Structura atomului de hidrogen

Nebuloasa NGC1763 — Credit: modificarea lucrării lui NASA, ESA și Josh Lake

Figura 8.1 NGC1763 este o nebuloasă cu emisie din Marele Nor Magellanic, care este o galaxie satelit pentru galaxia noastră Calea Lactee. Culorile pe care le vedem pot fi explicate prin aplicarea ideilor mecanicii cuantice a structurii atomice. (Credit: modificarea lucrării lui NASA, ESA și Josh Lake)

În acest capitol, folosim mecanica cuantică pentru a studia structura și proprietățile atomilor. Acest studiu introduce idei și concepte care sunt necesare pentru a înțelege sisteme mai complexe, cum ar fi molecule, cristale și metale. Pe măsură ce aprofundăm înțelegerea atomilor, ne axăm pe lucruri pe care le știm deja, cum ar fi modelul nuclear al atomului al lui Rutherford, modelul atomului de hidrogen al lui Bohr și ipoteza undei a lui De Broglie.

Figura 8.1 este NGC1763, o nebuloasă cu emisie din mica galaxie cunoscută sub numele de Marele Nor Magellanic, care este un satelit al galaxiei Căii Lactee. Lumina ultravioletă a stelelor fierbinți ionizează atomii de hidrogen din nebuloasă. Pe măsură ce protonii și electronii se recombină, sunt emise radiații de diferite frecvențe. Detaliile acestui proces pot fi prezise corect de mecanica cuantică și sunt examinate în acest capitol.

Atomul de hidrogen

Atomul de hidrogen este cel mai simplu atom din natură și, prin urmare, un bun punct de plecare pentru a studia atomii și structura atomică. Atomul de hidrogen este format dintr-un singur electron încărcat negativ care se mișcă în jurul unui proton încărcat pozitiv (Figura 8.2). În modelul lui Bohr, electronul este tras în jurul protonului pe o orbită perfect circulară de o forță Coulomb atractivă. Protonul este de aproximativ 1800 de ori mai masiv decât electronul, astfel încât protonul se mișcă foarte puțin ca răspuns la forța asupra protonului de către electron. (Acest lucru este analog cu sistemul Pământ-Soare, unde Soarele se mișcă foarte puțin ca răspuns la forța exercitată asupra acestuia de Pământ.) O explicație a acestui efect folosind legile lui Newton este dată în Fotoni și undele de materie.

Figura 8.2 O reprezentare a modelului Bohr al atomului de hidrogen.

Cu presupunerea unui proton fix, ne concentrăm asupra mișcării electronului.

În câmpul electric al protonului, energia potențială a electronului este

(8.1) U(r) = −k e²/r,

unde k = 1/4πε₀ și r este distanța dintre electron și proton. După cum am văzut mai devreme, forța asupra unui obiect este egală cu negativul gradientului (sau pantei) funcției de energie potențială. Pentru cazul special al unui atom de hidrogen, forța dintre electron și proton este o forță Coulomb atractivă.

Observați că funcția de energie potențială U(r) nu variază în timp. Drept urmare, ecuația lui Schrödinger a atomului de hidrogen se reduce la două ecuații mai simple: una care depinde doar de spațiu (x, y, z) și alta care depinde doar de timp (t). (Separarea unei funcții de undă în părți dependente de spațiu și timp pentru funcțiile de energie potențială independente de timp este discutată în Mecanica cuantică.) Ne interesează cel mai mult ecuația dependentă de spațiu:

(8.2) −ℏ²/2m_e (∂²ψ/∂x² + ∂²ψ/∂y² + ∂²ψ/∂z²) – k e²/r ψ = Eψ,

unde ψ = ψ(x,y,z) este funcția de undă tridimensională a electronului, m_e este masa electronului și E este energia totală a electronului. Reamintim că funcția de undă totală Ψ(x,y,z,t) este produsul dintre funcția de undă dependentă de spațiu ψ = ψ(x,y,z) și funcția de undă dependentă de timp φ = φ(t) .

Pe lângă faptul că este independent de timp, U(r) este și simetric sferic. Acest lucru sugerează că putem rezolva mai ușor ecuația lui Schrödinger dacă o exprimăm în termeni de coordonate sferice (r,θ,ϕ) în loc de coordonate dreptunghiulare (x,y,z). Un sistem de coordonate sferice este prezentat în Figura 8.3. În coordonatele sferice, variabila r este coordonata radială, θ este unghiul polar (în raport cu axa verticală z) și ϕ este unghiul azimutal (în raport cu axa x). Relația dintre coordonatele sferice și dreptunghiulare este x = rsinθcosϕ, y = rsinθsinϕ, z = rcosθ.

Figura 8.3 Relația dintre sistemele de coordonate sferice și dreptunghiulare.

Factorul rsinθ este mărimea unui vector format prin proiecția vectorului polar pe planul xy. De asemenea, coordonatele lui x și y sunt obținute prin proiectarea acestui vector pe axele x și respectiv y. Transformarea inversă dă

r = √(x² + y² + z²) , θ = cos⁻¹(z/r) , ϕ = cos⁻¹(x/√(x² + y²)).

Ecuația de undă a lui Schrödinger pentru atomul de hidrogen în coordonate sferice este discutată în cursuri mai avansate de fizică modernă, așa că nu o abordăm în detaliu aici. Cu toate acestea, datorită simetriei sferice a lui U(r), această ecuație se reduce la trei ecuații mai simple: una pentru fiecare dintre cele trei coordonate (r,θ și ϕ). Soluțiile la funcția de undă independentă de timp sunt scrise ca produs a trei funcții:

ψ(r,θ,ϕ) = R(r)Θ(θ)Φ(ϕ),

unde R este funcția radială dependentă numai de coordonatele radiale r; Θ este funcția polară dependentă numai de coordonatele polare θ; iar Φ este numai funcția phi a lui ϕ. Soluțiile valide ale ecuației lui Schrödinger ψ(r,θ,ϕ) sunt etichetate cu numerele cuantice n, l și m.

n: număr cuantic principal

l: număr cuantic al momentului unghiular

m: număr cuantic al proiecției momentului unghiular

(Motivele acestor denumiri vor fi explicate în secțiunea următoare.) Funcția radială R depinde numai de n și l; funcția polară Θ depinde numai de l și m; iar funcţia phi Φ depinde numai de m. Dependența fiecărei funcții de numerele cuantice este indicată cu indice:

ψ_nlm(r,θ,ϕ) = R_nl(r)Θ_lm(θ)Φ_m(ϕ).

Nu toate seturile de numere cuantice (n, l, m) sunt posibile. De exemplu, numărul cuantic unghiular orbital l nu poate fi niciodată mai mare sau egal cu numărul cuantic principal n (l < n). Mai exact, avem

n = 1,2,3,…

l = 0,1,2,…,(n−1)

m = −l, (−l + 1), … , 0, … , (+l−1), +l

Observați că pentru starea fundamentală, n = 1, l = 0 și m = 0. Cu alte cuvinte, există o singură stare cuantică cu funcția de undă pentru n = 1 și este ψ₁₀₀. Totuși, pentru n = 2, avem

l = 0 , m = 0

l = 1 , m = −1,0,1.

Prin urmare, stările permise pentru starea n = 2 sunt ψ₂₀₀, ψ₂₁₋₁, ψ₂₁₀ și ψ₂₁₁. Exemple de funcții de undă pentru atomul de hidrogen sunt date în Tabelul 8.1. Rețineți că unele dintre aceste expresii conțin litera i, care reprezintă √−1. Când se calculează probabilitățile, aceste numere complexe nu apar în răspunsul final.

$n = 1, l = 0, m_{l} = 0$ = 1 , l = 0 , ml = 0	$ψ_{100} = \frac{1}{\sqrt{π}} \frac{1}{a_{0}^{3 / 2}} e^{− r / a_{0}}$ ₁₀₀ = 1/√π 1/a₀3^/² e⁻^r^/^a⁰
$n = 2, l = 0, m_{l} = 0$ = 2 , l = 0 , ml = 0	$ψ_{200} = \frac{1}{4 \sqrt{2 π}} \frac{1}{a_{0}^{3 / 2}} (2 - \frac{r}{a_{0}}) e^{− r / 2 a_{0}}$ 200 = 1/4√2π 1/a₀3^/² (2−r/a₀)e⁻^r^/²^a⁰
$n = 2, l = 1, m_{l} = −1$ = 2 , l = 1 , ml = −1	$ψ_{21 - 1} = \frac{1}{8 \sqrt{π}} \frac{1}{a_{0}^{3 / 2}} \frac{r}{a_{0}} e^{− r / 2 a_{0}} sin θ e^{− i ϕ}$ ₂₁₋₁ = 1/8√π 1/a₀3^/² r/a₀ e⁻^r^/²^a⁰ sinθe⁻^iϕ
$n = 2, l = 1, m_{l} = 0$ = 2 , l = 1 , ml = 0	$ψ_{210} = \frac{1}{4 \sqrt{2 π}} \frac{1}{a_{0}^{3 / 2}} \frac{r}{a_{0}} e^{− r / 2 a_{0}} cos θ$ ₂₁₀ = 1/4√2π 1/a₀3^/² r/a₀ e⁻^r^/²^a⁰ cosθ
$n = 2, l = 1, m_{l} = 1$ = 2 , l = 1 , ml = 1	$ψ_{211} = \frac{1}{8 \sqrt{π}} \frac{1}{a_{0}^{3 / 2}} \frac{r}{a_{0}} e^{− r / 2 a_{0}} sin θ e^{i ϕ}$ ₂₁₁ = 1/8√π 1/a₀3^/² r/a₀ e⁻^r^/²^a⁰ sinθeiϕ