Partea imaginară a ecuației lui Schrödinger în formă polară dă

∂R∂t = – 1/2m·[R∇²S + 2∇R·∇S],

care, cu condiția ca ρ = R², poate fi interpretată ca ecuația de continuitate ∂ρ/∂t + ∇·(ρv) = 0 pentru densitatea de probabilitate ρ și câmpul de viteză v = 1/m·∇S

Ecuația cuantică Hamilton-Jacobi

Partea reală a ecuației Schrödinger în formă polară dă o ecuație modificată Hamilton-Jacobi

∂S∂t = – [|∇S|²/2m + V + Q],

denumită și ecuația cuantică Hamilton-Jacobi. Aceasta diferă de ecuația clasică Hamilton-Jacobi numai cu un termen

Q = – ℏ²/2m·∇²R/R.

Acest termen Q, numit potențial cuantic, depinde astfel de curbura amplitudinii funcției de undă.

În limita ℏ → 0, funcția S este o soluție a ecuației (clasice) Hamilton-Jacobi; prin urmare, funcția S este numită și funcția Hamilton-Jacobi sau acțiunea, extinsă la fizica cuantică.

Proprietăți

(Traiectoriile lui Bohm sub influența potențialului cuantic, la exemplul unui electron care trece prin experimentul cu două

fante.)

Hiley a subliniat câteva aspecte care privesc potențialul cuantic al unei particule cuantice:

• este derivată matematic din partea reală a ecuației Schrödinger sub descompunerea polară a funcției de undă, nu este derivată dintr-o sursă externă hamiltoniană sau de altă natură, și se poate spune că este implicată într-un proces de auto-organizare care implică un domeniu fundamental de bază;
• nu se schimbă dacă R este înmulțită cu o constantă, așa cum acest termen este prezent și în numitor, astfel încât Q este independent de magnitudinea lui ψ și de intensitatea câmpului; prin urmare, potențialul cuantic îndeplinește o condiție prealabilă pentru nonlocalitate: nu trebuie să scadă pe măsură ce distanța crește;
• poartă informații despre întregul aranjament experimental în care particula se găsește.

În 1979, Hiley și colegii săi, Philippidis și Dewdney, au prezentat un calcul complet asupra explicării experimentului cu două fante în ceea ce privește traiectoriile bohmiane care apar pentru fiecare particulă care se mișcă sub influența potențialului cuantic, rezultând binecunoscutele modele de interferențe.

(Schema experimentului cu două fante în care se poate observa efectul Aharonov-Bohm: electronii trec prin două fante interferând pe un ecran de observare, și modelul de interferență suferă o schimbare atunci când un câmp magnetic B este pornit în solenoidul cilindric.)

De asemenea, schimbarea modelului de interferență care apare în prezența unui câmp magnetic în efectul Aharonov-Bohm ar putea fi explicat ca rezultat al potențialului cuantic.

Relația cu procesul de măsurare

Colapsul funcției de undă din interpretarea de la Copenhaga a teoriei cuantice este explicat în abordarea potențialului cuantic prin demonstrația că, după o măsurare, „toate pachetele funcției de undă multidimensionale care nu corespund cu rezultatul real al măsurării nu au efect asupra particulei” începând de atunci. Bohm și Hiley au subliniat că

„potențialul cuantic poate dezvolta puncte de bifurcare instabile, care separă clasele de traiectorii ale particulelor în funcție de „canalele” în care intră în cele din urmă și în care rămân. Acest lucru explică modul în care măsurarea este posibilă fără „colaps” a funcției de undă, și modul în care tot felul de procese cuantice, cum ar fi tranzițiile între stări, fuziunea a două stări într-una și divizarea unui sistem în două, pot avea loc fără a fi nevoie de un observator uman”.

Măsurarea „implică o transformare participativă în care atât sistemul de observație, cât și aparatul sub observare sunt supuse unei participări reciproce, astfel încât traiectoriile să se comporte într-o manieră corelată, devenind corelate și separate în seturi diferite, care nu se suprapun (numite „canale” )“.

Potențialul cuantic al unui sistem de n-particule

Funcția de undă Schrödinger a unui sistem cuantic cu multe particule nu poate fi reprezentată în spațiul obișnuit tridimensional. Mai degrabă, este reprezentată în spațiul de configurație, cu trei dimensiuni per particulă. Un punct unic în spațiul de configurare reprezintă astfel configurația întregului sistem de n-particule ca întreg.

O funcție de undă pentru două particule ψ(r₁,r₂,t) cu particule identice de masă m are potențialul cuantic

Q(r₁,r₂,t) = – ℏ2/2m·(∇₁² + ∇₂²)R(r₁,r₂,t)/R(r₁,r₂,t)

unde ∇₁² și ∇₂² se referă la particula 1 și respectiv la particula 2. Această expresie se generalizează în mod direct la n particule:

Q(r₁, … ,r_n,t) = – ℏ2/2R(r₁, … ,r_n,t)·Σ_i=1ⁿ ∇_i²/m_i·R(r₁, … ,r_n,t)

În cazul în care funcția de undă a două sau mai multe particule este separabilă, atunci potențialul cuantic total al sistemului devine suma potențialelor cuantice ale particulelor. Separabilitatea exactă este extrem de nefizică, având în vedere că interacțiunile dintre sistem și mediul său distrug factorizarea; totuși, o funcție de undă care este o suprapunere a mai multor funcții de undă de suport aproximativ disjunctiv va factoriza aproximativ.

Interpretarea și denumirea potențialului cuantic

În articolul său din 1952, oferind o interpretare alternativă a mecanicii cuantice, Bohm a vorbit deja despre un potențial „cuantic-mecanic”.

Bohm și Basil Hiley au numit, de asemenea, potențialul cuantic un potențial de informare, dat fiind faptul că influențează forma proceselor și este modelat de mediul înconjurător. Bohm a arătat că „Nava sau avionul (cu pilotul său automat) este un sistem autonom, adică are propria sa energie. Dar forma activității sale este determinată de conținutul informațional referitor la mediul său care este purtat de undele radar. Acest lucru este independent de intensitatea undelor. Putem considera, similar, potențialul cuantic drept o informare activă. Este potențial activ peste tot, dar de fapt activă doar acolo unde și când există o particulă”. (subliniere italică în original).

Hiley se referă la potențialul cuantic ca energie internă și ca „o nouă calitate a energiei care joacă un rol numai în procesele cuantice”. El explică faptul că potențialul cuantic este un alt termen energetic în afară de energia cinetică binecunoscută și de energia potențială (clasică), și că acesta este un termen energetic nelocal care apare în mod necesar din perspectiva cerinței de conservare a energiei; el a adăugat că o mare parte din rezistența comunității fizice împotriva noțiunii de potențial cuantic s-ar fi putut datora așteptărilor oamenilor de știință că energia ar trebui să fie locală.

Hiley a subliniat că potențialul cuantic, pentru Bohm, a fost „un element cheie în obținerea de informații despre ceea ce ar putea sta la baza formalismului cuantic: Bohm a fost convins de analiza sa mai profundă a acestui aspect al abordării că teoria nu ar putea fi mecanică, este organică în sensul lui Whitehead. Și anume, că întregul a fost cel care a determinat proprietățile particulelor individuale și relațiile lor, și nu invers.”

Peter R. Holland, în manualul său cuprinzător, se referă, de asemenea, la acesta ca energie potențială cuantică.

Aplicații

Abordarea cuantică a potențialului poate fi utilizată pentru a modela efectele cuantice fără a fi necesară rezolvarea explicită a ecuației Schrödinger, și poate fi integrată în simulări, cum ar fi simulările Monte Carlo, utilizând ecuațiile hidrodinamice și difuzia deviației. Aceasta se face sub forma unui calcul „hidrodinamic” al traiectoriilor: pornind de la densitatea fiecărui „element de fluid”, accelerația fiecărui „elementde  fluid” se calculează din gradientul lui V și Q, iar divergența rezultantă a câmpului vitezei determină modificarea densității.

Abordarea folosind traiectoriile Bohmian și potențialul cuantic este folosită pentru calcularea proprietăților sistemelor cuantice care nu pot fi rezolvate exact, adesea aproximate folosind abordări semi-clasice. Întrucât în abordările ​​câmpului mediu potențialul pentru mișcarea clasică rezultă din o mediere a funcțiilor de undă, această abordare nu necesită calcularea unei integrale peste funcțiile de undă.

Expresia pentru forța cuantică a fost utilizată, împreună cu analizele statistice bayesiene și metodele de maximizare a așteptărilor, pentru calculul ansamblurilor de traiectorii care apar sub influența forțelor clasice și cuantice.