Câmp magnetic

Direcția câmpului magnetic după regula mâinii drepte

Direcția forței magnetice F⃗ este perpendiculară pe planul format de v⃗ și B⃗, așa cum este determinată de regula mâinii drepte-1 (sau RHR-1), care este ilustrată în Figura 11.4.

1. Orientați-vă mâna dreaptă astfel încât degetele să se îndoaie în planul definit de vectorii viteză și câmp magnetic.

2. Folosind mâna dreaptă, mergeți de la viteză către câmpul magnetic cu degetele prin cel mai mic unghi posibil.

3. Forța magnetică este îndreptată către degetul mare.

4. Dacă sarcina a fost negativă, inversați direcția găsită prin acești pași.

O particulă alfa care se mișcă într-un câmp magnetic

O particulă alfa (q = 3,2 × 10⁻¹⁹ C) se deplasează printr-un câmp magnetic uniform a cărui mărime este de 1,5 T. Câmpul este direct paralel cu axa z pozitivă a sistemului de coordonate dreptunghiular din figura 11.5. Care este forța magnetică asupra particulei alfa atunci când aceasta se mișcă (a) în direcția x pozitivă cu o viteză de 5,0 × 10⁴ m/s? (b) în direcția negativă y cu o viteză de 5,0 × 10⁴ m/s? (c) în direcția z pozitivă cu o viteză de 5,0 × 10⁴ m/s? (d) cu o viteză v⃗ = (2,0 iˆ − 3,0 jˆ + 1,0 kˆ) × 10⁴ m/s?

Figura 11.5 Forțele magnetice asupra unei particule alfa care se mișcă într-un câmp magnetic uniform. Câmpul este același în fiecare desen, dar viteza este diferită.

Strategie

Ni se dă sarcina, viteza acesteia și puterea și direcția câmpului magnetic. Putem folosi astfel ecuația F⃗ = qv⃗ × B⃗ sau F= qvBsinθ pentru a calcula forța. Direcția forței este determinată de RHR-1.

Soluție

a. În primul rând, pentru a determina direcția, începeți cu degetele îndreptate în direcția x pozitivă. Curbați degetele în sus în direcția câmpului magnetic. Degetul mare ar trebui să se îndrepte în direcția negativă y. Acesta ar trebui să se potrivească cu răspunsul matematic. Pentru a calcula forța, folosim sarcina, viteza și câmpul magnetic dat și definiția forței magnetice sub formă de produs vectorial pentru a calcula:

F⃗ = qv⃗ × B⃗ = (3,2 × 10⁻¹⁹ C)(5,0 × 10⁴ m/s iˆ) × (1,5 T kˆ) = −2,4 × 10⁻¹⁴ N jˆ.

b. În primul rând, pentru a determina direcția, începeți cu degetele îndreptate în direcția negativă y. Curbați degetele în sus în direcția câmpului magnetic, ca în problema anterioară. Degetul mare ar trebui să arate în direcția x negativă. Acesta ar trebui să se potrivească cu răspunsul matematic. Pentru a calcula forța, folosim sarcina, viteza și câmpul magnetic dat și definiția forței magnetice sub formă de produs încrucișat pentru a calcula:

F⃗ = qv⃗ × B⃗ = (3,2 × 10⁻¹⁹ C)(−5,0 × 10⁴ m/s jˆ) × (1,5 T kˆ) = −2,4 × 10⁻¹⁴ N iˆ.

O abordare alternativă este să folosiți ecuația 11.2 pentru a afla mărimea forței. Acest lucru se aplică ambelor părți (a) și (b). Deoarece viteza este perpendiculară pe câmpul magnetic, unghiul dintre ele este de 90 de grade. Prin urmare, mărimea forței este:

F = qvBsinθ = (3,2 × 10⁻¹⁹ C)(5,0 × 10⁴ m/s)(1,5 T)sin(90°) = 2,4 × 10⁻¹⁴ N.

c. Deoarece viteza și câmpul magnetic sunt paralele unul cu celălalt, nu există nicio orientare a mâinii tale care să rezulte într-o direcție a forței. Prin urmare, forța asupra acestei sarcini în mișcare este zero. Acest lucru este confirmat de produsul vectorial. Când înmulțiți vectorial doi vectori îndreptați în aceeași direcție, rezultatul este egal cu zero.

d. În primul rând, pentru a determina direcția, degetele ar putea indica orice orientare; cu toate acestea, trebuie să curbați degetele în sus în direcția câmpului magnetic. Pe măsură ce rotiți mâna, observați că degetul mare poate îndrepta în orice direcție x sau y posibilă, dar nu în direcția z. Acesta ar trebui să se potrivească cu răspunsul matematic. Pentru a calcula forța, folosim sarcina, viteza și câmpul magnetic dat și definiția forței magnetice sub formă de produs vectorial pentru a calcula:

F⃗ = qv⃗ × B⃗ = (3,2 × 10⁻¹⁹ C)((2,0 iˆ − 3,0 jˆ + 1,0 kˆ) × 10⁴ m/s) × (1,5 T kˆ) = (−14,4 iˆ − 9,6 jˆ) × 10⁻¹⁵ N.

Această soluție poate fi rescrisă în termeni de mărime și unghi în planul xy:

∣F⃗∣ = √(F²x + F²y) = √((−14,4)² + (−9,6)²) ×10⁻¹⁵ N = 1,7 × 10⁻¹⁴ N

θ = tan⁻¹(F_y/F_x) = tan⁻¹(−9,6 × 10⁻¹⁵ N/−14,4 × 10⁻¹⁵ N) = 34°.

Mărimea forței poate fi calculată și folosind ecuația 11.2. Cu toate acestea, viteza în această întrebare are trei componente. Componenta z a vitezei poate fi neglijată, deoarece este paralelă cu câmpul magnetic și, prin urmare, nu generează nicio forță. Mărimea vitezei este calculată din componentele x și y. Unghiul dintre viteza în planul xy și câmpul magnetic în planul z este de 90 de grade. Prin urmare, forța este calculată a fi:

|v⃗| = √((2)² + (−3)²) × 10⁴ m/s = 3,6 × 10⁴ m/s

F = qvBsinθ = (3,2 × 10⁻¹⁹ C)(3,6 × 10⁴ m/s)(1,5 T)sin(90°) = 1,7 × 10⁻¹⁴ N.

Aceasta este aceeași mărime a forței calculată de vectori unitari.

Semnificație

Produsul vectorial din această formulă are ca rezultat un al treilea vector care trebuie să fie perpendicular pe ceilalți doi. Alte mărimi fizice, cum ar fi momentul unghiular, au, de asemenea, trei vectori care sunt legați prin produsul vectorial. Rețineți că valorile forțelor tipice în problemele cu forța magnetică sunt mult mai mari decât forța gravitațională. Prin urmare, pentru o sarcină izolată, forța magnetică este forța dominantă care guvernează mișcarea sarcinii.

Repetați problema anterioară cu câmpul magnetic în direcția x, mai degrabă decât în ​​direcția z. Verificați-vă răspunsurile cu RHR-1.