Conservarea impulsului pentru N obiecte

Amintiți-vă a treia lege a lui Newton: atunci când două obiecte de mase m₁ și m₂ interacționează (adică se aplică forțe unul asupra celuilalt), forța pe care obiectul 2 o aplică obiectului 1 este egală ca mărime și opusă ca direcție forței pe care o aplică obiectul 1 asupra obiectului 2. Fie:

F⃗₂₁ = forța pe m₁ din m₂
F⃗₁₂ = forța pe m₂ din m₁

În acest caz, în simboluri, a treia lege a lui Newton spune

(9.10) F⃗₂₁ = −F⃗₁₂ , m₁a⃗₁ = −m₂a⃗₂.

(Reamintim că aceste două forțe nu se anulează deoarece sunt aplicate unor obiecte diferite. F₂₁ determină accelerarea lui m₁, iar F₁₂ determină accelerarea lui m₂.)

Deși mărimile forțelor asupra obiectelor sunt aceleași, accelerațiile nu sunt egale, pur și simplu pentru că masele (în general) sunt diferite. Prin urmare, modificările vitezei fiecărui obiect sunt diferite:

dv⃗₁/dt ≠ dv⃗₂/dt.

Cu toate acestea, produsele masei și schimbarea vitezei sunt egale (în mărime):

(9.11) m₁dv⃗₁/dt = −m₂dv⃗₂/dt.

Este o idee bună, în acest moment, să vă asigurați că sunteți lămurit cu privire la semnificația fizică a derivatelor din ecuația 9.3. Din cauza interacțiunii, fiecare obiect ajunge să-și modifice viteza, cu o sumă dv. Mai mult, interacțiunea are loc pe un interval de timp dt, ceea ce înseamnă că schimbarea vitezelor are loc și pe dt. Acest interval de timp este același pentru fiecare obiect.

Să presupunem, pentru moment, că masele obiectelor nu se modifică în timpul interacțiunii. (Vom relaxa această restricție mai târziu.) În acest caz, putem scoate masele din interiorul derivatelor:

(9.12) d/dt (m₁v⃗₁) = −d/dt (m₂v⃗₂)

și, astfel

(9.13) dp⃗₁/dt = −dp⃗₂/dt.

Aceasta spune că viteza cu care se modifică impulsul este aceeași pentru ambele obiecte. Masele sunt diferite, iar modificările vitezei sunt diferite, dar viteza de modificare a produsului dintre m și v⃗ este aceeași.

Din punct de vedere fizic, aceasta înseamnă că în timpul interacțiunii celor două obiecte (m₁ și m₂), ambele obiecte au impulsul lor schimbat; dar acele schimbări sunt identice ca mărime, deși sunt opuse ca semn. De exemplu, impulsul obiectului 1 ar putea crește, ceea ce înseamnă că impulsul obiectului 2 scade exact cu aceeași cantitate.

În lumina acestui fapt, să rescriem ecuația 9.12 într-o formă mai sugestivă:

(9.14) dp⃗₁/dt + dp⃗₂/dt = 0.

Aceasta spune că în timpul interacțiunii, deși impulsul obiectului 1 se modifică și impulsul obiectului 2 se schimbă, de asemenea, aceste două modificări se anulează reciproc, astfel încât modificarea totală a impulsului celor două obiecte împreună este zero.

Deoarece impulsul total combinat al celor două obiecte împreună nu se schimbă niciodată, atunci am putea scrie

(9.15) d/dt (p⃗₁ + p⃗₂) = 0

din care rezultă că

(9.16) p⃗₁ + p⃗₂ = constant.

După cum se arată în Figura 9.14, impulsul total al sistemului înainte și după ciocnire rămâne același.

Figura 9.14 Înainte de ciocnire, cele două bile de biliard se deplasează cu momentele p⃗₁ și p⃗₂. Momentul total al sistemului este suma acestora, așa cum arată vectorul roșu etichetat p⃗_total din stânga. După ciocnire, cele două bile de biliard se deplasează cu momente diferite p⃗′₁ și p⃗′₂. Momentul total, însă, nu s-a schimbat, așa cum arată săgeata vectorială roșie p⃗′_total din dreapta.

Generalizând acest rezultat la N obiecte, obținem

(9.17) p⃗₁ + p⃗₂ + p⃗₃ + ⋯ + p⃗_N = constant , ∑_j=1^N p⃗_j = constant.

Ecuația 9.17 este definiția momentului total (sau net) al unui sistem de N obiecte care interacționează, împreună cu afirmația că impulsul total al unui sistem de obiecte este constant în timp – sau mai bine zis, este conservat.

LEGILE DE CONSERVARE

Dacă valoarea unei mărimi fizice este constantă în timp, spunem că mărimea este conservată.