Inelele chinezești

Ilustrația reprezintă una dintre cele mai vechi dintre toate puzzle-urile mecanice. Originea sa este necunoscută. Cardan, matematicianul, a scris despre el în 1550, iar Wallis în 1693; se spune că se mai găsesc încă în satele obișnuite din Anglia (uneori depozitate în locuri ciudate, cum ar fi o clopotniță de biserică), făcute din fier și denumite „tiring irons„, și sunt folosite și în prezent de norvegienii ca o încuietoare pentru cutii și pungi. În magazinele de jucării se găsesc uneori sub numele de „inele chinezești„, deși nu pare să existe niciun motiv pentru această denumire; cel mai adesea se găsesc sub numele ambiguu de „inele puzzle„. Francezii le numesc „baguenaudier„.

Ansamblul constă dintr-o buclă simplă de sârmă fixată într-un mâner care va fi ținut în mâna stângă și un anumit număr de inele fixate fiecare de câte niște fire care trec prin găurile dintr-o bară și sunt ținute acolo de capetele lor îndoite. Firele sunt libere în bară, dar nu se pot scoate de ea, și nici nu pot fi îndepărtate din inele. Problema generală este de a detașa bucla de sârmă complet de toate inelele, apoi de a le pune pe toate din nou.

Acum, se poate observa dintr-o privire că primul inel (la dreapta) poate fi scos în orice moment prin alunecarea acestuia peste capăt și scoțându-l din buclă; și poate fi pus la loc prin inversarea operației. În afară de acesta, singurul inel care ar mai putea fi îndepărtat este al doilea inel care se găsește lângă primul din dreapta. Astfel, cu toate inelele pe buclă, cel de-al doilea poate fi scos imediat; cu primul inel jos, nu poți scoate pe cel de-al doilea, dar poți îndepărta pe al treilea; cu primele trei inele în jos, nu puteți îndepărta pe al patrulea, puteți îndepărta inelul 5; si asa mai departe. Se va constata că primul și cel de-al doilea inel pot fi scoase împreună sau puse împreună; dar pentru a preveni confuzia vom interzice în întregime această dublă mișcare excepțională și vom spune că numai un singur inel poate fi pus sau eliminat la un moment dat.

Prin urmare, putem scoate un inel dintr-o mișcare; două inele în 2 mișcări; trei inele în 5 mișcări; patru inele în 10 mișcări; cinci inele în 21 de mișcări, etc. Pentru a scoate toate cele șapte inele este nevoie de 85 de mișcări. Să ne uităm la cele cinci mișcări făcute în îndepărtarea primelor trei inele, cercurile de deasupra liniei sunt pentru inelele de pe buclă și cele de sub linie sunt inelele scoase de pe buclă.

Scoateți primul inel; scoateți al treilea; puneți pe primul; scoateți al doilea; și scoateți primul – 5 mutări, după cum se arată clar în diagrame. Cercurile ănnegrite arată în fiecare etapă, de la poziția de plecare la final, care inele este posibil să se scoată. După mutarea 2 se va observa că niciun inel nu poate fi scos până când unul nu este pus, deoarece primul și cel de-al doilea inel de la dreapta acum pe buclă nu sunt împreună. După a cincea mutare, dacă dorim să eliminăm toate cele șapte inele, trebuie să scoateți acum pe al cincelea. Dar înainte de a putea scoateți pe al patrulea este necesar să punem pe primele trei și să eliminăm primele două. Atunci vom avea 7, 6, 4, 3 pe buclă și, prin urmare, putem să scoateți pe 4. Când am pus 2 și 1 și am eliminat 3, 2, 1, putem scoate al șaptelea inel. Următoarea operațiune va fi să puneți 6, 5, 4, 3, 2, 1 pe buclă și să eliminați 4, 3, 2, 1, când 6 va ieși; apoi puneți 5, 4, 3, 2, 1 pe buclă și scoateți 3, 2, 1, când 5 va ieși; apoi puneți 4, 3, 2, 1 pe buclă și scoateți 2, 1, când 4 va ieși; apoi puneți 3, 2, 1 pe buclă și scoateți 1, când 3 va ieși; apoi puneți 2, 1 pe buclă, când 2 va ieși; și 1 va ieți la a 85-a mișcare, lăsând bucla liberă. Ar trebui acum să înțelegeți puzzle-ul, indiferent dacă îl aveți sau nu într-o formă practică.

Problema specială pe care o propun este pur și simplu aceasta. Să presupunem că sunt paisprezece inele pe buclă și continuăm să le scoatem pe toate în modul corect, pentru a nu pierde nicio mișcare. Care va fi poziția inelelor după ce mutarea a 9.999-a a fost făcută?

Voi da o solutie completă pentru ca cititorii să vadă cât de ușsor este atunci când știți cum să procedați. Și mai întâi de toate, deoarece există un număr par de inele, voi spune că toți pot fi îndepărtați în o treime din (2^{(n + 1)} – 2) mutări; și din moment ce n în cazul nostru este 14, toate inelele pot fi scoase în 10.922 mutări. Apoi 10.922 – 9.999 = 923, practic trebuie să găsiți poziția când mai sunt de efectuat doar 923 din cele 10.922 mutări. Acum vine ”șmecheria”. Ea se bazează pe metoda scalei binare utilizată de L. Gros, într-o problemă descrisă în cartea Recreații matematice a lui W.W. Rouse Ball.

Împărțind 923 cu 2, se obține 461, și restul 1; împărțind 461 cu 2, se obține 230 și restul 1; împărțind 230 cu 2, se obține 115, fără rest. Continuați să împărțiți cu 2 în acest fel cât de mult posibil și toate resturile vor fi 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, ultimul rest fiind la stânga și primul rest la dreapta. Deoarece există paisprezece inele și doar zece cifre, punem diferența sub formă de patru zerouri, în paranteze la stânga, și punem în paranteze toate acele cifre care repetă o cifră la stânga lor. Astfel avem următorul aranjament: (0 0 0 0) 1 (1 1) 0 (0) 1 (1) 0 1 (1). Acesta este răspunsul corect al puzzle-ului, deoarece dacă punem acum inelele de sub linie să reprezinte cifrele din paranteze și inele de peste linie pentru celelalte cifre, obținem soluția în forma dorită, după cum urmează:

Aceasta este poziția exactă a inelelor după mutarea de 9.999, iar cititorul va descoperi că metoda prezentată va rezolva orice întrebare similară, indiferent de numărul de inele care se află pe buclă. Dar, în procesul invers, unde trebuie să se stabilească numărul de mutări necesare pentru a ajunge la o anumită poziție a inelelor, regula va necesita o mică modificare, deoarece nu înseamnă neapărat că poziția este una care a fost în cursul scoaterii tuturor inelelelor de pe buclă, așa cum cititorul va vedea în continuare. Voi relua aici că în cazul în care numărul total de inele este impar, numărul de mutări necesare pentru a le elimina este de o treime din (2^{(n + 1)} – 1).

Cu n inele (unde n este impar) există 2ⁿ poziții pentru a le pune pe toate la loc și a le scoate pe toate. În (1/3) (2^{(n + 1)} + 2) poziții toate pot fi îndepărtate. Numărul de poziții neutilizate este (1/3) (2ⁿ – 2).

Cu n inele (unde n este par) există 2ⁿ poziții pentru a le pune pe toate la loc și a le scoate pe toate. În (2^{(n + 1)} + 1) poziții toate pot fi îndepărtate. Numărul de poziții neutilizate este (1/3) (2ⁿ – 1).

Iată un tabel cu câteva cazuri:

Nr. de inele	Total poziții	Poziții folosite	Poziții nefolosite
1	2	2	0
3	8	6	2
5	32	22	10
7	128	86	42
9	512	342	170

2	4	3	1
4	16	11	5
6	64	43	21
8	256	171	85
10	1024	683	341

Rețineți mai întâi că numărul de poziții utilizate este cu una mai mult decât numărul de mutări necesare pentru a elimina toate inelele, deoarece includem „toate pe”, ceea ce reprezintă o poziție, dar nu o mutare. Apoi, rețineți că numărul de poziții neutilizate este același cu numărul de mutări utilizate pentru a scoate un set care are cu un inel mai puțin. De exemplu, este nevoie de 85 de mutări pentru a îndepărta 7 inele, iar cele 42 de poziții nefolosite sunt exact numărul de mutări necesare pentru a scoate inelele de pe un set de 6 inele. Faptul este că dacă există 7 inele și scoateți primele 6 și apoi doriți să eliminați cel de-al 7-lea inel, nu există altă modalitate decât să inversați toate cele 42 de mișcări care nu trebuiau făcute altfel. Cu alte cuvinte, trebuie să înlocuiți toate cele 7 inele de pe buclă și să începeți din nou! Ar fi trebuit mai întâi să scoateți 5 inele, și pentru asta ar fi trebuit să scoateți 3 inele, iar anterior un inel. Pentru a scoate 6 mai întâi trebuie să scoateți 2 și apoi 4 inele.