Teoria jocurilor: Jocuri cu sumă zero pentru două persoane

Acestea sunt adesea primele jocuri studiate în teoria jocurilor, deoarece pot fi ușor de analizat. Toate jocurile noastre din acest capitol vor avea doar doi jucători. De asemenea, ne vom concentra asupra jocurilor în care câștigul unui jucător implică pierderea celuilalt jucător.

Definiția 2.1.1 Un joc cu doi jucători se numește joc cu sumă zero dacă suma câștigurilor fiecărui jucător este constantă pentru toate rezultatele posibile ale jocului.Mai precis, termenii (sau coordonatele) din fiecare vector de câștig trebuie să se însumeze la aceeași valoare pentru fiecare vector de câștig. Astfel de jocuri sunt uneori numite jocuri cu sumă constantă.

Ne putem gândi întotdeauna la jocurile cu sumă zero ca fiind jocuri în care câștigul unui jucător implică pierderea celuilalt jucător.

Exemplul 2.1.2 Sumă zero în poker. Luați în considerare un joc de poker în care fiecare jucător vine la joc cu 100 USD. Dacă există cinci jucători, atunci suma de bani pentru toți cei cinci jucători este întotdeauna de 500 USD. În orice moment al jocului, un anumit jucător poate avea mai mult de 100 USD, dar atunci un alt jucător trebuie să aibă mai puțin de 100 USD. Câștigul unui jucător este pierderea altui jucător.

Exemplul 2.1.3 Sumă zero în tăierea prăjiturii. Luați în considerare jocul tăierii prăjiturii. Determinați matricea de câștiguri pentru acest joc. Este important să determinați care sunt opțiunile fiecărui jucător mai întâi: cum poate „cel care taie” să taie tortul? Cum poate „cel care alege” să-și aleagă bucata? Matricea câștigurilor este dată în Tabelul 2.1.4.

Tabelul 2.1.4 Matricea de plăți pentru jocul tăierii prăjiturii.

		Cel care alege
		Bucata mai mare	Bucata mai mică
Cel care taie	Tăiere egală	(jumătate, jumătate)	(jumătate, jumătate)
	Tăiere inegală	(bucata mică, bucata mare)	(bucata mare, bucata mică)

Pentru a vedea mai bine că acest joc este cu sumă zero (sau cu sumă constantă), am putea da valori pentru cantitatea de prăjitură pe care o primește fiecare jucător. De exemplu, jumătate din prăjitură ar fi 50%, o bucată mică ar putea fi 40%. Atunci putem rescrie matricea cu valorile procentuale din tabelul 2.1.5

Tabelul 2.1.5 Matricea plăților, în procente din prăjiyură, pentru jocul tăierii prăjiturii.

		Cel care alege
		Bucata mai mare	Bucata mai mică
Cel care taie	Tăiere egală	(50, 50)	(50, 50)
	Tăiere inegală	(40, 60)	(60, 40)

În fiecare rezultat, câștigurile pentru fiecare jucător se adună până la 100 (sau 100%). În termeni mai matematici, coordonatele fiecărui vector de câștig se adună până la 100. Astfel, suma este aceeași sau constantă pentru fiecare rezultat.

Este probabil simplu să vedem din matricea din tabelul 2.1.5 că jucătorul 2 va alege întotdeauna bucata mare, astfel încât jucătorul 1 ar face cel mai bine să taie prăjitura în mod uniform. Rezultatul jocului este perechea de strategii denumită [Tăiere egală, Bucata mai mare], cu vectorul de câștig rezultat (50, 50).

Dar de ce vom numi aceste jocuri mai degrabă de „sumă zero” decât „sumă constantă”? Putem converti orice joc cu sumă zero într-un joc în care câștigurile sunt de fapt zero.

Exemplul 2.1.6 Revenirea la plățile din poker. Luați în considerare jocul de poker de mai sus în care fiecare jucător începe jocul cu 100 USD. Să presupunem că, la un moment dat în joc, cei cinci jucători au următoarele sume de bani: 50 USD, 200 USD, 140 USD, 100 USD. 10 USD. Atunci ne-am putea gândi la câștigul lor ca fiind -50 USD, 100 USD, 40 USD, 0 USD, -90 USD.Care este suma aceste cinci numere?

Exemplul 2.1.7 Convertiți plățile tăierii prăjiyutii astfel încât vectorii de câștig să fie zero (în loc de 100).

Soluția este dată în tabelul 2.1.8.

Tabelul 2.1.8 Matricea de plăți cu sumă zero pentru jocul tăierii prăjiturii.

		Cel care alege
		Bucata mai mare	Bucata mai mică
Cel care taie	Tăiere egală	(0, 0)	(0, 0)
	Tăiere inegală	(-10, 10)	(10, -10)

Dar să ne asigurăm că înțelegem ce înseamnă aceste numere. De exemplu, un câștig de (0, 0) nu înseamnă că fiecare jucător nu primește nicio bucată de prăjitură, înseamnă că nu primește o bucată mai mare decât celălalt jucător. În acest exemplu, fiecare jucător primește jumătate din prăjitură (50%) plus câștigul.

Sub forma Exemplului 2.1.7, este ușor de recunoscut un joc cu sumă zero, deoarece fiecare vector de plăți are forma (a, -a) (sau (-a, a)).

Sursa: Nordstrom, Jennifer Firkins, „Introduction to Game Theory: A Discovery Approach” (2020). Linfield Authors Book Gallery. 83, licența CC BY-SA 4.0. Traducere și adaptare Nicolae Sfetcu