Corecția lui Maxwell la legile electricității și magnetismului, inclusiv legea lui Ampère

Figura 16.1 Presiunea luminii solare prezisă de ecuațiile lui Maxwell a ajutat la prezicerea cozii cometei McNaught.

Vederea noastră a obiectelor de pe cer pe timp de noapte, strălucirea caldă a soarelui, înțepătura arsurilor solare, conversațiile noastre de pe telefonul mobil și razele X care dezvăluie un os rupt – toate ne sunt aduse de undele electromagnetice. Ar fi greu de exagerat importanța practică a undelor electromagnetice, prin rolul lor în viziune, prin nenumărate aplicații tehnologice și prin capacitatea lor de a transporta energia de la Soare prin spațiu pentru a susține viața și aproape toate activitățile sale pe Pământ.

Teoria a prezis fenomenul general al undelor electromagnetice înainte ca cineva să realizeze că lumina este o formă de undă electromagnetică. La mijlocul secolului al XIX-lea, James Clerk Maxwell a formulat o singură teorie care combină toate efectele electrice și magnetice cunoscute la acea vreme. Ecuațiile lui Maxwell, care rezumă această teorie, au prezis existența undelor electromagnetice care călătoresc cu viteza luminii. Teoria sa a prezis, de asemenea, cum se comportă aceste unde și cum transportă atât energie cât și impuls. Cozile cometelor, cum ar fi cometa McNaught din Figura 16.1, oferă un exemplu spectaculos. Energia transportată de lumina de la Soare încălzește cometa pentru a elibera praf și gaz. Impulsul purtat de lumină exercită o forță slabă care modelează praful într-o coadă de tipul celor văzute aici. Fluxul de particule emis de Soare, numit vântul solar, produce de obicei o a doua coadă suplimentară, așa cum este descris în detaliu în acest capitol.

În acest capitol, explicăm teoria lui Maxwell și arătăm cum aceasta duce la predicția sa a undelor electromagnetice. Folosim teoria sa pentru a examina ce sunt undele electromagnetice, cum sunt produse și cum transportă energia și impulsul. Încheiem prin a rezuma unele dintre numeroasele aplicații practice ale undelor electromagnetice.

Ecuațiile lui Maxwell și undele electromagnetice

James Clerk Maxwell (1831–1879) a fost unul dintre cei mai importanți contributori la fizică în secolul al XIX-lea (Figura 16.2). Deși a murit tânăr, a avut contribuții majore la dezvoltarea teoriei cinetice a gazelor, la înțelegerea vederii culorilor și la natura inelelor lui Saturn. El este probabil cel mai bine cunoscut pentru că a combinat cunoștințele existente despre legile electricității și ale magnetismului cu cunoștințele proprii într-o teorie electromagnetică globală completă, reprezentată de ecuațiile lui Maxwell.

Figura 16.2 James Clerk Maxwell, un fizician din secolul al XIX-lea, a dezvoltat o teorie care a explicat relația dintre electricitate și magnetism și a prezis corect că lumina vizibilă este formată din unde electromagnetice.

Corecția lui Maxwell la legile electricității și magnetismului

Cele patru legi de bază ale electricității și magnetismului au fost descoperite experimental prin munca unor fizicieni precum Oersted, Coulomb, Gauss și Faraday. Maxwell a descoperit inconsecvențe logice în aceste rezultate anterioare și a identificat caracterul incomplet al legii lui Ampère drept cauza lor.

Reamintim că, conform legii lui Ampère, integrala câmpului magnetic în jurul unei bucle închise C este proporțională cu curentul I care trece prin orice suprafață a cărei graniță este bucla C însăși:

(16.1)   ∮_CB⃗⋅ds⃗ = μ₀I.

Există infinit de multe suprafețe care pot fi atașate la orice buclă, iar legea lui Ampère enunțată în ecuația 16.1 este independentă de alegerea suprafeței.

Luați în considerare configurația din Figura 16.3. O sursă de tem este conectată brusc printr-un condensator cu plăci paralele, astfel încât în fir se dezvoltă un curent I dependent de timp. Să presupunem că aplicăm legea lui Ampère buclei C prezentate la un moment dat înainte ca condensatorul să fie complet încărcat, astfel încât I ≠ 0. Suprafața S₁ oferă o valoare diferită de zero pentru curentul închis I, în timp ce suprafața S₂ dă zero pentru curentul închis, deoarece nu trece curent prin ea:

∮_CB⃗⋅ds⃗ =

• μ₀I , dacă se folosește suprafața S1
• 0 , dacă se folosește suprafațaS₂.

În mod clar, legea lui Ampère în forma sa obișnuită nu funcționează aici. Aceasta este o contradicție internă în teorie care necesită o modificare a teoriei, a legii lui Ampère, însăși.

Figura 16.3 Curenții prin suprafața S₁ și suprafața S₂ sunt inegali, în ciuda faptului că au aceeași buclă de limită C.

Cum poate fi modificată legea lui Ampère astfel încât să funcționeze în toate situațiile? Maxwell a sugerat includerea unei contribuții suplimentare, numită curent de deplasare I_d, la curentul real I,

(16.2)   ∮_CB⃗⋅ds⃗ = μ₀(I + Id)

unde curentul de deplasare este definit a fi

(16.3)   Id = ε0 dΦE/dt.

 

Aici ε₀ este permisivitatea spațiului liber și Φ_E este fluxul electric, definit ca

Φ_E = ∬_SuprafațaSE⃗⋅dA⃗ .

Curentul de deplasare este analog cu un curent real din legea lui Ampère, intrând în legea lui Ampère în același mod. Este produs, însă, de un câmp electric în schimbare. El ține seama de un câmp electric în schimbare care produce un câmp magnetic, la fel ca un curent real, dar curentul de deplasare poate produce un câmp magnetic chiar și acolo unde nu este prezent un curent real. Când acest termen suplimentar este inclus, ecuația modificată a legii lui Ampère devine

(16.4)   ∮_CB⃗⋅ds⃗ = μ₀I + ε₀μ₀ dΦ_E/dt

și este independent de suprafața S prin care se măsoară curentul I.

Putem examina acum această versiune modificată a legii lui Ampère pentru a confirma că este valabilă independent de faptul că este aleasă suprafața S₁ sau suprafața S₂ din Figura 16.3. Câmpul electric E⃗ corespunzător fluxului Φ_E din ecuația 16.3 se află între plăcile condensatorului. Prin urmare, câmpul E⃗ și curentul de deplasare prin suprafața S₁ sunt ambele nule, iar ecuația 16.2 ia forma

(16.5)   ∮_CB⃗⋅ds⃗ = μ₀I.

Trebuie să arătăm acum că pentru suprafața S₂, prin care nu curge curent real, curentul de deplasare duce la aceeași valoare μ₀I pentru partea dreaptă a ecuației legii lui Ampère. Pentru suprafața S₂, ecuația devine

(16.6)   ∮_CB⃗⋅ds⃗ = μ₀ d/dt[ε₀∬_SuprafațaS2E⃗⋅dA⃗].

Legea lui Gauss pentru sarcina electrică necesită o suprafață închisă și nu poate fi aplicată în mod obișnuit unei suprafețe precum S₁ singură sau S₂ singură. Dar cele două suprafețe S₁ și S₂ formează o suprafață închisă în Figura 16.3 și pot fi utilizate în legea lui Gauss. Deoarece câmpul electric este zero pe S₁, contribuția fluxului prin S₁ este zero. Asta ne dă

∯_{SuprafațaS1+S2}E⃗⋅dA⃗ = ∬_SuprafațaS1 E⃗⋅dA⃗ + ∬_SuprafațaS2 E⃗⋅dA⃗ = 0 + ∬_SuprafațaS2 E⃗⋅dA⃗ = ∬_SuprafațaS2 E⃗⋅dA⃗.

Prin urmare, putem înlocui integrala peste S₂ din ecuația 16.6 cu suprafața gaussiană închisă S₁+S₂ și să aplicăm legea lui Gauss pentru a obține

(16.7)   ∮S₁B⃗⋅ds⃗ = μ₀ dQ_in/dt = μ₀I.

Astfel, ecuația modificată a legii lui Ampère este aceeași folosind suprafața S₂, unde partea dreaptă rezultă din curentul de deplasare, ca și pentru suprafața S₁, unde contribuția provine din fluxul real de sarcină electrică.

EXEMPLUL 16.1 Curentul de deplasare într-un condensator de încărcare Un condensator cu plăci paralele cu capacitatea C, ale cărui plăci au suprafața A și distanța de separare d, este conectat la un rezistor R și o baterie de tensiune V. Curentul începe să circule la t = 0. (a) Aflați curentul de deplasare între plăcile condensatorului la momentul t. (b) Din proprietățile condensatorului, găsiți curentul real corespunzător I = dQ/dt și comparați răspunsul cu curentul așteptat în firele circuitului RC corespunzător. Strategie Putem folosi ecuațiile din analiza unui circuit RC (Circuite cu curent alternativ) plus versiunea lui Maxwell a legii lui Ampère. Soluţie a. Tensiunea dintre plăci la momentul t este dată de VC = 1/C Q(t) = V0(1 − e−t/RC). Luăm axa z să indice de la placa pozitivă la placa negativă. Atunci componenta z a câmpului electric dintre plăci în funcție de timpul t este Ez(t) = V0/d (1 − e−t/RC). Prin urmare, componenta z a curentului de deplasare Id între plăci este Id(t) = ε0A ∂Ez(t)/∂t =  ε0A V0/d × 1/RC e−t/RC = V0/R e−t/RC, unde am folosit C = ε0 A/d pentru capacitate. b. Din expresia pentru VC, sarcina condensatorului este Q(t) = CVC = CV0(1 − e−t/RC). Prin urmare, curentul în condensator după ce circuitul este închis este I = dQ/dt = V0/R e−t/RC. Acest curent este același cu Id găsit în (a).

Sursa: University Physics (OpenStax), acces gratuit sub licență CC BY 4.0. Traducere de Nicolae Sfetcu. © 2023 MultiMedia Publishing, Fizica, Vol. 1-3