Stările cuantice conform lui Dirac

(Conferința de la Solvay. Din spate în față și de la stânga la dreapta :
Auguste Piccard, Émile Henriot, Paul Ehrenfest, Édouard Herzen, Théophile de Donder, Erwin Schrödinger, Jules-Émile Verschaffelt, Wolfgang Pauli, Werner Heisenberg, Ralph Howard Fowler, Léon Brillouin,
Peter Debye, Martin Knudsen, William Lawrence Bragg, Hendrik Anthony Kramers, Paul Dirac, Arthur Compton, Louis de Broglie, Max Born, Niels Bohr,
Irving Langmuir, Max Planck, Marie Skłodowska Curie, Hendrik Lorentz, Albert Einstein, Paul Langevin, Charles-Eugène Guye, Charles Thomson Rees Wilson, Owen Willans Richardson)

În mecanica cuantică, imaginea interacțiunilor (cunoscută și sub numele de imaginea lui Dirac după Paul Dirac) este o reprezentare intermediară între imaginea lui Schrödinger și imaginea lui Heisenberg. În timp ce în celelalte două imagini, fie vectorul de stare, fie operatorii au dependență de timp, în imaginea interacțiunilor ambele au observabilele dependente de timp. Imaginea interacțiunilor este utilă în tratarea modificărilor funcțiilor de undă și a observabilelor datorate interacțiunilor. Majoritatea calculelor de ordin teoretic utilizează reprezentarea interacțiunilor, deoarece construiesc soluția pentru ecuația Schrödinger cu mai multe corpuri ca soluție pentru problema particulelor libere plus unele părți de interacțiuni necunoscute.

Ecuațiile care includ operatorii care acționează în momente diferite, care se află în imaginea interacțiunilor, nu se află neapărat în imaginea lui Schrödinger sau a lui Heisenberg. Acest lucru se datorează faptului că transformările unitare dependente de timp relaționează operatorii într-o singură imagine cu operatorii analogi din celelalte.

Definiție

Operatorii și vectorii de stare din imaginea interacțiunilor sunt legați de o schimbare de bază (transformare unitară) la aceiași operatori și vectori de stare din imaginea lui Schrödinger.

Pentru a trece în imaginea interacțiunilor, împărțim hamiltonianul imaginii Schrödinger în două părți:

H_S = H_0,S + H_1,S.

Orice alegere posibilă a părților va produce o imagine a interacțiunilor valabilă; dar pentru ca imaginea interacțiunilor să fie utilă în simplificarea analizei unei probleme, părțile vor fi alese în mod tipic astfel încât H_0,S să fie bine înțeles și exact determinabil, în timp ce H_1,S conține o perturbație mai dificil de analizat pentru acest sistem.

În cazul în care hamiltonianul are o dependență temporală explicită (de exemplu, dacă sistemul cuantic interacționează cu un câmp electric extern aplicat, care variază în timp), va fi de obicei avantajos să se includă termenii explicit dependenți de timp cu H_1,S, lăsând H_0,S independent de timp. Continuăm să presupunem că acesta este cazul.

Vectorii de stare

Un vector de stare în imaginea interacțiunilor este definit ca |ψ_I(t)› unde |ψ_S(t)› este vectorul de stare în imaginea lui Schrödinger.

Operatori

Operatorul din imaginea interacțiunilor este definit ca A_I(t). A_S(t) nu va depinde în mod normal de t și poate fi rescris ca fiind doar ca A_S. Aceasta depinde doar de t dacă operatorul are „dependență temporală explicită”, de exemplu, datorită dependenței sale de un câmp electric care variază în funcție de timp.

Operatorul hamiltonian

Pentru operatorul H₀, imaginea de interacțiune și imaginea lui Schrödinger coincid. Acest lucru este ușor de văzut prin faptul că operatorii comută cu funcții diferențiate de la sine. Acest operator poate fi numit H₀ fără ambiguitate.

Pentru perturbația hamiltoniană H_1,I, cu toate acestea, hamiltonianul perturbației imaginii interacțiunilor devine un hamiltonian dependent de timp, cu excepția cazului în care [H_1,S, H_0,S] = 0.

Este posibil să se obțină imaginea interacțiunilor pentru un hamiltonian H_0,S(t) dependent de timp, dar exponențele trebuie înlocuite cu propagatorul unitar pentru evoluția generată de H_0,S(t), sau, mai explicit, cu un integrator exponențial ordonat în timp.

Matricea densității

Matricea de densitate poate fi transformată în imaginea interacțiunilor în același mod ca orice alt operator. În special, se consideră ρ_I și ρ_S ca fiind matricele de densitate din imaginea interacțiunilor și, respectiv, imaginea Schrödinger.

Evoluția stării Ket este constantă pentru imaginea Heisenberg. La fel pentru evoluția matricei densității. Evoluția observabileleor este constantă pentru imaginea Schrödinger. Nicio evoluție nu este constantă pentru imaginea interacțiunilor.

Ecuațiile timp-evoluție în imaginea interacțiunilor

Evoluția în timp a stărilor

Transformarea ecuației Schrödinger în imaginea interacțiunilor dă

iℏ(d/dt)|ψ(t)› = H_1,I(t)|ψ_I(t)›.

Această ecuație este denumită ecuația Schwinger-Tomonaga.

Evoluția în timp a operatorilor

Dacă operatorul A_S este independent de timp (adică nu are „dependență temporală explicită”, vezi mai sus), atunci evoluția temporală corespunzătoare pentru A_I(t) este dată de

iℏ(d/dt)A_I(t) = [A_I(t),H_0,S].

În imaginea interacțiunilor, operatorii evoluează în timp, ca și operatorii din imaginea Heisenberg cu hamiltonianul H‘ = H₀.

Evoluția în timp a matricei de densitate

Transformarea ecuației Schwinger-Tomonaga în limbajul matricei de densitate (sau echivalent, transformarea ecuației von Neumann în imaginea interacțiunilor) dă

iℏ(d/dt)ρ_I(t) = [H_1,I(t), ρ_I(t)].

Valori așteptate

Pentru un operator general A, valoarea așteptată din imaginea interacțiunilor este dată de

‹A_I(t)› = Tr(ρ_I(t) A_I(t)).

Utilizarea imaginii interacțiunilor

Scopul imaginii interacțiunilor este de a șunta tot timpul dependența datorată lui H₀ asupra operatorilor, permițându-le astfel să evolueze liber și lăsând doar H_1,I să controleze evoluția în timp a vectorilor de stare.

Imaginea interacțiunilor este convenabilă atunci când se are în vedere efectul unui termen de interacțiune mic, H_1,S, care este adăugat la hamiltonianul unui sistem rezolvat, H_0,S. Folosind imaginea interacțiunilor, putem folosi teoria perturbării dependente de timp pentru a găsi efectul lui H_1,I, de exemplu, în derivarea regulii de aur a lui Fermi sau seria Dyson în teoria câmpului cuantic: în 1947, Tomonaga și Schwinger au apreciat că teoria perturbării covariante ar putea fi formulată elegant în imaginea interacțiunilor, deoarece operatorii de câmp pot evolua în timp sub formă de câmpuri libere, chiar și în prezența interacțiunilor, tratate acum perturbativ într-o astfel de serie Dyson.