Formalismul parametrizat post-newtonian (PPN)

Formalismul post-newtonian este un instrument de calcul care exprimă ecuațiile (neliniare) de gravitație ale lui Einstein în ceea ce privește abaterile de ordinul cel mai scăzut de la legea lui Newton de gravitație universală. Acest lucru permite aproximări ale ecuațiilor lui Einstein în cazul câmpurilor slabe. Se pot adăuga termeni de ordin superior pentru a crește precizia, dar pentru câmpuri puternice, uneori este preferabil să se rezolve numeric ecuațiile complete. Unele dintre aceste aproximări post-newtoniene sunt expansiuni într-un mic parametru, care este raportul dintre viteza materiei care formează câmpul gravitațional și viteza luminii, care în acest caz este mai bine numită viteza de gravitație. În limita, când viteza fundamentală a gravitației devine infinită, expansiunea post-newtoniană se reduce la legea gravitației lui Newton.

Formalismul parametrizat post-newtonian sau formalismul PPN este o versiune a acestei formulări care detaliază explicit parametrii în care o teorie generală a gravitației poate fi diferită de gravitația Newtoniană. Este folosit ca instrument de comparare a gravitației newtoniană și einsteiniană în limita în care câmpul gravitațional este slab și generat de obiecte care se deplasează lent în comparație cu viteza luminii. În general, formalismul PPN poate fi aplicat tuturor teoriilor metrice de gravitație în care toate corpurile satisfac principiul Einstein de echivalență (PEE). Viteza luminii rămâne constantă în formalismul PPN și presupune că tensorul metric este întotdeauna simetric.

Istorie

Cele mai vechi parametrizări ale aproximării post-newtoniene au fost efectuate de Sir Arthur Stanley Eddington în 1922. Cu toate acestea, ele s-au ocupat exclusiv de câmpul gravitațional în vid în afara unui corp sferic izolat. Dr. Ken Nordtvedt (1968, 1969) a extins acest lucru pentru a include șapte parametri. Clifford Martin Will (1971) a introdus o descriere subliniată continuă a materiei corpurilor celeste.

Versiunile descrise aici se bazează pe lucrările lui Wei-Tou Ni (1972), Will și Nordtvedt (1972), Charles W. Misner și colab. (1973) și Will (1981, 1993) și au zece parametri.

Notația beta-delta

Zece parametri post-newtonieni caracterizează complet comportamentul câmpului slab al teoriei. Formalismul a fost un instrument valoros în testele de relativitate generală. În notarea lui Will (1971), Ni (1972) și Misner et al. (1973) au următoarele valori:

• γ: Cât de multă curbură a spațiului g_ij este produsă prin masa de odihnă a unității?
• β: Cât de multă neliniaritate există în legea superpoziției pentru gravitația g₀₀?
• β₁: Câtă gravitație este produsă de energia cinetică unitară ρ₀v²/2?
• β₂: Câtă gravitație este produsă de energia potențială gravitațională unitară ρ₀/U?
• β₃: Câtă gravitație este produsă de energia internă unitară ρ₀Π?
• β₄: Câtă gravitație este produsă de unitatea de presiune p?
• ζ: Diferența dintre energia cinetică radială și transversală asupra gravitației
• η: Diferența dintre solicitările radiale și transversale asupra gravitației
• Δ₁: Câtă glisare a cadrelor inerțiale g_0j este produsă de impulsul unitar ρ₀v?
• Δ₂: Diferența dintre impulsul radial și transversal în tragerea cadrelor inerțiale

g_μν este tensorul metric simetric 4 x 4 cu indicii μ si ν mergand de la 0 la 3. Mai jos, un indice de 0 va indica direcția timpului iar indicii i si j (mergând de la 1 la 3) vor indica direcțiile spațiale.

În teoria lui Einstein, valorile acestor parametri sunt aleși (1) pentru a se potrivi cu legea gravitației lui Newton în limita vitezelor și a masei care se apropie de zero, (2) pentru a asigura conservarea energiei, a masei, a impulsului și a momentului unghiular; și 3) pentru a face ecuațiile independente de cadrul de referință. În această notație, relativitatea generală are parametrii PPN γ = β = β₁ = β₂ = β₃ = β₄ = Δ₁ = Δ₂ = 1 și ζ = η = 0

Notația alpha-zeta

În notația mai recentă a lui Will & Nordtvedt (1972) și Will (1981, 1993, 2006) se utilizează un set diferit de zece parametri PPN.

• γ = γ
• β = β
• α₁ = 7Δ₁ + Δ₂ – 4γ – 4
• α₂ = Δ₂ + ζ – 1
• α₃ = 4β₁ – 2γ – 2 – ζ
• ζ₁ = ζ
• ζ₂ = 2β + 2β2 – 3γ – 1
• ζ₃ = β3 – 1
• ζ₄ = β₄ – γ
• ξ se calculează din 3η = 12β – 3γ – 9 + 10ξ – 3α₁ + 2α₂ – 2ζ₁ – ζ₂

Înțelesul acestora este că α₁, α₂ și α₃ măsoară amploarea efectelor de cadru preferate. ζ₁, ζ₂, ζ₃, ζ₄ și α₃ măsoară eșecul conservării energiei, a impulsului și a momentului unghiular.

În această notație, relativitatea generală are parametrii PPN

γ = β = 1 și α₁ = α₂ = α₃ = ζ₁ = ζ₂ = ζ₃ = ζ₄ = ξ = 0

Relația matematică dintre metrică, potențialul metric, și parametrii PPN pentru această notație este:

g₀₀ = − 1 + 2U − 2βU² − 2ξΦ_W + (2γ + 2 + α₃ + ζ₁ − 2ξ)Φ₁ + 2(3γ − 2β + 1 + ζ₂ + ξ)Φ₂ + 2(1 + ζ₃)Φ₃ + 2(3γ + 3ζ₄ − 2ξ)Φ₄ − (ζ1 − 2ξ)A − (α₁ − α₂ − α₃)w²U − α₂wⁱw^jU_ij + (2α₃ − α₁)wⁱV_i + O(ϵ³)

g_0i = − 1/2·(4γ + 3 + α₁ − α₂ + ζ₁ − 2ξ)V_i − 1/2·(1 + α₂ − ζ₁ + 2ξ)W_i − 12(α₁ − 2α₂)wⁱU − α₂w^jU_ij + O(ϵ^5/2)

g_ij = (1 + 2γU)δ_ij + O(ϵ²)

unde indicii repetați sunt însumați. ε este de ordinul potențialelor cum ar fi U, magnitudinea pătrată a vitezelor de coordonate ale materiei, etc. wⁱ este vectorul de viteză al sistemului de coordonate PPN relativ la cadrul mediu de repaus al universului. w² = δ_ijw_iw_j este magnitudinea pătrată a acestei viteze. δ_ij = 1 dacă și numai dacă i = j, altfel 0.

Există zece potențiale metrice, U, U_ij, ΦW, A, Φ₁, Φ₂, Φ₃, Φ₄, V_i și W_i, câte unul pentru fiecare parametru PPN pentru a asigura o soluție unică. 10 ecuații liniare în 10 necunoscute sunt rezolvate prin inversarea unei matrice 10 x 10. Aceste potențiale metrice au forme precum:

U(x,t) = ∫(ρ(x’,t)/|x – x’|)d³x’

care este pur și simplu un alt mod de a scrie potențialul gravitațional newtonian,

U_ij = ∫(ρ(x’,t)(x – x’)_i(x – x’)_j/|x – x’|³)d³x’

Φ_w = ∫(ρ(x’,t)ρ(x”, t)(x – x’)_i/|x – x’|³)((x’- x”)ⁱ/|x – x’| – (x – x”)ⁱ/|x′ − x″|)d³x′d³x″

A = ∫(ρ(x’,t)(v(x’,t)·(x – x’))²/|x – x’|³)d³x’

Φ₁ = ∫(ρ(x’,t)v(x’, t)²/|x – x’|)d³x’

Φ₂ = ∫(ρ(x’, t)U(x’,t)/|x – x’|)d³x’

Φ₃ = ∫(ρ(x’,t)Π(x’,t)/|x – x’|)d³x’

Φ₄ = ∫(p(x’,t)/|x – x’|)d³x’

V_i = ∫(ρ(x’,t)v(x’,t)_i/|x – x’|)d³x’

W_i = ∫(ρ(x’,t)(v(x’,t)·(x – x’))(x – x’)_i/|x – x’|³)d³x’

unde ρ este densitatea de masă de repaus, Π este energia internă pe unitate de masă de repaus, p este presiunea măsurată într-un cadru local care se încadrează liber în mod instantaneu în materie și v este viteza de coordonate a materiei.

Tensorul energie-stres pentru un fluid perfect ia forma

T₀₀ = ρ(1 + P + v² + 2U)

T_0i = ρ(1 + Π + v² + 2U + p/ρ)vⁱ

T_ij = ρ(1 + π + v² + 2U + p/ρ)vⁱv^j + pδ^ij(1 – 2γU)