Relațiile dintre mișcarea de rotație și mișcarea de translație

Putem analiza două relații între mișcarea de rotație și de translație.

În general, ecuațiile cinematice liniare au omologul lor de rotație. Tabelul 10.2 enumeră cele patru ecuații cinematice liniare și omologul de rotație corespunzător. Cele două seturi de ecuații arată similar unul cu celălalt, dar descriu două situații fizice diferite, adică rotația și translația.

Rotație	Translație
$θ_{f} = θ_{0} + \bar{ω} t$ _f = θ₀ + ω^–t	$x = x_{0} + \bar{v} t$ = x₀ + v^–t
$ω_{f} = ω_{0} + α t$ _f = ω₀ + αt	$v_{f} = v_{0} + a t$ _f = v₀ + at
$θ_{f} = θ_{0} + ω_{0} t + \frac{1}{2} α t^{2}$ _f = θ₀ + ω₀t + ½ αt²	$x_{f} = x_{0} + v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}$ _f = x₀ + v₀t + ½ at²
$ω_{f}^{2} = ω_{0}^{2} + 2 α (Δ θ)$ ²_f = ω²₀ + 2α(Δθ)	$v_{f}^{2} = v_{0}^{2} + 2 a (Δ x)$ ²_f = v²₀ + 2a(Δx)

Tabelul 10.2 Ecuații cinematice de rotație și translație

A doua corespondență are de-a face cu relaționarea variabilelor liniare și rotaționale în cazul special al mișcării circulare. Acest lucru este prezentat în Tabelul 10.3, unde în a treia coloană, am enumerat ecuația de legătură care leagă variabila liniară cu variabila rotațională. Variabilele de rotație ale vitezei unghiulare și ale accelerației au indice care indică definiția lor în mișcare circulară.

Rotație	Translație	*Relația ( $r = radius$* =raza)**
$θ$	s	$θ = \frac{s}{r}$ = s/r
$ω$	$v_{t}$ _t	$ω = \frac{v_{t}}{r}$ = v_t/r
$α$	$a_{t}$ _t	$α = \frac{a_{t}}{r}$ = a_t/r
	$a_{c}$ _c	$a_{c} = \frac{v_{t}^{2}}{r}$ _c = v²_t/r

Tabelul 10.3 Mărimi de rotație și translație: mișcare circulară

EXEMPLUL 10.7

Accelerația liniară a unei centrifuge

O centrifugă are o rază de 20 cm și accelerează de la o viteză maximă de rotație de 10.000 rpm până la repaus în 30 de secunde sub o accelerație unghiulară constantă. Se rotește în sens invers acelor de ceasornic. Care este mărimea accelerației totale a unui punct la vârful centrifugei la t = 29,0 s? Care este direcția vectorului accelerație totală?

Strategie

Cu informațiile oferite, putem calcula accelerația unghiulară, ceea ce ne va permite apoi să găsim accelerația tangențială. Putem găsi accelerația centripetă la t = 0 calculând viteza tangențială în acest moment. Cu mărimile accelerațiilor, putem calcula accelerația liniară totală. Din descrierea rotației în problemă, putem schița direcția vectorului accelerație totală.

Soluție

Accelerația unghiulară este

α = (ω − ω₀)/t = (0 − (1,0×10⁴)2π/60,0 s(rad/s))/30,0 s = −34,9 rad/s².

Prin urmare, accelerația tangențială este

a_t = rα = 0,2 m(−34,9 rad/s²) = −7,0 m/s².

Viteza unghiulară la t = 29.0s este

ω = ω0 + αt = 1,0 × 10⁴(2π/60,0 s) + (−34,9 rad/s²)(29,0 s) = 1047,2 rad/s − 1012,71 = 35,1 rad/s.

Astfel, viteza tangențială la t = 29,0 s este

v_t = rω = 0,2 m(35,1 rad/s) = 7,0 m/s.

Acum putem calcula accelerația centripetă la t = 29,0 s:

a_c = v²/r = (7,0 m/s)²/0,2 m = 245,0 m/s².

Deoarece cei doi vectori de accelerație sunt perpendiculari unul pe celălalt, mărimea accelerației liniare totale este

|a⃗| = √(a²_c + a²_t) = √((245,0)² + (−7,0)²) = 245,1 m/s2.

Deoarece centrifuga are o accelerație unghiulară negativă, încetinește. Vectorul accelerație totală este așa cum se arată în Figura 10.16. Unghiul față de vectorul de accelerație centripet este

θ = tan⁻¹ −7,0/245,0 = −1,6°.

Semnul negativ înseamnă că vectorul accelerație totală este înclinat în sensul acelor de ceasornic.

Figura 10.16 Vectorii de accelerație centripetă, tangențială și totală. Centrifuga încetinește, astfel încât accelerația tangențială este în sensul acelor de ceasornic, opus sensului de rotație (în sens invers acelor de ceasornic).

Semnificație

Din figura 10.16, vedem că vectorul de accelerație tangențială este opus direcției de rotație. Mărimea accelerației tangențiale este mult mai mică decât accelerația centripetă, astfel încât vectorul de accelerație liniară totală va forma un unghi foarte mic în raport cu vectorul de accelerație centripetă.

EXERCIȚIUL 10.3

Un băiat sare pe un carusel cu raza de 5 m care se află în repaus. Începe să accelereze cu o rată constantă până la o viteză unghiulară de 5 rad/s în 20 de secunde. Care este distanța parcursă de băiat?