Algebra observabilelor în fizica clasică

O observabilă a unui sistem clasic este pur și simplu o funcție în spațiul de fază. Fie A algebra funcțiilor infinit diferențiabile cu valori reale în spațiul de fază. Având f ∈ A, fie f_t = f (q_t, p_t) de-a lungul unei traiectorii a ecuațiilor lui Hamilton. Atunci

df_t/dt = Σ_i=1^m ∂H/∂p_i ∂f/∂q_i − ∂H/∂q_i ∂f/∂p_i.

Aceasta motivează definiția Parantezei Poisson:

{f, g} = Σ_i=1^m ∂f/∂p_i ∂g/∂q_i − ∂f/∂q_i ∂g/∂p_i.

Atunci avem

df_t/dt = {H, f } . (1.4)

Paranteza Poisson are câteva proprietăți de bază

(1) {f, g + λh} = {f, g} + λ{f, h} (liniaritate),

(2) {f, g} = −{g, f } (simetrie asimetrică);

(3) {f, {g, h}} + {g, {h, f}} + {h, {f, g}} = 0 (identitate Jacobi);

(4) {f, gh} = g{f, h} + {f, g}h (derivare).

Pe scurt, algebra A a observabilelor este o algebră Lie reală în raport cu paranteza {·, ·} și, de asemenea, o algebră în raport cu produsul funcțiilor, astfel încât paranteza este o derivare.

Hamiltonianul H este un element al lui A care generează dinamică. Putem „uita” de spațiul de fază și putem considera dinamica doar pe baza algebrei observabilelor, folosind ecuația (1.4). Putem defini o aplicație U_t : A → A rezolvând aceste ecuații. Și anume:

U_t(f) = f_t unde df_t/dt = {H, f_t} și f₀ = f.

Operația U_t este liniară și păstrează structura algebrică a lui A:

• U_t(f + λg) = U_t(f) + λU_t(g);
• U_t(fg) = U_t(f)U_t(g); și
• U_t({f, g}) = {U_t(f),U_t(g)}.

Sursa: Jeffrey Schenker, Quantum Information Theory – Lecture Notes for Math 992 Spring 2022. Licența CC BY-NC 4.0. Traducere și adaptare: Nicolae Sfetcu