Puzzle de decupare cu crucea grecească (3)

 Fig. 23  Fig. 24

Acum un alt puzzle. Dacă ați tăiat cele cinci piese indicate în figura 14, veți observa că acestea pot fi asamblate astfel încât să formeze crucea curioasă prezentată în figura 23. Deci, dacă v-aș ruga să tăiați figura 24 în cinci bucăți pentru a forma fie un pătrat, fie două cruci grecești egale, ați ști cum să faceți. Ați face tăieturile ca în figura 23 și le așezați împreună ca în fig. 14 și 15. Dar vreau ceva mai bun decât asta, și asta este. Tăiați figura 24 în numai patru bucăți care se vor potrivi împreună și vor forma un pătrat.

 Fig. 25  Fig. 26

Soluția puzzle-ului este prezentată în Fig. 25 și 26. Direcția tăierii de separare A și C din prima diagramă este foarte evidentă, iar cea de-a doua tăiere este făcută în unghi drept. Faptul că cele patru piese ar trebui să se potrivească împreună și să formeze un pătrat va surprinde pe novice, care va face bine să studieze puzzle-ul cu o anumită grijă, deoarece este cel mai instructiv.

Voi explica acum regula frumoasă prin care determinăm dimensiunea unui pătrat care va avea aceeași arie ca o cruce grecească, deoarece este aplicabilă și necesară soluției aproape a fiecărui puzzle de disecție cu care ne întâlnim. A fost descoperită pentru prima data de filosoful Pitagora, care a murit in anul 500 î.e.n. și este cea de-a 47-a propozitie a lui Euclid. Tânărul cititor care nu știe nimic despre elementele de geometrie va avea o idee despre caracterul fascinant al acestei științe. Triunghiul ABC din figura 27 este ceea ce numim un triunghi dreptunghiular, deoarece partea BC este în unghi drept față de partea AB. Acum, dacă vom construi un pătrat pe fiecare parte a triunghiului, pătratele de pe AB și BC vor fi împreună egale cu pătratul de pe partea lungă AC, pe care noi o numim ipotenuză. Acest lucru este dovedit în cazul în care am creat prin subdivizare cele trei pătrate în celule de dimensiuni egale.

 Fig. 27  Fig. 28

Se va vedea că 9 adăugat la 16 este egal cu 25, numărul de celule din pătratul mare. Dacă faceți triunghiuri cu laturile 5, 12 și 13 sau cu 8, 15 și 17, veți obține dovezi aritmetice similare, deoarece acestea sunt toate triunghiuri „drepte”, dar legea este la fel de adevărată pentru toate cazurile. Presupunând că am tăiat brațul inferior al unei cruci grecești și l-am așezat la stânga brațului superior, ca în figura 28, atunci pătratul pe EF adăugat la pătrat pe DE este exact egal cu un pătrat pe DF. Prin urmare știm că pătratul DF va conține aceeași zonă ca și crucea. Acest fapt l-am dovedit practic prin soluțiile puzzle-urilor anterioare ale acestei serii. Dar indiferent de lungimea pe care o oferim lui DE și EF, nu putem da niciodată lungimea exactă a DF în număr, deoarece triunghiul nu este unul „rațional”. Dar legea este totuși adevărată din punct de vedere geometric.

 Fig. 29  Fig. 30

Acum, uitați-vă la figura 29 și veți vedea o metodă elegantă pentru tăierea unei bucăți de lemn în forma a două pătrate (de orice dimensiune relativă) în trei bucăți care se vor potrivi împreună și vor forma un singur pătrat. Dacă marcați distanța ab egală cu partea cd, direcțiile tăieturilor sunt foarte evidente. Din ceea ce tocmai am luat în considerare, veți vedea de îndată de ce bc trebuie să fie lungimea laturii noului pătrat. Efectuați experimentul ori de câte ori doriți, luând diferite proporții relative pentru cele două pătrate și veți găsi că regula este întotdeauna adevărată. Dacă faceți cele două pătrate de aceeași dimensiune, veți vedea că diagonala oricărui pătrat este întotdeauna partea unui pătrat care este de două ori mai mare decât dimensiunea. Toate acestea, care sunt atât de simple încât oricine le poate înțelege, sunt foarte esențiale pentru rezolvarea puzzle-urilor de tăiere. Este, de fapt, cheia pentru majoritatea acestora. Și totul este atât de frumos încât pare păcat că nu ar trebui să fie familiar tuturor.

 Fig. 31  Fig. 32

Vom face acum un pas mai departe și ne vom ocupa cu jumătății de pătrat. Luați un pătrat și tăiați-l în jumătate în diagonală. Acum încercați să descoperiți cum să tăiați acest triunghi în patru bucăți care vor forma o cruce grecească. Soluția este prezentată în fig. 31 și 32. În acest caz se va vedea că împărțim două părți ale triunghiului în trei părți egale, iar partea lungă în patru părți egale. Apoi, direcția tăieturilor va fi ușor de găsit. Este un puzzle destul de dificil și un pic mai dificil decât unele din celelalte pe care le-am dat. Ar trebui remarcat din nou că ar fi fost mult mai ușor să localizați tăieturile în puzzle-ul invers al tăierii crucii pentru a forma un triunghi pătrat.

 Fig. 33  Fig. 34

Un alt ideal pe care producătorul de puzzle-uri îl are mereu în minte este acela de a restricționa, dacă este posibil, doar la o singură soluție corectă. Astfel, în cazul primului puzzle, dacă cerem doar ca o cruce grecească să fie tăiată în patru bucăți pentru a forma un pătrat, există, după cum am arătat, un număr infinit de soluții diferite. Se poate face un puzzle mai bundacă se adaugă condiția ca toate cele patru piese să fie de aceeași mărime și formă, deoarece pot fi apoi rezolvate într-un singur mod, ca în Fig. 8 și 9. În acest fel, un puzzle care este prea ușor pentru a fi interesant poate fi îmbunătățit printr-o astfel de adăugare. Să luăm un exemplu. Am văzut în figura 28 că figura 33 poate fi tăiată în două bucăți pentru a forma o cruce grecească. Cred că un copil inteligent o va rezolva în cinci minute. Dar să presupunem că trebuie să spunem că puzzle-ul trebuie rezolvat cu o bucată de lemn care are un nod rău în poziția prezentată în figura 33 – un nod pe care nu trebuie să încercăm să-l tăiem – atunci o soluție în două bucăți este blocată, și devine un puzzle mai interesant pentru a-l rezolva în trei piese. Am arătat în Fig. 33 și 34 o modalitate de a face acest lucru și va fi distractiv să descoperim alte modalități de a face acest lucru. Bineînțeles că am putea bloca toate aceste alte căi prin introducerea mai multor noduri, reducând astfel puzzle-ul la o singură soluție, dar ar fi apoi supraîncărcat cu condiții.

Și asta ne aduce într-un alt punct în căutarea idealului. Nu vă supraîncărcați condițiile sau veți face puzzle-ul prea complex pentru a fi interesant. Cu cât sunt mai simple condițiile unui puzzle, cu atât mai bine. Soluția poate fi la fel de complexă și dificilă pe cât vă place sau cum se nimerește, dar condițiile ar trebui să fie ușor de înțeles sau oamenii nu vor căuta o soluție.

Dacă cititorul ar fi fost rugat acum să „taie o jumătate de pătrat în cât mai puține bucăți posibil pentru a forma o cruce grecească”, el probabil va produce soluția noastră, Figs. 31-32, și în mod sigur va susține că a rezolvat corect puzzle-ul. În acest fel el ar fi greșit, pentru că nu acum se spune că pătratul trebuie divizat în diagonală. Deși ar trebui să observăm mereu condițiile exacte ale unui puzzle, nu trebuie să citim condiții care nu există. Multe puzzle-uri se bazează în întregime pe tendința pe care o au oamenii să facă acest lucru.

Primul aspect esențial în rezolvarea unui puzzle este să fiți sigur că înțelegeți condițiile exacte. Acum, dacă ați împărțit pătratul în jumătate pentru a produce figura 35, este posibil să o tăiați doar în trei bucăți pentru a forma o cruce grecească. Astfel salvăm o bucată.

 Fig. 35  Fig. 36

Dau un alt puzzle în figura 36. Linile punctate sunt adăugate doar pentru a arăta proporțiile corecte ale figurii – un pătrat de 25 de celule cu cele patru celule de colț tăiate. Puzzle-ul este de a tăia această figură în cinci bucăți care vor forma o cruce grecească (întreagă) și un pătrat.

Soluția la primul din cele două puzzle-uri care au fost date ultima dată – de a tăia un dreptunghi cu forma unui jumătate de pătrat în trei bucăți care vor forma o cruce grecească, este prezentat în Fig. 37 și 38. Se va vedea că împărțim laturile lungi ale oblongului în șase părți egale și laturile scurte în trei părți egale, pentru a obține punctele care vor indica direcția tăieturilor. Cititorul ar trebui să compare această soluție cu unele dintre ilustrațiile anterioare. El va vedea, de exemplu, că dacă vom continua tăierea care împarte B și C în cruce, vom obține Figura 15.

 Fig. 37  Fig. 38

Celălalt puzzle, ca cel ilustrat în Fig. 12 și 13, vor arăta cât de utilă poate fi uneori puțină aritmetică în rezolvarea puzzle-urilor de disecție. Există douăzeci și una din acele celule mici pătrate în care figura noastră este subdivizată, din care trebuie să formăm atât o cruce pătrată, cât și o cruce greacă. Acum, când crucea este construită din cinci pătrate și scăzând 5 din 21 rămâne 16 – un număr pătrat – ar trebui să fie ușor să mergem spre soluția prezentată în figura 39. Se va vedea că crucea este tăiată în întregime, în timp ce cele patru piese rămase formează pătratul din figura 40.

 Fig. 39  Fig. 40

Desigur, un dreptunghi jumătate pătrat este același ca un pătrat dublu, sau două pătrate egale unite. Prin urmare, dacă doriți să rezolvați puzzle-ul de tăiere a unei cruci grecești în patru bucăți pentru a forma două pătrate separate de aceeași mărime, tot ce trebuie să faceți este să continuați tăierea scurtă în figura 38 chiar peste cruce și veți avea patru bucăți de aceeași mărime și formă. Acum împărțiți figura 37 în două pătrate egale printr-o tăiere orizontală la mijloc și veți vedea cele patru piese care formează cele două pătrate.

 Fig. 41

Tăiați o cruce grecească în cinci bucăți care vor forma două pătrate separate, dintre care una va conține jumătate din suprafața unuia dintre brațele crucii. În continuare ilustrând ceea ce am scris deja, dacă cele două pătrate de aceeași mărime ABCD și BCFE, în figura 41, sunt tăiate în maniera indicată de liniile punctate, cele patru piese vor forma pătratul mare AGEC. Vedem astfel că diagonala AC este partea unui pătrat de două ori mai mare decât dimensiunea ABCD. De asemenea, este clar că jumătate din diagonala oricărui pătrat este egală cu latura unui pătrat de jumătate din suprafață. Prin urmare, dacă pătratul mare din diagramă este unul dintre brațele crucii dvs., pătratul mic este dimensiunea unuia dintre pătraturile necesare în puzzle.

 Fig. 42  Fig. 43

Soluția este prezentată în fig. 42 și 43. Se va vedea că pătratul mic este tăiat întreg și pătratul mare ceste ompus din cele patru piese B, C, D și E. După ce am scris, cititorul nu va avea nicio dificultate să vadă că pătratul A este jumătate din mărimea unuia dintre brațele crucii, deoarece lungimea diagonalei fostului pătrat este în mod clar aceeași ca și latură celui din urmă. Lucrul este acum evident. Am încercat astfel să arăt că unele dintre aceste puzzle-uri, pe care mulți oameni sunt capabili să le considere ca fiind minunate și uimitoare, nu sunt cu adevărat dificile dacă folosim doar puțin gândire și judecată.