Fluxul electric

Fluxul este un concept general și larg aplicabil în fizică. Totuși, în acest capitol, ne concentrăm asupra fluxului câmpului electric. Acest lucru ne permite să introducem legea lui Gauss, care este deosebit de utilă pentru găsirea câmpurilor electrice ale distribuțiilor de sarcină care prezintă simetrie spațială. Principalele subiecte discutate aici sunt

Fluxul electric. Definim fluxul electric atât pentru suprafețe deschise, cât și pentru suprafețe închise.
Legea lui Gauss. Deducem legea lui Gauss pentru o distribuție arbitrară a sarcinii și examinăm rolul fluxului electric în legea lui Gauss.
Calcularea câmpurilor electrice cu legea lui Gauss. Obiectivul principal al acestui capitol este de a explica cum să folosiți legea lui Gauss pentru a găsi câmpurile electrice ale distribuțiilor de sarcină simetrice spațial. Discutăm despre importanța alegerii unei suprafețe gaussiene și oferim exemple care implică aplicațiile legii lui Gauss.
Câmpuri electrice în conductori. Legea lui Gauss oferă o perspectivă utilă asupra absenței câmpurilor electrice în materialele conductoare.

Până acum, am descoperit că câmpul electrostatic începe și se termină la sarcini punctuale și că câmpul unei sarcini punctuale variază invers cu pătratul distanței de la acea sarcină. Aceste caracteristici ale câmpului electrostatic conduc la o relație matematică importantă cunoscută sub numele de legea lui Gauss. Această lege este numită în onoarea extraordinarului matematician și om de știință german Karl Friedrich Gauss (Figura 6.2). Legea lui Gauss ne oferă un mod elegant și simplu de a găsi câmpul electric și, după cum veți vedea, poate fi mult mai ușor de utilizat decât metoda de integrare descrisă în capitolul anterior. Cu toate acestea, există o problemă – legea lui Gauss are o limitare prin aceea că, deși întotdeauna adevărată, poate fi aplicată cu ușurință numai pentru distribuțiile de sarcină cu anumite simetrii.

Figura 6.2 Karl Friedrich Gauss (1777–1855) a fost un matematician legendar al secolului al XIX-lea. Deși contribuțiile sale majore au fost în domeniul matematicii, el a avut și lucrări importante în fizică și astronomie.

Conceptul de flux descrie cât de mult din ceva trece printr-o zonă dată. Mai formal, este produsul scalar al unui câmp vectorial (în acest capitol, câmpul electric) cu o zonă. Puteți conceptualiza fluxul unui câmp electric ca o măsură a numărului de linii de câmp electric care trec printr-o zonă (Figura 6.3). Cu cât suprafața este mai mare, cu atât mai multe linii de câmp o trec și, prin urmare, cu atât fluxul este mai mare; în mod similar, cu cât câmpul electric este mai puternic (reprezentat printr-o densitate mai mare a liniilor), cu atât fluxul este mai mare. Pe de altă parte, dacă aria se rotește astfel încât planul să fie aliniat cu liniile de câmp, nimic nu va trece și nu va exista flux.

Figura 6.3 Fluxul unui câmp electric prin zona umbrită captează informații despre „numărul” liniilor de câmp electric care trec prin zonă. Valoarea numerică a fluxului electric depinde de mărimile câmpului electric și ale ariei, precum și de orientarea relativă a ariei față de direcția câmpului electric.

O analogie macroscopică, care ar putea ajuta să vă imaginați acest lucru, este să puneți un hula hoop (un cerc) într-un râu care curge. Pe măsură ce schimbați unghiul cercului în raport cu direcția curentului, mai mult sau mai puțin flux va trece prin cerc. În mod similar, cantitatea de curgere prin cerc depinde de puterea curentului și de dimensiunea cercului. Din nou, fluxul este un concept general; îl putem folosi și pentru a descrie cantitatea de lumină solară care lovește un panou solar sau cantitatea de energie pe care o primește un telescop de la o stea îndepărtată, de exemplu.

Pentru a cuantifica această idee, Figura 6.4(a) prezintă o suprafață plană S₁ a ariei A₁ care este perpendiculară pe câmpul electric uniform E⃗ = Eyˆ. Dacă N linii de câmp trec prin S₁, atunci știm din definiția liniilor de câmp electric (Sarcini și câmpuri electrice) că N/A₁ ∝ E, sau N ∝ EA₁.

Mărimea EA₁ este fluxul electric prin S₁. Reprezentăm fluxul electric printr-o suprafață deschisă ca S₁ prin simbolul Φ. Fluxul electric este o mărime scalară și are o unitate SI de newtoni-metri pătrați pe coulomb (N⋅m²/C). Observați că N ∝ EA₁ poate fi scris și ca N ∝ Φ, demonstrând că fluxul electric este o măsură a numărului de linii de câmp care traversează o suprafață.

Figura 6.4 (a) O suprafață plană S₁ a ariei A₁ este perpendiculară pe câmpul electric Ejˆ. N linii de câmp traversează suprafața S₁. (b) O suprafață S₂ a ariei A₂ a cărei proiecție pe planul xz este S₁. Același număr de linii de câmp traversează fiecare suprafață.

Acum luați în considerare o suprafață plană care nu este perpendiculară pe câmp. Cum am reprezenta fluxul electric? Figura 6.4(b) prezintă o suprafață S₂ a ariei A₂ care este înclinată la un unghi θ față de planul xz și a cărei proiecție în acel plan este S₁ (aria A₁). Zonele sunt legate prin A₂cosθ = A₁. Deoarece același număr de linii de câmp traversează atât S₁ cât și S₂, fluxurile prin ambele suprafețe trebuie să fie aceleași. Fluxul prin S₂ este deci Φ = EA₁ = EA₂cosθ. Desemnând nˆ₂ ca un vector unitar normal la S₂ (vezi Figura 6.4(b)), obținem