Home » Articole » Articole » Știință » Fizica » Mecanica » Condiții pentru echilibrul static

Condiții pentru echilibrul static

postat în: Mecanica 0

Om pe picioroange(Om pe picioroange. Toate forțele care acționează asupra fiecărei cârje se echilibrează. În plus, toate cuplurile care acționează asupra persoanei se echilibrează și, astfel, nu își modifică mișcarea de rotație. Rezultatul este echilibrul static.)

În capitolele anterioare, ați învățat despre forțele și legile lui Newton pentru mișcarea de translație. Apoi ați studiat cuplurile și mișcarea de rotație a unui corp în jurul unei axe fixe de rotație. Ați mai învățat că echilibrul static înseamnă fără mișcare și că echilibrul dinamic înseamnă mișcare fără accelerație.

În acest capitol, combinăm condițiile pentru echilibrul static translațional și echilibrul static rotațional pentru a descrie situații tipice pentru orice tip de construcție. Ce tip de cablu va susține un pod suspendat? Ce tip de fundație va susține o clădire de birouri? Va funcționa corect acest braț protetic? Acestea sunt exemple de întrebări la care inginerii contemporani trebuie să poată răspunde.

Proprietățile elastice ale materialelor sunt deosebit de importante în aplicațiile de inginerie, inclusiv în bioinginerie. De exemplu, materialele care se pot întinde sau comprima și apoi se pot întoarce la forma sau poziția inițială constituie amortizoare bune. În acest capitol, veți afla despre câteva aplicații care combină echilibrul cu elasticitatea pentru a construi structuri reale care să reziste.

I.1.12.1 Condiții pentru echilibrul static

Spunem că un corp rigid este în echilibru atunci când accelerația sa liniară și unghiulară sunt zero în raport cu un cadru de referință inerțial. Aceasta înseamnă că un corp aflat în echilibru se poate mișca, dar dacă se mișcă, vitezele sale liniare și unghiulare trebuie să fie constante. Spunem că un corp rigid este în echilibru static atunci când este în repaus în cadrul de referință selectat. Observați că distincția dintre starea de repaus și o stare de mișcare uniformă este arbitrară – adică un obiect poate fi în repaus în cadrul nostru de referință selectat, totuși pentru un observator care se mișcă cu viteză constantă în raport cu cadrul nostru, același obiect pare a fi în mișcare uniformă cu viteză constantă. Deoarece mișcarea este relativă, ceea ce este în echilibru static pentru noi este în echilibru dinamic pentru observatorul în mișcare și invers. Deoarece legile fizicii sunt identice pentru toate cadrele de referință inerțiale, într-un cadru de referință inerțial, nu există nicio distincție între echilibrul static și echilibru.

Conform celei de-a doua legi a mișcării a lui Newton, accelerația liniară a unui corp rigid este cauzată de o forță netă care acționează asupra acestuia sau

(12.1)  ∑kFk = maCM.

Aici, suma este a tuturor forțelor externe care acționează asupra corpului, unde m este masa acestuia și aCM este accelerația liniară a centrului său de masă (un concept pe care l-am discutat în ”Momentul liniar și coliziunile” despre impulsul liniar și coliziuni). În echilibru, accelerația liniară este zero. Dacă setăm accelerația la zero în ecuația 12.1, obținem următoarea ecuație:

PRIMA CONDIȚIE DE ECHILIBRU

Prima condiție de echilibru pentru echilibrul static al unui corp rigid exprimă echilibrul translațional:

(12.2)  ∑kFk = 0⃗ .

 

Prima condiție de echilibru, Ecuația 12.2, este condiția de echilibru pentru forțe, pe care am întâlnit-o când am studiat aplicațiile legilor lui Newton.

Această ecuație vectorială este echivalentă cu următoarele trei ecuații scalare pentru componentele forței nete:

(12.3)  ∑kFkx = 0, ∑kFky = 0, ∑kFkz = 0.

În mod analog cu ecuația 12.1, putem afirma că accelerația de rotație α a unui corp rigid în jurul unei axe fixe de rotație este cauzată de cuplul net care acționează asupra corpului, sau

(12.4)  ∑kτk = Iα .

Aici I este inerția de rotație a corpului în rotație în jurul acestei axe și însumarea este peste toate cuplurile τk ale forțelor externe din ecuația 12.2. În echilibru, accelerația de rotație este zero. Punând zero în partea dreaptă a ecuației 12.4, obținem a doua condiție de echilibru:

A DOUA CONDIȚIE DE ECHILIBRU

A doua condiție de echilibru pentru echilibrul static al unui corp rigid exprimă echilibrul rotațional:

(12.5)  ∑kτk = 0 .

 

A doua condiție de echilibru, Ecuația 12.5, este condiția de echilibru pentru cupluri, pe care am întâlnit-o când am studiat dinamica rotației. Este demn de remarcat faptul că această ecuație pentru echilibru este în general valabilă pentru echilibrul rotațional pe orice axă de rotație (fixă sau diferită). Din nou, această ecuație vectorială este echivalentă cu trei ecuații scalare pentru componentele vectoriale ale cuplului net:

(12.6)  ∑kτkx = 0, ∑kτky = 0, ∑kτkz = 0.

A doua condiție de echilibru înseamnă că, în echilibru, nu există un cuplu extern net care să provoace rotația în jurul vreunei axe.

Prima și a doua condiții de echilibru sunt enunțate într-un anumit cadru de referință. Prima condiție implică doar forțe și, prin urmare, este independentă de originea cadrului de referință. Totuși, a doua condiție implică cuplul, care este definit ca un produs vectorial, τk = rk × Fk, unde vectorul de poziție rk față de axa de rotație a punctului în care se aplică forța intră în ecuație. Prin urmare, cuplul depinde de locația axei în cadrul de referință. Cu toate acestea, atunci când condițiile de echilibru de rotație și translație sunt valabile simultan într-un cadru de referință, atunci ele sunt valabile și în orice alt cadru de referință inerțial, astfel încât cuplul net în jurul oricărei axe de rotație este încă zero. Explicația pentru aceasta este destul de simplă.

Să presupunem că vectorul R este poziția originii unui nou cadru inerțial de referință S în vechiul cadru inerțial de referință S. Din studiul nostru asupra mișcării relative, știm că în noul cadru de referință S’, vectorul de poziție rk din punctul în care se aplică forța Fk este legat de rk prin ecuația

rk = rkR .

Acum, putem suma toate cuplurile τk = rk × Fk ale tuturor forțelor externe într-un nou cadru de referință, S:

kτk = ∑krk × Fk = ∑k (rkR) × Fk = ∑krk × Fk − ∑kR × Fk = ∑kτkR × ∑kFk = 0 .

În pasul final al acestui lanț de raționament, am folosit faptul că, în echilibru în vechiul cadru de referință, S, primul termen dispare din cauza ecuației 12.5 și al doilea termen dispare din cauza ecuației 12.2. Prin urmare, vedem că cuplul net în orice cadru inerțial de referință S’ este zero, cu condiția ca ambele condiții de echilibru să fie valabile într-un cadru inerțial de referință S.

Implicația practică a acestui lucru este că atunci când aplicăm condiții de echilibru pentru un corp rigid, suntem liberi să alegem orice punct ca origine a cadrului de referință. Alegerea cadrului de referință este dictată de specificul fizic al problemei pe care o rezolvăm. Într-un cadru de referință, forma matematică a condițiilor de echilibru poate fi destul de complicată, în timp ce într-un alt cadru, aceleași condiții pot avea o formă matematică mai simplă, ușor de rezolvat. Originea unui cadru de referință selectat se numește punct pivot.

În cel mai general caz, condițiile de echilibru sunt exprimate prin cele șase ecuații scalare (Ecuația 12.3 și Ecuația 12.6). Pentru problemele de echilibru planar cu rotație în jurul unei axe fixe, pe care le considerăm în acest capitol, putem reduce numărul de ecuații la trei. Procedura standard este adoptarea unui cadru de referință în care axa z este axa de rotație. Cu această alegere a axei, cuplul net are doar o componentă z, toate forțele care au cupluri diferite de zero se află în planul xy și, prin urmare, contribuțiile la cuplul net provin doar din componentele x și y ale componentelor forțelor externe. Astfel, pentru problemele planare cu axa de rotație perpendiculară pe planul xy, avem următoarele trei condiții de echilibru pentru forțe și cupluri:

(12.7)  F1x + F2x + ⋯ + FNx = 0

(12.8)  F1y + F2y + ⋯ + FNy = 0

(12.9)  τ1 + τ2 + ⋯ + τN = 0

unde însumarea este peste toate forțele externe N care acționează asupra corpului și asupra cuplurilor acestora. În ecuația 12.9, am simplificat notația prin eliminarea indicelui z, dar înțelegem aici că însumarea este peste toate contribuțiile de-a lungul axei z, care este axa de rotație. În ecuația 12.9, componenta z a cuplului τk din forța Fk este

(12.10)            τk = rkFksinθ

unde rk este lungimea brațului de pârghie al forței și Fk este mărimea forței (după cum ați văzut în ”Rotația cu axă fixă”). Unghiul θ este unghiul dintre vectorii rk și Fk, măsurând de la vectorul rk la vectorul Fk în sens invers acelor de ceasornic (Figura 12.2). Când folosim ecuația 12.10, de multe ori calculăm mărimea cuplului și îi atribuim sensul fie pozitiv (+) fie negativ (-), în funcție de direcția de rotație cauzată numai de acest cuplu. În ecuația 12.9, cuplul net este suma termenilor, fiecare termen fiind calculat din ecuația 12.10 și fiecare termen trebuie să aibă sensul corect. În mod similar, în ecuația 12.7, atribuim semnul + pentru a forța componentele în direcția +x și semnul – componentelor în direcția –x. Aceeași regulă trebuie urmată în mod consecvent în ecuația 12.8, când se calculează componentele forței de-a lungul axei y.

Cuplul unei forțe
(Cuplul unei forțe: (a) Când cuplul unei forțe determină o rotație în sens invers acelor de ceasornic în jurul axei de rotație, spunem că sensul acesteia este pozitiv, ceea ce înseamnă că vectorul cuplului este paralel cu axa de rotație. (b) Când cuplul unei forțe determină rotația în sensul acelor de ceasornic în jurul axei, spunem că sensul acesteia este negativ, ceea ce înseamnă că vectorul cuplului este antiparalel cu axa de rotație.)

În multe situații de echilibru, una dintre forțele care acționează asupra corpului este greutatea acestuia. În diagramele cu corp liber, vectorul greutate este atașat la centrul de greutate al corpului. Pentru toate scopurile practice, centrul de greutate este identic cu centrul de masă. Numai în situațiile în care un corp are o extindere spațială mare, astfel încât câmpul gravitațional este neuniform pe tot volumul său, centrul de greutate și centrul de masă sunt situate în puncte diferite. În situații practice însă, chiar și obiecte la fel de mari precum clădirile sau navele de croazieră situate într-un câmp gravitațional uniform pe suprafața Pământului, unde accelerația datorată gravitației are o magnitudine constantă de g = 9,8 m/s2. În aceste situații, centrul de greutate este identic cu centrul de masă. Prin urmare, pe parcursul acestui capitol, folosim centrul de masă (CM) ca punct în care este atașat vectorul greutate. Amintiți-vă că CM are o semnificație fizică specială: atunci când o forță externă este aplicată unui corp exact la CM, corpul ca întreg suferă mișcare de translație și o astfel de forță nu provoacă rotație.

Când CM este situat în afara axei de rotație, apare un cuplu gravitațional net asupra unui obiect. Cuplul gravitațional este cuplul cauzat de greutate. Acest cuplu gravitațional poate roti obiectul dacă nu există niciun suport care să-l echilibreze. Mărimea cuplului gravitațional depinde de cât de departe de pivot se află CM. De exemplu, în cazul unei autobasculante (Figura 12.3), pivotul este situat pe linia în care anvelopele intră în contact cu suprafața drumului. Dacă CM este situat sus deasupra suprafeței drumului, cuplul gravitațional poate fi suficient de mare pentru a răsturna camionul. Autoturismele cu un CM jos, aproape de trotuar, sunt mai rezistente la răsturnare decât camioanele.

Distribuția masei afectează poziția centrului de masă
(Distribuția masei afectează poziția centrului de masă (CM), unde este atașat vectorul greutate w. Dacă centrul de greutate se află în zona de sprijin, camionul revine la poziția inițială după balansare [vezi panoul din stânga la (b)]. Dar dacă centrul de greutate se află în afara zonei de sprijin, camionul se răstoarnă [vezi panoul din dreapta în (b)]. Ambele vehicule de la (b) sunt dezechilibrate. Observați că mașina din (a) este în echilibru: locația joasă a centrului său de greutate face dificilă răsturnarea.)

Sursa: Physics, University Physics (OpenStax), acces gratuit sub licență CC BY 4.0. Traducere și adaptare de Nicolae Sfetcu

© 2022 MultiMedia Publishing, Fizica, Volumul 1

Fizica fenomenologică - Compendiu - Volumul 2
Fizica fenomenologică – Compendiu – Volumul 2

Un compendiu care se dorește a fi exhaustiv pentru domeniul fizicii, cu accent pe explicarea fenomenelor și aplicațiilor practice. O carte pentru studiul personal, concisă și ușor de citit, care clarifică aceste teorii ale fizicii, cel mai important domeniu al … Citeşte mai mult

Nu a fost votat $9.99$34.55 Selectează opțiunile
Fizica fenomenologică - Compendiu - Volumul 1
Fizica fenomenologică – Compendiu – Volumul 1

Un compendiu care se dorește a fi exhaustiv pentru domeniul fizicii, cu accent pe explicarea fenomenelor și aplicațiilor practice. O carte pentru studiul personal, concisă și ușor de citit, care clarifică aceste teorii ale fizicii, cel mai important domeniu al … Citeşte mai mult

Nu a fost votat $9.99$34.55 Selectează opțiunile
Mecanica fenomenologică
Mecanica fenomenologică

O privire de ansamblu asupra mecanicii clasice, care intenționează să ofere o acoperire a principiilor și tehnicilor fundamentale, un domeniu vechi dar care se află la baza întregii fizicii, și care în ultimii ani a cunoscut o dezvoltare rapidă. Se … Citeşte mai mult

Nu a fost votat $4.99 Selectează opțiunile

Lasă un răspuns

Adresa ta de email nu va fi publicată. Câmpurile obligatorii sunt marcate cu *