Elementele unei mulțimi din teoria mulțimilor

De obicei, vom folosi litere mari pentru a denumi mulțimi și litere mici pentru a denumi elementele acestora. Deci am putea declara o mulțime ca aceasta: Fie A = {1, 4, 9, 16, 25}. Acum îl putem trata pe A ca pe un obiect de studiu. Mai târziu în acest capitol vom aplica operații la mulțimi precum A, deocamdată să vedem cum să descriem elementele acestuia.

Simbolul ∈ spune că ceva este un element al unei mulțimi. Putem scrie 9 ∈ A deoarece 9 este un element al mulțimii noastre A. Vom citi asta deoarece 9 este un element al lui A sau 9 este în A pe scurt. Când vrem să spunem că ceva nu este un element, tăiem simbolul elementului. De exemplu, scriem 11 ∉ A deoarece 11 nu este un element al lui A.

Putem lucra cu un element generic al lui A astfel: Fie x ∈ A. Acum x ar putea fi orice element al lui A și orice am spune despre x ar fi mai bine să fie adevărat pentru fiecare element al lui A. Deci putem spune că x este a număr pătrat, deoarece fiecare element al lui A este pătrat, dar nu că x este par, deoarece unele dintre elementele lui A sunt impare.

Exemplu: Pentru fiecare mulțime, utilizați notația elementului pentru a spune dacă obiectele date sunt elemente ale acelei mulțimi.

B = (1, 2, 3, 4)
(a) 1
(b) 5
(c) 2.5
C = (1, 3, 5, 7, 9)
(a) 8
(b) 9
(c) 11
S = mulțimea numerelor întregi pozitive.
(a) 2
(b) 3.14
(c) -9
(d) 40000

Soluţie:

B = (1, 2, 3, 4)
(a) Da, 1 ∈ B întrucât 1 este unul dintre elementele enumerate în listă.
(b) Nu, 5 ∉ B deoarece 5 nu este listat în listă.
(c) Nu, 2.5 ∉ B. Chiar dacă se află între elementele enumerate, nu este listat în sine, așa că nu face parte din acest set.
C = (1, 3, 5, 7, 9)
(a) Nu, 8 ∉ C.
(b) Da, 9 ∈ C.
(c) Nu, 11 ∉ C. Dacă acesta ar fi un model, am putea ghici că 11 este următorul număr din succesiune, dar din moment ce nu există puncte de suspensie, setul se oprește la 9. Doar cele cinci elemente enumerate fac parte din C.
S = mulţimea numerelor întregi pozitive.
(a) Da, 2 ∈ S deoarece 2 este pozitiv și un număr întreg.
(b) Nu, 3.14 ∉ S. 3.14 este pozitiv, dar nu este întreg, așa că nu este inclus.
(c) Nu, -9 ∉ S. Chiar dacă este întreg, acest număr nu este pozitiv, deci nu este inclus.
(d) Da, 40000 ∈ S. Acesta este un număr mare, dar aproape toate elementele lui S sunt și mai mari! Indiferent ce element al lui S alegem, există mai multe elemente ale lui S deasupra lui decât sub el.