Viteza vectorială variabilă

Viteza vectorială instantanee

(Viteza vectorială vs. timp și relația dintre viteza vectorială v pe axa y, accelerația a (cele trei linii verticale tangente reprezintă valorile accelerației în diferite puncte de-a lungul curbei) și deplasarea s (aria galbenă de sub curba.))

Dacă luăm în considerare viteza vectorială v ca și vectorul de deplasare (schimbarea poziției), atunci putem exprima viteza vectorială (instantanee) a unei particule sau a unui obiect, la un anumit moment t, ca derivată a poziției în raport cu timpul:

v = lim_Δt→0 Δx/Δ t = dx/dt.

Din această ecuație de derivată, în cazul unidimensional se poate observa că suprafața sub o viteză vectorială vs. timp (graficul v vs t) este deplasarea, x. În termeni de calcul, integrala funcției vitezei vectoriale v(t) este funcția de deplasare x(t). În figură aceasta corespunde zonei galbene sub curba e (s fiind o notație alternativă pentru deplasare).

x = ∫v dt.

Deoarece derivata poziției în funcție de timp dă schimbarea poziției (în metri) împărțită la schimbarea în timp (în secunde), viteza este măsurată în metri pe secundă (m/s). Deși conceptul de viteză vectorială instantanee ar putea părea la început contra-intuitivă, poate fi considerată ca viteza vectorială pe care obiectul ar continua să o aibă dacă s-ar opri din accelerare în acel moment.

Relația cu accelerația

Deși viteza vectorială este definită ca rata de schimbare a poziției, este deseori obișnuit să începem cu o expresie pentru accelerația unui obiect. După cum se vede prin cele trei linii tangente verde din figură, accelerația instantanee a unui obiect la un moment dat este panta liniei tangente la curba unui grafic v(t) în acel punct. Cu alte cuvinte, accelerația este definită ca derivată a vitezei vectoriale în raport cu timpul:

a = dv/dt.

De acolo, putem obține o expresie pentru viteza vectorială ca suprafața de sub un grafic a(t) accelerație vs. timp. Ca mai sus, acest lucru se face folosind conceptul integralei:

v = ∫ a dt.

Accelerație constantă

În cazul special al accelerației constante, viteza vectorială poate fi studiată folosind ecuațiile de mișcare. Considerând a ca fiind egală cu un vector constant arbitrar, este banal să arătăm acest lucru

v = u + at

cu v ca viteza vectorială la momentul t și u viteza la momentul t = 0. Prin combinarea acestei ecuații cu ecuația de mișcare x = ut + at²/2, este posibil să se obțină deplasarea și viteza vectorială medie din

x = (u + v)t/2 = vt

Cantități care depind de viteza vectorială

Energia cinetică a unui obiect în mișcare depinde de viteza sa și este dată de ecuația

E_c = mv²/2

ignorând relativitatea specială, unde E_c este energia cinetică și m este masa. Energia cinetică este o cantitate scalară, deoarece depinde de pătratul vitezei vectoriale; o cantitate conexă, impulsul, este un vector și este definit de

p = m v

În relativitatea specială, factorul Lorentz fără dimensiuni apare frecvent și este dat de

γ = 1/√(1 – v²c²)

unde γ este factorul Lorentz și c este viteza luminii.

Viteza vectorială de eliberare este viteza minimă pe care un obiect balistic trebuie să o aibă pentru a scăpa de gravitația unui corp masiv, precum Pământul. Aceasta reprezintă energia cinetică care, atunci când este adăugată energiei potențiale gravitaționale a obiectului (care este întotdeauna negativă) este egală cu zero. Formula generală pentru viteza vectorială de eliberare a unui obiect la o distanță r din centrul unei planete cu masa M este

v_e = √(2GM/r) = √(2gr),

unde G este constanta gravitațională și g este accelerația gravitațională. Viteza vectorială de eliberare de pe suprafața Pământului este de aproximativ 11.200 m/s și este indiferent de direcția obiectului. Acest lucru face ca „viteza vectorială de eliberare” să fie oarecum o denumire defectuoasă, termenul mai corect fiind „viteza de evacuare”: orice obiect care atinge o viteză de această magnitudine, indiferent de atmosferă, va părăsi vecinătatea corpului de bază atâta timp cât nu se intersectează cu ceva în calea lui.