Viteza și accelerația mediului în propagarea undelor - Ecuația de undă liniară

După cum se vede în Exemplul 16.4, viteza undei este constantă și reprezintă viteza undei pe măsură ce se propagă prin mediu, nu viteza particulelor care alcătuiesc mediul. Particulele mediului oscilează în jurul unei poziții de echilibru pe măsură ce unda se propagă prin mediu. În cazul undei transversale care se propagă în direcția x, particulele oscilează în sus și în jos în direcția y, perpendicular pe mișcarea undei. Viteza particulelor mediului nu este constantă, ceea ce înseamnă că există o accelerație. Viteza mediului, care este perpendiculară pe viteza undei într-o undă transversală, poate fi găsită luând derivata parțială a ecuației de poziție în raport cu timpul. Derivata parțială se găsește luând derivata funcției, tratând toate variabilele ca niște constante, cu excepția variabilei în cauză. În cazul derivatei parțiale în raport cu timpul t, poziția x este tratată ca o constantă. Deși acest lucru poate suna ciudat dacă nu v-ați mai întâlnit cu asta înainte, obiectul acestui exercițiu este să găsiți viteza transversală într-un punct, deci, în acest sens, poziția x nu se schimbă. Avem

y(x,t) = Asin(kx – ωt + ϕ)

v_y(x,t) = ∂y(x,t)/∂t = ∂/∂t (Asin(kx – ωt + ϕ))

= −Aωcos(kx – ωt + ϕ)

= −v_ymaxcos(kx – ωt + ϕ).

Mărimea vitezei maxime a mediului este ∣v_ymax∣ = Aω. Acest lucru poate părea familiar din Oscilații și o masă pe un arc.

Putem găsi accelerația mediului luând derivata parțială a ecuației vitezei în raport cu timpul,

a_y(x,t) = ∂v_y/∂t = ∂/∂t (− Aωcos(kx – ωt + ϕ)) = −Aω²sin(kx – ωt + ϕ) = −a_ymaxsin(kx – ωt + ϕ).

Mărimea accelerației maxime este ∣a_ymax∣ = Aω². Particulele mediului, sau elementele de masă, oscilează într-o mișcare armonică simplă pentru o undă mecanică.

Ecuația de undă liniară

Tocmai am determinat viteza mediului la o poziție x luând derivata parțială, în raport cu timpul, a poziției y. Pentru o undă transversală, această viteză este perpendiculară pe direcția de propagare a undei. Am găsit accelerația luând derivata parțială, în raport cu timpul, a vitezei, care este a doua derivată temporală a poziției:

a_y(x,t) = ∂²y(x,t)/∂t² = ∂²/∂t² (Asin(kx – ωt + ϕ)) = −Aω²sin(kx – ωt + ϕ).

Acum luați în considerare derivatele parțiale față de cealaltă variabilă, poziția x, ținând timpul constant. Prima derivată este panta undei într-un punct x la un moment t,

panta = ∂y(x,t)/∂x = ∂/∂x (Asin(kx – ωt + ϕ)) = Akcos(kx – ωt + ϕ).

A doua derivată parțială exprimă modul în care panta undei se modifică în raport cu poziția – cu alte cuvinte, curbura undei, unde

curbura = ∂²/y(x,t)/∂x² = ∂²/∂x² (Asin(kx – ωt + ϕ)) = −Ak²sin(kx – ωt + ϕ).

Raportul dintre accelerație și curbură duce la o relație foarte importantă în fizică cunoscută sub numele de ecuația de undă liniară. Luând raportul și folosind ecuația v = ω/k rezultă ecuația de undă liniară (cunoscută și sub numele de ecuația de undă sau ecuația unei corzi care vibrează),

∂²y(x,t)/∂t² ∂²y(x,t)/∂x² = −Aω²sin(kx – ωt + ϕ)/−Ak²sin(kx – ωt + ϕ) = ω²/k² = v²,

(16.6) ∂²y(x,t)/∂x² = 1/v² ∂²y(x,t)/∂t².

Ecuația 16.6 este ecuația de undă liniară, care este una dintre cele mai importante ecuații din fizică și inginerie. Am derivat-o aici pentru o undă transversală, dar este la fel de important atunci când investigăm undele longitudinale. Această relație a fost, de asemenea, derivată folosind o undă sinusoidală, dar descrie cu succes orice undă sau impuls care are forma y(x,t) = f(x ∓ vt). Aceste unde rezultă din cauza unei forțe de restaurare liniară a mediului – de aici, denumirea de ecuație de undă liniară. Orice funcție de undă care satisface această ecuație este o funcție de undă liniară.

Un aspect interesant al ecuației de undă liniară este că, dacă două funcții de undă sunt soluții individuale ale ecuației de undă liniară, atunci suma celor două funcții de undă liniare este, de asemenea, o soluție a ecuației de undă. Luați în considerare două unde transversale care se propagă de-a lungul axei x, ocupând același mediu. Să presupunem că undele individuale pot fi modelate cu funcțiile de undă y₁(x,t) = f(x ∓ vt) și y₂(x,t) = g(x ∓ vt), care sunt soluții ale ecuațiilor de undă liniare și sunt deci funcții de undă liniare. Suma funcțiilor de undă este funcția de undă

y₁(x,t) + y₂(x,t) = f(x ∓ vt) + g(x ∓ vt).

Luați în considerare ecuația de undă liniară:

∂²(f + g)/∂x²= 1/v² ∂² (f + g)∂t²

∂²f/∂x² + ∂²g/∂x² = 1/v² [∂²f/∂t² + ∂²g/∂t²].

Acest lucru a arătat că dacă două funcții de undă liniare sunt adunate algebric, funcția de undă rezultată este de asemenea liniară. Această funcție de undă modelează deplasarea mediului undei rezultate în fiecare poziție de-a lungul axei x. Dacă două unde liniare ocupă același mediu, se spune că ele interferează. Dacă aceste unde pot fi modelate cu o funcție de undă liniară, aceste funcții de undă se adună pentru a forma ecuația de undă a undei rezultată din interferența undelor individuale. Deplasarea mediului în fiecare punct al undei rezultate este suma algebrică a deplasărilor datorate undelor individuale.

Făcând această analiză un pas mai departe, dacă funcțiile de undă y₁(x,t) = f(x ∓ vt) și y₂(x,t) = g(x ∓ vt) sunt soluții ale ecuației de undă liniară, atunci Ay₁(x, t) + By₂(x,t), unde A și B sunt constante, este, de asemenea, o soluție a ecuației de undă liniară. Această proprietate este cunoscută ca principiul suprapunerii. Interferența și suprapunerea sunt tratate mai detaliat în Interferența undelor.

EXEMPLUL 16.4

Interferența undelor pe o coardă

Luați în considerare o coardă foarte lungă ținută întins de doi elevi, câte unul la fiecare capăt. Studentul A oscilează capătul corzii producând o undă modelată cu funcția de undă y₁(x,t) = Asin(kx − ωt) iar elevul B oscilează coarda producând o frecvență dublă, mișcându-se în direcția opusă. Ambele unde se mișcă cu aceeași viteză v = ωk. Cele două unde interferează pentru a forma o undă rezultată a cărei funcție de undă este y_R(x,t) = y₁(x,t) + y₂(x,t). Aflați viteza undei rezultate folosind ecuația de undă liniară ∂²y(x,t)/∂x² = 1/v² ∂²y(x,t)/∂t².

Strategie

Mai întâi, scrieți funcția de undă pentru unda creată de al doilea elev. Rețineți că frecvența unghiulară a celei de-a doua unde este de două ori mai mare decât frecvența primei unde (2ω) și, deoarece viteza celor două unde este aceeași, numărul de undă al celei de-a doua undă este de două ori mai mare decât cel al primei unde (2k). Apoi, scrieți ecuația de undă pentru funcția de undă rezultată, care este suma celor două funcții de undă individuale. Apoi găsiți derivata a doua parțială în raport cu poziție și derivata a doua parțială în raport cu timp. Utilizați ecuația de undă liniară pentru a găsi viteza undei rezultate.

Soluție

1. Scrieți funcția de undă a celei de-a doua undă: y₂(x,t) = Asin(2kx + 2ωt).

2. Scrieți funcția de undă rezultată:

y_R(x,t) = y₁(x,t) + y(x,t) = Asin(kx − ωt)+Asin(2kx + 2ωt).

3. Găsiți derivatele parțiale:

∂y_R(x,t)/∂x = −Akcos(kx − ωt) + 2Akcos(2kx + 2ωt),

∂²y_R(x,t)/∂x² = −Ak²sin(kx − ωt) − 4Ak²sin(2kx + 2ωt),

∂y_R(x,t)/∂t = −Aωcos(kx − ωt) + 2Aωcos(2kx + 2ωt),

∂²y_R(x,t)∂t² = −Aω²sin(kx − ωt) − 4Aω²sin(2kx + 2ωt).

4. Folosiți ecuația undei pentru a găsi viteza undei rezultate:

∂²y(x,t)/∂x² = 1/v²∂²y(x ,t)/∂t²,

−Ak²sin(kx − ωt) − 4Ak²sin(2kx + 2ωt) = 1/v²(−Aω²sin(kx − ωt) − 4Aω²sin(2kx + 2ωt)),

k²(−Asin(kx − ωt) − 4Asin(2kx + 2ωt)) = ω²/v² (−Asin(kx − ωt) − 4Asin(2kx + 2ωt)),

k² = ω²/v² , |v| = ωk.

Semnificație

Viteza undei rezultate este egală cu viteza undelor originale (v = ωk). Vom arăta în secțiunea următoare că viteza unei unde armonice simple pe o coardă depinde de tensiunea din coardă și de masa pe lungime a coardei. Din acest motiv, nu este surprinzător că undele componente, precum și unda rezultată, se deplasează cu aceeași viteză.

EXERCIȚIUL 16.4

Ecuația de undă ∂²y(x,t)/∂x² = 1/v² ∂²y(x,t)/∂t² funcționează pentru orice undă de forma y(x,t) = f(x ∓ vt). În secțiunea anterioară, am afirmat că o funcție cosinus ar putea fi folosită și pentru a modela o undă mecanică armonică simplă. Verificați dacă unda

y(x,t) = 0,50mcos(0,20πm⁻¹x − 4,00π^s−1t + π/10)

este o soluție a ecuației de undă.

CLIC AICI PENTRU RĂSPUNS

Orice perturbare care respectă ecuația undelor se poate propaga ca o undă care se mișcă de-a lungul axei x cu o viteză a undei v. Funcționează la fel de bine pentru undele pe o coardă, undele sonore și undele electromagnetice. Această ecuație este extrem de utilă. De exemplu, poate fi folosită pentru a arăta că undele electromagnetice se mișcă cu viteza luminii.