Atomul de hidrogen în interpretarea de la Copenhaga

Modelul lui Bohr al atomului era în esență unul planetar, cu electronii care orbitează în jurul „soarelui” nuclear. Cu toate acestea, principiul incertitudinii afirmă că un electron nu poate avea simultan o locație și o viteză exacte la fel ca o planetă. În loc de orbite clasice, se spune că electronii ocupă orbitali atomici. Un orbital este „nor” de posibile locații în care ar putea fi găsit un electron, o distribuție a probabilităților mai degrabă decât o locație precisă. Fiecare orbital este o orbită tridimensională, și nu o orbită bidimensională, și este adesea descris ca o regiune tridimensională în care există o probabilitate de 95% de a găsi electronul.

Schrödinger a reușit să calculeze nivelele de energie ale hidrogenului prin tratarea electronului unui atom de hidrogen ca undă, reprezentat de „funcția de undă” Ψ, într-un puț de potențial electric V, creat de proton. Soluțiile pentru ecuația lui Schrödinger sunt distribuții de probabilități pentru pozițiile și locațiile electronilor. Orbitalele au o serie de forme diferite în trei dimensiuni. Energiile diferitelor orbite pot fi calculate și se potrivesc cu exactitate nivelelor energetice ale modelului Bohr.

În imaginea lui Schrödinger, fiecare electron are patru proprietăți:

1. O desemnare a unui „orbital”, indicând dacă unda particulei este mai aproape de nucleu cu energie mai mică sau mai departe de nucleu cu energie mai mare;
2. „Forma” orbitalului, sferică sau altfel;
3. „Înclinarea” orbitalului, determinând momentul magnetic al orbitalului în jurul axei z.
4. „Spinul” electronului.

Numele colectiv pentru aceste proprietăți este starea cuantică a electronului. Starea cuantică poate fi descrisă prin acordarea unui număr fiecăruia dintre aceste proprietăți; acestea sunt numite numerele cuantice ale electronului. Starea cuantică a electronului este descrisă de funcția de undă. Principiul excluziunii Pauli cere ca să nu existe doi electroni din interiorul unui atom care să aibă aceleași valori ale tuturor celor patru numere.

(Forme ale orbitalilor atomici. Rânduri: 1s, 2p, 3d și 4f. De la stânga la dreapta m = – l, …, l. Culorile arată faza funcției de undă. )

Prima proprietate care descrie orbitalul este numărul principal cuantic, n, care este același ca în modelul lui Bohr. n denotă nivelul energiei fiecărui orbital. Valorile posibile pentru n sunt numere întregi:

n = 1, 2, 3 …

Următorul număr cuantic, numărul cuantic azimutal, notat l, descrie forma orbitalului. Forma este o consecință a momentului unghiular al orbitalului. Momentul unghiular reprezintă rezistența unui obiect în rotație de spin la accelerarea sau încetinirea sub influența forței exterioare. Numărul cuantic azimutal reprezintă momentul unghiular orbital al unui electron în jurul nucleului său. Valorile posibile pentru l sunt numere întregi de la 0 la n – 1 (unde n este numărul principal cuantic al electronului):

l = 0, 1, …, n – 1.

Forma orbitalului este de obicei menționată printr-o literă, mai degrabă decât prin numărul său cuantic azimutal. Prima formă (l = 0) este notată cu litera s (mnemonic fiind o „sferă”). Următoarea formă este notată cu litera p și are forma unei gantere. Celelalte orbite au forme mai complexe și sunt notate cu literele d, f, g, etc.

Cel de-al treilea număr cuantum, numărul cuantic magnetic, descrie momentul magnetic al electronului și este notat cu m_l (sau pur și simplu m). Valorile posibile pentru m_l sunt numere întregi de la -l la l (unde l este numărul cuantic azimutal al electronului):

m_l = – l, – (l – 1), …, 0, 1, …, l.

Numărul cuantic magnetic măsoară componenta impulsului unghiular într-o anumită direcție. Alegerea direcției este arbitrară, convențional fiind aleasă direcția z.

Cel de-al patrulea număr cuantic, numărul cuantic de spin (referitor la „orientarea” rotației electronului) este notat m_s, cu valori +1/2 sau -1/2.

Chimistul Linus Pauling a scris, de exemplu:

În cazul unui atom de heliu cu doi electroni în orbitalul 1s, Principiul excluziunii Pauli impune ca cei doi electroni să difere în valoare printr-un număr cuantic. Valorile lor n, l și m_l sunt aceleași. În consecință, acestea trebuie să difere în valoarea m_s, care poate avea valoarea de +1/2 pentru un electron și -1/2 pentru celălalt.”

Structura și simetria subiacente ale orbitalilor atomici, și modul în care electronii le umplu, este ceea ce conduce la organizarea tabelului periodic. Modul în care orbitalii atomici pe diferiți atomi se combină pentru a forma orbitali moleculari determină structura și forța legăturilor chimice dintre atomi.

Soluțiile ecuației lui Schrödinger

Soluția ecuației Schrödinger (ecuația undei) pentru atomul de hidrogen folosește faptul că potențialul Coulomb produs de nucleu este izotrop (este în mod radial simetric în spațiu și depinde doar de distanța față de nucleu). Deși proprietățile energetice rezultate (orbitalii) nu sunt neapărat izotropi ei înșiși, dependența lor de coordonatele unghiulare rezultă în mod complet din această izotropie a potențialului de bază: stările proprii ale hamiltonianului (adică stările proprii de energie) pot fi alese ca fiind stări proprii simultane ale operatorului de momentului unghiular. Aceasta corespunde faptului că momentul unghiular este conservat în mișcarea orbitală a electronului din jurul nucleului. Prin urmare, stările proprii energetice pot fi clasificate prin două numere cuantice ale momentului unghiular, ℓ și m (ambele sunt numere întregi). Numărul cuantic al momentului unghiular ℓ = 0, 1, 2, … determină magnitudinea momentului unghiular. Numărul cuantic magnetic m = -ℓ, …, +ℓ determină proiecția momentului unghiular pe axa (aleasă arbitrar) z.

În plus față de expresiile matematice pentru momentul unghiular total și proiecția momentului unghiular al funcțiilor de undă, trebuie găsită o expresie pentru dependența radială a funcțiilor de undă. Numai aici intră detaliile potențialului Coulomb 1/r (conducând la polinoame Laguerre în r). Aceasta conduce la un al treilea număr cuantic, numărul cuantic principal n = 1, 2, 3, … Numărul cuantic principal la hidrogen este legat de energia totală a atomului.

Rețineți că valoarea maximă a numărului cuantic al momentului unghiular este limitată de numărul cuantic principal: acesta poate lua valori numai până la n – 1, adică ℓ = 0, 1, …, n – 1.

Datorită conservării momentului unghiular, stările aceluiași ℓ, dar m diferite, au aceeași energie (acest lucru se întâmplă pentru toate problemele cu simetrie rotativă). În plus, pentru atomul de hidrogen, stările aceluiași n, dar ℓ diferite, sunt de asemenea degenerate (adică au aceeași energie). Totuși, aceasta este o proprietate specifică a hidrogenului și nu mai este valabilă pentru atomii mai complicați care au un potențial (efectiv) diferit de forma 1/r (datorită prezenței electronilor interiori care ecranează potențialul nucleului).

Având în vedere rotația electronului, se adaugă un ultim număr cuantic, proiecția momentului de spin al electronului pe axa z, care poate lua două valori. Prin urmare, orice stare proprie a electronului din atomul de hidrogen este descris pe deplin prin patru numere cuantice. Conform regulilor obișnuite ale mecanicii cuantice, starea reală a electronului poate fi orice suprapunere a acestor stări. Aceasta explică și de ce alegerea axei z pentru cuantizarea direcțională a vectorului momentului unghiular este imaterială: un orbital dată de ℓ și m’ obținut pentru o altă axă preferată z’ poate fi reprezentată întotdeauna ca o suprapunere adecvată a diferitelor stări ale diferitelor m (dar aceleași ℓ) care au fost obținute pentru z.