Teorema lui Bell despre variabilele ascunse în mecanica cuantică

Teorema lui Bell este o teoremă „no-go” (o teoremă care afirmă că o situație particulară nu este fizic posibilă) care trage o distincție importantă între mecanica cuantică și lume, așa cum este descrisă de mecanica clasică, în special în ceea ce privește inseparabilitatea cuantică în care două sau mai multe particule în o stare cuantică continuă să fie dependente reciproc la mari distanțe fizice. Această teoremă este numită după John Stewart Bell.

O serie de experimente a verificat teorema și a arătat că inseparabilitatea cuantică are loc pe distanțe mari. Inseparabilitatea cuantică are implicații profunde pentru rezultatele măsurătorilor sistemelor cuantice, de exemplu în calculul cuantic.

În forma sa cea mai simplă, teorema Bell spune:

Nici o teorie fizică a variabilelor locale ascunse nu poate reproduce toate predicțiile mecanicii cuantice.

Fizicianul în fizica solidelor David Mermin, de la Cornell, a descris aprecierile importanței teoremei lui Bell în comunitatea fizică ca variind de la „indiferență” la „extravaganță sălbatică”. Fizicianul în fizica particulelor Henry Stapp de la Lawrence Berkeley, a declarat: „Teorema lui Bell este cea mai profundă descoperire a științei”.

Teorema lui Bell exclude variabilele ascunse locale ca o explicație viabilă a mecanicii cuantice (deși ea lasă încă ușa deschisă pentru variabile ascunse non-locale, cum ar fi teoria De Broglie-Bohm etc.). Bell a concluzionat:

”Într-o teorie în care se adaugă parametri mecanicii cuantice pentru a determina rezultatele măsurătorilor individuale, fără a schimba predicțiile statistice, trebuie să existe un mecanism prin care setarea unui dispozitiv de măsurare poate influența citirea unui alt instrument, oricât de îndepărtat. În plus, semnalul implicat trebuie propagat instantaneu, astfel încât o astfel de teorie să nu poată fi invariabilă Lorentz.”

Bell a rezumat una dintre cele mai puțin cunoscute metode de a aborda teorema, superdeterminismul, într-un interviu BBC Radio din 1985:

”Există o modalitate de a scăpa de inferența vitezei super-luminice și a acțiunii infricoșătoare la distanță. Dar implică determinism absolut în univers, absența completă a voinței libere. Să presupunem că lumea este super-deterministă, nu doar cu o natură neînsuflețită care rulează în ceasornicul din spatele scenei, ci și cu comportamentul nostru, inclusiv convingerea că suntem liberi să alegem să facem un experiment mai degrabă decât altul, absolut predeterminat, inclusiv decizia „experimentatorului de a efectua un set de măsurători mai degrabă decât un altul, dificultatea dispare. Nu este nevoie de un semnal mai rapid decât lumina pentru a spune particulei A ce măsurare a fost efectuată asupra particulei B, deoarece universul, inclusiv particula A, deja „știe” ce va fi măsurarea și rezultatul acesteia.„

(Exemplu de inegalitate simplă de tip Bell și violarea sa în mecanica cuantică. Sus: presupunând orice distribuție a probabilităților între cele 8 posibilități pentru valori ale celor trei variabile binare ABC, vom obține întotdeauna inegalitatea de mai sus. Jos: exemplul încălcării ei folosind regula Born cuantică: probabilitatea este pătratul normalizat al amplitudinii. )

Fundal istoric

La începutul anilor 1930, implicațiile filosofice ale interpretărilor curente ale teoriei cuantice au tulburat mulți fizicieni proeminenți ai zilei, inclusiv pe Albert Einstein. Într-o bine cunoscută lucrare din 1935, Boris Podolski și coautorii Einstein și Nathan Rosen (nume colectiv „EPR”) au încercat să demonstreze prin paradoxul EPR că mecanica cuantică era incompletă. Aceasta a oferit speranța că o teorie mai completă (și mai puțin deranjantă) ar putea fi descoperită într-o zi. Dar această concluzie s-a bazat pe presupunerile aparent rezonabile ale localității și ale realismului (denumite împreună „realismul local” sau „variabilele ascunse locale”, adesea interschimbabile). În vernacularul lui Einstein: localitatea a însemnat nicio acțiune instantanee („infricoșătoare”) la distanță; realismul înseamnă că luna este acolo chiar și atunci când nu este observată. Aceste ipoteze au fost dezbătute în comunitatea fizică, în special între Einstein și Niels Bohr.

În lucrarea sa revoluționară din 1964, „Despre paradoxul Einstein Podolsky Rosen”, fizicianul John Stewart Bell a prezentat o analogie (pe baza măsurătorilor de spin pe perechi de electroni inseparați) la paradoxul ipotetic al EPR. Folosind raționamentul lor, a spus el, o alegere de stabilire a măsurătorilor nu ar trebui să afecteze rezultatul unei măsurări acolo (și invers). După ce a oferit o formulare matematică a localității și a realismului bazat pe aceasta, el a arătat cazuri specifice în care acest lucru ar fi incompatibil cu predicțiile teoriei mecanicii cuantice.

În testele experimentale urmând exemplul lui Bell, acum folosind inseparabilitatea cuantică a fotonilor în loc de electroni, John Clauser și Stuart Freedman (1972) și Alain Aspect et al. (1981) a demonstrat că predicțiile mecanicii cuantice sunt corecte în această privință, deși se bazează pe ipoteze suplimentare neconfirmabile care deschid lacune pentru realismul local.

În octombrie 2015, Hensen și colegii lui au raportat că au efectuat un test Bell fără fantă, care ar putea forța pe cineva să respingă cel puțin unul dintre principiile localității, realismul, sau libertatea de a alege (ultima ar putea duce la teoriile superdeterministe alternative). Două dintre aceste posibilități logice, non-localitate și non-realism, corespund interpretărilor bine dezvoltate ale mecanicii cuantice și au mulți suporteri; acest lucru nu este cazul pentru a treia posibilitate logică, non-libertate. Dovezile experimentale concludente ale încălcării inegalității lui Bell ar reduce drastic clasa teoriilor deterministe acceptabile, dar nu ar falsifica determinismul absolut, care a fost descris de Bell însuși ca fiind „nu doar o natură neînsuflețită care se desfășoară în spatele ceasurilor, ci și cu comportamentul nostru , inclusiv convingerea noastră că suntem liberi să alegem să facem un experiment mai degrabă decât altul, absolut predeterminat”. Cu toate acestea, Bell însuși considera determinismul absolut o soluție inutilă.

Prezentare generală

Teorema Bell spune că nicio teorie fizică care încorporează realismul local nu poate reproduce toate predicțiile teoriei mecanice cuantice. Deoarece numeroase experimente sunt de acord cu predicțiile teoriei mecanice cuantice și arată diferențe între corelații care nu au putut fi explicate de variabilele ascunse locale, rezultatele experimentale au fost luate de mulți ca refuzând conceptul de realism local ca o explicație a fenomenelor fizice aflate sub test. Pentru o teorie a variabilelor ascunse, dacă condițiile lui Bell sunt corecte, rezultatele care sunt de acord cu teoria mecanică cuantică par să indice efectele superlumuminice (mai rapide decât lumina), în contradicție cu principiul localității.

Aceste trei concepte cheie – localitate, realism, libertate – sunt extrem de tehnice și sunt mult dezbătute. În special, conceptul de realism este acum oarecum diferit de ceea ce a fost în discuțiile din anii 1930. Este mai precis numit certitudine contrafactuală; înseamnă că ne putem gândi la rezultatele măsurătorilor care nu au fost efectiv realizate ca fiind la fel de mult ca parte a realității ca cele care au fost făcute. Localitatea este prescurtarea pentru cauzalitatea locală relativistă. (Teoriile câmpului cuantic acceptate în prezent sunt locale în terminologia formalismului Lagrangian și a abordării axiomatice.) Libertatea se referă la posibilitatea fizică de determinare a setărilor dispozitivelor de măsurare independent de starea internă a sistemului fizic măsurat.

(Ilustrația testului Bell pentru particule de spin-jumătate, cum ar fi electronii. O sursă produce o pereche singlet, o particulă este trimisă într-o singură locație, iar cealaltă este trimisă într-o altă locație. O măsurare a proprietății inseparate se efectuează la diferite unghiuri la fiecare locație. Schema pentru măsurarea pe fotoni pare foarte asemănătoare: starea cuantică este diferită, dar are proprietăți foarte asemănătoare. )

Teorema este de obicei demonstrată prin luarea în considerare a unui sistem cuantic de doi qubiți inseparați. Cele mai frecvente exemple se referă la sisteme de particule care sunt inseparate în spin sau polarizare. Mecanica cuantică permite predicții ale corelațiilor care ar fi observate dacă aceste două particule au spin sau polarizare măsurate în direcții diferite. Bell a arătat că, dacă există o teorie a variabilelor ascunse locale, atunci aceste corelații ar trebui să satisfacă anumite constrângeri, numite inegalități Bell. Cu toate acestea, pentru corelațiile cuantice care apar în exemplul specific luat în considerare, aceste constrângeri nu sunt satisfăcute, prin urmare fenomenul studiat nu poate fi explicat de o teorie locală a variabilelor ascunse.

Urmărind argumentul din paradoxul Einstein-Podolsky-Rosen (EPR) (dar folosind exemplul de spin, ca în versiunea lui Bohm despre argumentul EPR), Bell a considerat un experiment în care există „o pereche de particule cu jumătate-spin formate într-un fel într-o stare de spin singlet și care se mișcă liber în direcții opuse.” Cele două particule se deplasează una față de cealaltă în două locații depărtate între ele, la care sunt efectuate măsurători ale spinului de-a lungul axelor care sunt alese în mod independent. Fiecare măsurătoare dă un rezultat fie spin-up (+) fie spin-down (-); înseamnă, spin în direcția pozitivă sau negativă a axei alese.

Probabilitatea obținerii aceluiași rezultat în cele două locații depinde de unghiurile relative la care sunt realizate cele două măsurători de spin și este strict între zero și unu pentru toate unghiurile relative, altele decât alinierea perfect paralelă sau antiparalelă (0° sau 180°). Deoarece momentul unghiular total este conservat și deoarece rotația totală este zero în starea singlet, probabilitatea aceluiași rezultat cu alinierea paralelă (antiparallel) este 0 (1). Această ultimă predicție este adevărată clasic, precum și în mecanica cuantică.

Teorema Bell este preocupată de corelațiile definite în termeni de medii luate în foarte multe încercări ale experimentului. Corelația a două variabile binare este definită de obicei în fizica cuantică ca medie a produselor perechilor de măsurători. Rețineți că acest lucru este diferit de definiția obișnuită a corelației în statistici. ”Corelația” fizicianului cuantic este „produsul brut (necentrat, neormalizat)” al statisticianului. Ele sunt similare în sensul că, cu fiecare definiție, dacă perechile de rezultate sunt întotdeauna aceleași, corelația este +1; dacă perechile de rezultate sunt întotdeauna opuse, corelația este -1; și dacă perechile de rezultate sunt de acord în 50% din timp, atunci corelația este 0. Corelația este legată într-un mod simplu de probabilitatea rezultatelor egale, și anume este egală cu dublul probabilității rezultatelor egale, minus unu.

Măsurând spinul acestor particule inseparate de-a lungul direcțiilor anti-paralele – adică, de-a lungul aceleiași axe, dar în direcții opuse, setul tuturor rezultatelor este perfect corelat. Pe de altă parte, dacă măsurătorile sunt efectuate pe direcții paralele, acestea dau întotdeauna rezultate opuse, iar setul de măsurători arată o anti-corelare perfectă. Acest lucru este în concordanță cu probabilitățile menționate anterior de măsurare a aceluiași rezultat în aceste două cazuri. În cele din urmă, măsurarea în direcții perpendiculare are o șansă de 50% de potrivire, iar setul total de măsurători este necorelat. Aceste cazuri de bază sunt ilustrate în tabelul de mai jos. Coloanele ar trebui citite ca exemple de perechi de valori care ar putea fi înregistrate de Alice și Bob cu o creștere a timpului spre dreapta.

• Anti-paralel >>> Perechi (1 >>> 2 >>> 3 >>> 4 >>> … >>> n) >>>
• Alice, 0° >>> + >>> − >>> + >>> + >>> … >>> − >>>
• Bob, 180° >>> + >>> − >>> + >>> + >>> … >>> − >>>
• Corelare >>> ( +1 >>> +1 >>> +1 >>> +1 >>> … >>> +1 ) >>> / n = +1
•  >>>  >>>  >>>  >>>  >>>  >>>  >>> (100% identical)
• Paralel >>> 1 >>> 2 >>> 3 >>> 4 >>> … >>> n >>>
• Alice, 0° >>> + >>> − >>> − >>> + >>> … >>> + >>>
• Bob, 0° sau 360° >>> − >>> + >>> + >>> − >>> … >>> − >>>
• Corelare >>> ( −1 >>> −1 >>> −1 >>> −1 >>> … >>> −1 ) >>> / n = −1
•  >>>  >>>  >>>  >>>  >>>  >>>  >>> (100% opposite)
• Ortogonal >>> 1 >>> 2 >>> 3 >>> 4 >>> … >>> n  >>>
• Alice, 0° >>> + >>> − >>> + >>> − >>> … >>> − >>>
• Bob, 90° sa 270° >>> − >>> − >>> + >>> + >>> … >>> − >>>
• Corelare >>> ( −1 >>> +1 >>> +1 >>> −1 >>> … >>> +1 ) >>> / n = 0
•  >>>  >>>  >>>  >>>  >>>  >>>  >>> (50% identical, 50% opposite)

(Cea mai bună imitație locală realistă posibilă (roșu) pentru corelarea cuantică a doi spini în stare singlet (albastru), insistând asupra unei anti-corelații perfecte la 0°, corelație perfectă la 180°. Există multe alte posibilități pentru subiectul corelației clasice la toate aceste condiții secundare, dar toate se caracterizează prin picuri ascuțite (și văi) la 0°, 180° și 360° și niciuna nu are valori extreme (± 0,5) la 45°, 135°, 225° și 315°. Aceste valori sunt marcate cu stele în grafic și sunt valorile măsurate într-un experiment tip Bell-CHSH standard: mecanica cuantică permite ±1/√2 = ±0,7071 …, realismul local prezice ±0,5 sau mai puțin. )

Cu măsurările orientate la unghiurile intermediare dintre aceste cazuri de bază, existența variabilelor ascunse locale ar putea fi în acord cu/ar fi în concordanță cu o dependență liniară a corelației în unghi, dar, conform inegalității lui Bell, nu ar fi în acord cu dependența prezisă de teoria mecanică cuantică, și anume, că corelația este cosinusul negativ al unghiului. Rezultatele experimentale se potrivesc cu curba prezisă de mecanica cuantică.

De-a lungul anilor, teorema lui Bell a suferit o mare varietate de teste experimentale. Cu toate acestea, s-au identificat diverse deficiențe comune în testarea teoremei, incluzând lacuna de detectare și lacuna de comunicare. De-a lungul anilor, experimentele au fost îmbunătățite treptat pentru a aborda mai bine aceste lacune. În 2015, a fost efectuat primul experiment pentru a aborda simultan toate lacunele.

Până în prezent, teorema lui Bell este în general considerată a fi susținută de un număr substanțial de dovezi și există puțini susținători ai variabilelor locale ascunse, deși teorema este continuu subiectul studiului, criticii și rafinamentului.

Importanţa

Teorema lui Bell, derivată în lucrarea seminală din 1964 intitulată Despre paradoxul Einstein Podolsky Rosen, a fost numită, presupunând că teoria este corectă, „cea mai profundă în știință”. Poate că la fel de important este efortul deliberat al lui Bell de a încuraja și a da legitimitate lucrului la problemele de exhaustivitate, care au căzut în desuetitudine. Mai târziu, Bell și-a exprimat speranța că o astfel de lucrare „va continua să inspire pe cei care bănuiesc că ceea ce este dovedit de dovezi ale imposibilității este lipsa imaginației”.

Titlul articolului seminal al Bellului se referă la lucrarea din 1935 a lui Einstein, Podolsky și Rosen, care contestă caracterul complet al mecanicii cuantice. În lucrarea sa, Bell a pornit de la aceleași două ipoteze ca EPR, și anume (i) realitatea (obiectele microscopice au proprietăți reale determinând rezultatele măsurărilor mecanice cuantice) și (ii) localitatea (realitatea într-o locație nu este influențată prin măsurări efectuate simultan într-o locație îndepărtată). Bell a reușit să obțină din aceste două ipoteze un rezultat important, și anume inegalitatea lui Bell. Încălcarea teoretică (și mai târziu experimentală) a acestei inegalități implică faptul că cel puțin una dintre cele două ipoteze trebuie să fie falsă.

În două privințe, lucrarea Bell din 1964 a fost un pas înainte față de lucrarea EPR: în primul rând, ea a considerat variabile mai ascunse decât elementul realității fizice în documentul EPR; iar inegalitatea lui Bell a fost, în parte, testabilă experimental, crescând astfel posibilitatea de a testa ipoteza realismului local. Deși lucrarea lui Bell se referă numai la teoriile variabile ascunse determinate, teorema lui Bell a fost generalizată mai târziu și în teoriile stochastice și s-a constatat că teorema nu se referă doar la variabilele ascunse, dar și la rezultatele măsurătorilor care ar fi putut fi luate în locul celor actuale. Existența acestor variabile se numește presupunerea realismului sau ipoteza caracterului definit al scopului contrafactual.

Conform mecanismului EPR, mecanica cuantică se află într-o poziție nesatisfăcătoare: fie era incompletă, în sensul că nu a reținut anumite elemente ale realității fizice, fie a încălcat principiul unei viteze finite de propagare a efectelor fizice. Într-o versiune modificată a experimentului de gândire EPR, doi observatori ipotetici, denumiți acum în mod obișnuit ca Alice și Bob, efectuează măsurători independente de spin pe o pereche de electroni, pregătiți la o sursă într-o stare specială numită stare de spin singlet. Concluzia EPR este că, odată ce Alice măsoară spinul într-o direcție (de exemplu, pe axa x), măsurarea lui Bob în această direcție este determinată cu certitudine, fiind rezultatul opus celui al lui Alice, în timp ce imediat înainte de măsurarea lui Alice, rezultatul lui Bob era determinat doar statistic (adică era doar o probabilitate, nu o certitudine); astfel, fie spinul în fiecare direcție este un element al realității fizice, fie efectele călătoresc de la Alice la Bob instantaneu.

În mecanica cuantică, predicțiile sunt formulate în termeni de probabilități – de exemplu, probabilitatea ca un electron să fie detectat într-un anumit loc, sau probabilitatea ca spinul să fie up sau down. Ideea a persistat, totuși, că electronul are de fapt o poziție și o mișcare precisă și că slăbiciunea mecanicii cuantice este incapacitatea ei de a prezice exact aceste valori. Posibilitatea a existat că o anumită teorie necunoscută, cum ar fi o teorie a variabilelor ascunse, ar putea să prezică exact acele cantități, în același timp fiind totodată în deplină concordanță cu probabilitățile prezise de mecanica cuantică. Dacă există o astfel de teorie a variabilelor ascunse, atunci deoarece variabilele ascunse nu sunt descrise de mecanica cuantică, aceasta din urmă ar fi o teorie incompletă.

Realismul local

Conceptul de realism local este formalizat la stare și demonstrează teorema lui Bell și generalizările. O abordare comună este următoarea:

1. Există un spațiu de probabilitate Λ și rezultatele observate atât de Alice cât și de Bob rezultă prin eșantionarea aleatorie a parametrului (necunoscut, „ascuns”) λ din Λ.
2. Valorile observate de Alice sau Bob sunt doar funcțiile setărilor detectorului local și ale parametrului ascuns. Astfel, există funcții A, B: S² × Λ → {-1, +1}, unde o setare a detectorului este modelată ca o locație în sfera unității S², astfel încât
   • Valoarea observată de Alice cu setarea detectorului a este A(a, λ)
   • Valoarea observată de Bob cu setarea detectorului b este B(b, λ)

Perfecta anti-corelație ar necesita B(c,λ) = -A(c,λ), cu c din S². Implicit în ipoteza 1) de mai sus, spațiul parametrului ascuns Λ are o măsură de probabilitate μ și așteptarea unei variabile aleatoare X pe Λ în raport cu μ este scrisă

E(X) = ∫ΛX(λ)p(λ)d λ,

unde pentru accesibilitatea notației presupunem că măsura probabilității are o densitate de probabilitate p care deci este non-negativă și se integrează la 1. Parametrul ascuns este adesea gândit ca fiind asociat cu sursa, dar poate la fel de bine conține și componente asociate cu două dispozitive de măsurare.