Perturbația periodică în fizica cuantică: Regula de aur a lui Fermi

În fizica cuantică, regula de aur a lui Fermi este o formulă care descrie rata de tranziție (probabilitatea de tranziție pe unitate de timp) de la o stare proprie energetică a unui sistem cuantic la o altă stare proprie energetică într-un continuum, efectuată de o perturbare slabă. Această rată este efectiv constantă.

Deși numită după Enrico Fermi, cea mai mare parte a activității care conduce la regula de aur se datorează lui Paul Dirac, care a formulat cu 20 de ani mai devreme o ecuație aproape identică, incluzând cele trei componente ale unei constante, elementul matricei perturbației și o diferență energetică. Acest nume a fost dat deoarece, din cauza importanței sale, Fermi a numit-o „Regula de aur nr. 2.”

Rata și derivarea acesteia

Luați în considerare ca sistemul să înceapă într-o stare proprie, |i›, a unui Hamiltonian dat, H₀. Luați în considerare efectul unui hamiltonian (probabil dependent de timp) perturbator, H’. Dacă H’ este independent de timp, sistemul trece numai în acele stări din continuu care au aceeași energie ca și starea inițială. Dacă H’ oscilează ca o funcție a timpului cu o frecvență unghiulară ω, tranziția este în stări cu energii care diferă prin ħω de energia starii inițiale.

În ambele cazuri, probabilitatea de tranziție per unitatea de timp unu-la-multe din starea |i› la un set de stări finale |f› este în esență constantă. Aceasta este dată, pentru primul ordin în perturbare, de

Γ_i→f = 2π/ℏ·|‹f|H’|i›|²ρ

unde ρ este densitatea stărilor finale (numărul de stări continuum per unitatea de energie) și ‹f|H’|i› este elementul matricei (în notația bra-ket) a perturbării H’ între stările finale și cele inițiale.

Această probabilitate de tranziție se mai numește și „probabilitate de dezintegrare” și este legată de inversul duratei medii de viață. Regula de aur a lui Fermi este valabilă atunci când starea inițială nu a fost semnificativ sărăcită prin împrăștiere în stările finale.

Metoda standard de derivare a ecuației este de a începe cu teoria perturbării dependente de timp și de a lua limita de absorbție presupunând că timpul de măsurare este mult mai mare decât timpul necesar pentru tranziție.

Derivarea în teoria perturbării dependente de timp

Numai magnitudinea elementului de matrice ‹f|H’|i› intră în regula de aur a lui Fermi. Totuși, faza acestui element de matrice conține informații separate despre procesul de tranziție. Apare în expresii care completează regula de aur în abordarea semiclasică a ecuației Boltzmann în transportul de electroni.