Spre deosebire de ecuațiile de mișcare pentru descrierea mecanicii particulelor, care sunt sisteme de ecuații diferențiale obișnuite cuplate, ecuațiile analogice care guvernează dinamica undelor și câmpurilor sunt întotdeauna ecuații diferențiale parțiale, deoarece undele sau câmpurile sunt funcții de spațiu și timp. Pentru o soluție particulară, trebuie specificate condițiile limită împreună cu condițiile inițiale.
Uneori, în următoarele contexte, ecuațiile de undă sau câmp sunt numite și „ecuații de mișcare”.
Ecuații de câmp
Ecuațiile care descriu dependența spațială și evoluția temporală a câmpurilor sunt numite ecuații de câmp. Acestea includ
- Ecuațiile lui Maxwell pentru câmpul electromagnetic,
- Ecuația lui Poisson pentru potențialul de câmpul electrostatic sau gravitațional newtonian,
- Ecuația câmpului Einstein pentru gravitație (legea gravitației lui Newton este un caz special pentru câmpurile gravitaționale slabe și vitezele reduse ale particulelor).
Această terminologie nu este universală: de exemplu, deși ecuațiile Navier-Stokes guvernează câmpul de viteză al unui fluid, acestea nu sunt denumite de obicei „ecuații de câmp”, deoarece în acest context ele reprezintă impulsul fluidului și se numesc în schimb „ecuații de impuls”.
Ecuații de undă
Ecuațiile de mișcare a undelor sunt numite ecuații de undă. Soluțiile la o ecuație de undă dau evoluția temporală și dependența spațială a amplitudinii. Condițiile limită determină dacă soluțiile descriu unde de deplasare sau unde staționare.
Din ecuațiile clasice ale mișcărilor și ale ecuațiilor de câmp pot fi derivate undele mecanice, gravitaționale și electromagnetice. Ecuația generală liniară de undă în 3D este:
(1/v2)(∂2X/∂t2) = ∇2X
unde X = X(r,t) este orice amplitudine a câmpului mecanic sau electromagnetic, precum:
- deplasarea transversală sau longitudinală a unei tije vibratoare, sârmă, cablu, membrană etc.,
- presiunea fluctuantă a presiunii acustice medii,
- câmpurile electrice E sau D sau câmpurile magnetice B sau H,
- tensiunea V sau curentul I într-un circuit de curent alternativ,
și v este viteza de fază. Ecuațiile neliniare modelează dependența vitezei de fază de amplitudine, înlocuind v cu v(X). Există și alte ecuații liniare și neliniare pentru aplicații foarte specifice, precum ecuația lui Korteweg-de Vries.
Teoria cuantică
În teoria cuantică apar atât conceptele de undă cât și de câmp.
În mecanica cuantică, în care particulele au și proprietăți asemănătoare undelor în funcție de dualitatea undă-particulă, analogul ecuațiilor clasice de mișcare (legea lui Newton, ecuația lui Euler-Lagrange, ecuația lui Hamilton-Jacobi etc.) este ecuația lui Schrödinger în forma sa cea mai generală:
iℏ(∂Ψ/∂t) = ĤΨ,
unde Ψ este funcția de undă a sistemului, Ĥ este operatorul hamiltonian cuantic, mai degrabă decât o funcție ca în mecanica clasică, iar ℏ este constanta lui Planck împărțită la 2π. Din configurarea hamiltonianului și introducerea în ecuație rezultă o ecuație de undă, soluția fiind funcția de undă ca o funcție de spațiu și timp. Ecuația Schrödinger însăși se reduce la ecuația lui Hamilton-Jacobi atunci când se ia în considerare principiul corespondenței, la limita căreia ℏ devine zero.
În toate aspectele teoriei cuantice, relativiste sau nerelaționiste, există diferite formulări alternative la ecuația Schrödinger care guvernează evoluția timpului și comportamentul unui sistem cuantic, de exemplu:
- ecuația de mișcare Heisenberg se aseamănă cu evoluția temporală a observabilelor clasice ca funcții ale poziției, momentului și timpului, dacă se înlocuiesc observabilele dinamice cu operatorii lor cuantici și de parantezele clasice Poisson cu comutatori,
- formularea spațiului de fază urmărește îndeaproape mecanica hamiltoniană clasică, plasând poziția și impulsul pe picior de egalitate,
- formularea integrala a căii Feynman extinde principiul minimei acțiuni asupra mecanicii cuantice și a teoriei câmpului, punând accentul pe folosirea unor lagrangieni mai degrabă decât hamiltonieni.
Lasă un răspuns