Notația bra–ket a lui Dirac în mecanica cuantică

Notația Bra–ket, numită și notația Dirac, este o notație pentru algebră liniară și operatori liniari pe spații vectoriale complexe împreună cu spațiul lor dual atât în ​​cazul dimensional finit, cât și al celui infinit. Este concepută special pentru a ușura tipurile de calcule care apar frecvent în mecanica cuantică. Utilizarea sa în mecanica cuantică este destul de răspândită.

Notația Bra–ket a fost creată de Paul Dirac în publicația sa din 1939, A New Notation for Quantum Mechanics. Notația a fost introdusă ca o modalitate mai ușoară de a scrie expresii mecanice cuantice. Numele provine de la cuvântul englezesc „bracket” (”paranteză”).

În mecanica cuantică, notația bra-ket este folosită în mod omniprezent pentru a desemna stările cuantice. Notația folosește paranteze unghiulare, ⟨ și ⟩  și o bară verticală |, pentru a construi „bra” și „ket”.

Un ket are forma |v⟩. Din punct de vedere matematic, denotă un vector, v, într-un spațiu vectorial abstract (complex) V, iar fizic reprezintă o stare a unui sistem cuantic.

Un bra are forma ⟨f|. Din punct de vedere matematic, denotă o formă liniară f : V → C, adică o hartă liniară care mapează fiecare vector din V la un număr din planul complex C. Dacă funcționalitatea liniară ⟨f| acţionează asupra unui vector |v⟩, aceasta se scrie ca ⟨f|v⟩ ∈ C.

Să presupunem că pe V există un produs intern ( , ) cu primul argument antiliniar, ceea ce face din V un spațiu produs intern. Atunci cu acest produs intern fiecare vector ϕ ≡ |ϕ⟩ poate fi identificat cu o formă liniară corespunzătoare, prin plasarea vectorului în primul slot antiliniar al produsului interior: (ϕ, ) ≡ ⟨ϕ|. Corespondența dintre aceste notații este atunci (ϕ,ψ) ≡ ⟨ϕ|ψ⟩. Forma liniară ⟨ϕ| este un covector pentru |ϕ⟩, iar mulțimea tuturor covectorilor formează un subspațiu al spațiului vectorial dual V^∨, la spațiul vectorial inițial V. Scopul acestei forme liniare ⟨ϕ| poate fi acum înțeles în termenii realizării de proiecții asupra stării ϕ, pentru a afla cât de dependente liniar sunt două stări etc.

Pentru spațiul vectorial Cⁿ, ket poate fi identificat cu vector coloană, iar bra cu vector rând. Combinațiile de bra, ket și operatori liniari sunt interpretate folosind înmulțirea matriceală. Dacă Cⁿ are produsul intern hermitian standard (v,w) = v^†w, sub această identificare, identificarea ket-urilor și a bra-urilot și invers furnizate de produsul intern este folosirea conjugatului hermitian (notat †).

Este obișnuit să se suprime forma vectorială sau liniară din notația bra–ket și să se utilizeze doar o etichetă în interiorul scrierii pentru bra sau ket. De exemplu, operatorul de spin σ_z pe un spațiu bidimensional Δ de spinori are valori proprii ±1/2 cu spinori proprii ψ₊ , ψ₋ ∈ Δ. În notația bra–ket, acesta este de obicei notat ca ψ₊ = |+⟩ și ψ₋ = |−⟩. Ca și mai sus, ket și bra cu aceeași etichetă sunt interpretate ca ket și bra care corespund între ele folosind produsul intern. În special, atunci când sunt identificate și cu vectori rând și coloană, ket și bra cu aceeași etichetă sunt identificate cu vectori coloană și rând conjugați Hermitieni.

Notația Bra–ket a fost stabilită efectiv în 1939 de Paul Dirac; este astfel cunoscută și sub numele de notație Dirac, în ciuda notării având un precursor în utilizarea de către Hermann Grassmann a [ϕ|ψ] pentru produsele interne cu aproape 100 de ani mai devreme.

(Include texte traduse și adaptate din Wikipedia de Nicolae Sfetcu)