Ecuația Schrödinger

(Ecuația Schrödinger ca parte a unui monument în fața Centrului de noi tehnologii al Universității din Varșovia.)

În mecanica cuantică, ecuația Schrödinger este o ecuație matematică care descrie schimbările în timp ale unui sistem fizic în care efectele cuantice, cum ar fi dualitatea undă-particulă, sunt semnificative. Ecuația este o formulă matematică pentru studierea sistemelor mecanice cuantice. Este considerată un rezultat central în studiul sistemelor cuantice, iar derivarea sa a reprezentat un reper important în dezvoltarea teoriei mecanicii cuantice. A fost numită după Erwin Schrödinger, care a derivat ecuația în 1925 și a publicat rezultatele în 1926, formând baza pentru lucrarea sa care a condus la acordarea Premiului Nobel pentru Fizică în 1933. Ecuația este un tip de ecuație diferențială cunoscută sub numele de ecuație de undă, care servește ca un model matematic al mișcării undelor.

În mecanica clasică, a doua lege a lui Newton (F = ma) este folosită pentru a face o predicție matematică cu privire la ce cale va avea un sistem dat după un set de condiții inițiale cunoscute. În mecanica cuantică, legea analogică a lui Newton este ecuația lui Schrödinger pentru un sistem cuantic (de obicei atomi, molecule și particule subatomice libere, legate sau localizate). Nu este o ecuație algebrică, ci, în general, o ecuație diferențială liniară parțială, care descrie evoluția în timp a funcției de undă a sistemului (denumită și „funcție de stare”).

Conceptul de funcție de undă este un postulat fundamental al mecanicii cuantice. Folosind aceste postulate, ecuația lui Schrödinger poate fi derivată din faptul că operatorul evoluției în timp trebuie să fie unitar și trebuie, prin urmare, să fie generat de exponențiul unui operator auto-adjunct, care este hamiltonianul cuantic.

În interpretarea de la Copenhaga a mecanicii cuantice, funcția de undă este cea mai completă descriere care poate fi dată unui sistem fizic. Soluțiile pentru ecuația lui Schrödinger descriu nu numai sistemele moleculare, atomice și subatomice, ci și sistemele macroscopice, eventual chiar întregul univers. Ecuația lui Schrödinger este centrală pentru toate aplicațiile mecanicii cuantice, inclusiv teoria câmpului cuantic, care combină relativitatea specială cu mecanica cuantică. Teoriile gravitației cuantice, cum ar fi teoria corzilor, de asemenea, nu modifică ecuația lui Schrödinger.

Ecuația Schrödinger nu este singura modalitate de a studia sistemele mecanice cuantice și de a face predicții, deoarece există și alte formulări ale mecanicii cuantice, cum ar fi mecanica matriceală, introduse de Werner Heisenberg și formularea integrală a căii, dezvoltată în principal de Richard Feynman. Paul Dirac a integrat mecanica matriceală și ecuația Schrödinger într-o singură formulare.

Ecuația dependentă de timp

Forma ecuației Schrödinger depinde de situația fizică. Forma cea mai generală este ecuația Schrödinger dependentă de timp, care oferă o descriere a unui sistem care evoluează în timp.

Ecuația Schrödinger dependentă de timp (general):

unde i este unitatea imaginară, ħ este constanta Planck redusă care este: ℏ = h/2π, simbolul ∂/∂t indică un derivat parțial în raport cu timpul t, Ψ (litera greacă psi) este funcția de undă a sistemul cuantic, r și t sunt vectorul de poziție și respectiv timpul, și Ĥ este operatorul Hamiltonian (care caracterizează energia totală a sistemului luat în considerare).

(Fiecare din aceste trei rânduri este o funcție de undă care satisface ecuația Schrödinger dependentă de timp pentru un oscilator armonic. Stânga: Partea reală (albastră) și partea imaginară (roșu) a funcției de undă Drepata: Distribuția probabilității de a găsi particulă cu această funcție de undă la o anumită poziție Cele două rânduri de sus sunt exemple de stări staționare, care corespund undelor staționare.Rândul de jos este un exemplu de stare care nu este o stare staționară. Coloanele din dreapta ilustrează de ce stările staționare sunt numite „staționare”. )

Cel mai faimos exemplu este ecuația nerelativistă Schrödinger pentru o singură particulă care se mișcă într-un câmp electric (dar nu un câmp magnetic, vezi ecuația Pauli):

Ecuația Schrödinger dependentă de timp în funcție de poziție (particula unrelativistă unică):

unde μ este masa redusă a particulei, V este energia sa potențială, ∇² este Laplacianul (un operator diferențial) și Ψ este funcția de undă (mai precis, în acest context se numește ” funcţie”). În limbaj simplu, înseamnă că „energia totală este egală cu energia cinetică plus energia potențială”, dar termenii iau formele nefamiliare din motive explicate mai jos.

Datorită operatorilor diferențiali specifici implicați, aceasta este o ecuație diferențială liniară parțială. Este, de asemenea, o ecuație de difuzie, dar spre deosebire de ecuația căldurii, aceasta este de asemenea o ecuație de undă, dată de unitatea imaginară prezentă în termenul tranzitoriu.

Termenul „ecuația lui Schrödinger” se poate referi atât la ecuația generală, cât și la versiunea nonrelativistică specifică. Ecuația generală este într-adevăr destul de generală, utilizată în întreaga mecanică cuantică, pentru tot ceea ce se întâmplă, de la ecuația Dirac la teoria câmpului cuantic, prin conectarea unor expresii diferite pentru hamiltonian. Versiunea specifică nerelativistă este o aproximare strict clasică față de realitate și oferă rezultate precise în multe situații, dar numai într-o anumită măsură.

Pentru a aplica ecuația Schrödinger, operatorul hamiltonian este configurat pentru sistem, reprezentând energia cinetică și potențială a particulelor care constituie sistemul, apoi introdus în ecuația Schrödinger. Ecuația diferențială parțială rezultată este rezolvată pentru funcția de undă, care conține informații despre sistem.

Ecuația independentă de timp

Ecuația Schrödinger dependentă de timp descrisă mai sus prezice că funcțiile de undă pot forma unde staționare, numite stări staționare (numite și „orbitali”, ca în orbitalii atomici sau orbitalii moleculari). Aceste stări sunt deosebit de importante, deoarece studiul lor individual simplifică ulterior sarcina de a rezolva ecuația Schrödinger dependentă de timp pentru orice stare. Stările staționare pot fi, de asemenea, descrise printr-o formă mai simplă a ecuației Schrödinger, ecuația Schrödinger independentă de timp.

Ecuația Schrödinger independentă de timp (general)

unde E este o constantă egală cu energia totală a sistemului. Acest lucru este folosit numai atunci când hamiltonianul în sine nu depinde în mod explicit de timp. Cu toate acestea, chiar și în acest caz, funcția totală de undă are încă o dependență de timp.

În cuvinte:

Atunci când operatorul hamiltonian acționează asupra unei anumite funcții de undă Ψ, iar rezultatul este proporțional cu aceeași funcție a undelor Ψ, atunci Ψ este o stare staționară, iar constanta de proporționalitate, E, este energia stării Ψ.

În terminologia algebrei liniare, această ecuație este o ecuație a stărilor și valorilor proprii (eigenvalue) și în acest sens funcția de undă este o funcție a stărilor și valorilor proprii a operatorului hamiltonian.

Ca și mai înainte, cea mai comună manifestare este ecuația nerelativistă Schrödinger pentru o singură particulă care se mișcă într-un câmp electric (dar nu un câmp magnetic):

Ecuația Schrödinger independentă de timp (particula nerelativistă unică)

cu definițiile de mai sus.

Interpretarea funcției de undă

Ecuația Schrödinger oferă o modalitate de a calcula funcția de undă a unui sistem și modul în care acesta se schimbă dinamic în timp. Cu toate acestea, ecuația Schrödinger nu spune direct care este exact funcția de undă. Interpretările mecanicii cuantice adresează întrebări cum ar fi relația dintre funcția de undă, realitatea de bază și rezultatele măsurătorilor experimentale.

Un aspect important este relația dintre ecuația Schrödinger și colapsul funcției de undă. În cea mai veche interpretare de la Copenhaga, particulele urmează ecuația lui Schrödinger, cu excepția colapsului funcției de undă, unde se comportă cu totul altfel. Apariția teoriei decoerenței cuantice a permis abordări alternative (cum ar fi interpretarea multor lumi a lui Everett și istoriile consistente), în care ecuația Schrödinger este întotdeauna satisfăcută și colapsul funcției de undă trebuie explicat ca o consecință a ecuației Schrödinger.

Ecuația de undă pentru particule

Ecuația Schrödinger este o ecuație de difuzie, soluțiile fiind funcții care descriu mișcări asemănătoare undelor. Ecuațiile de undă în fizică pot fi în mod normal derivate din alte legi fizice – ecuația de undă pentru vibrațiile mecanice pe corzi și în materiale poate fi derivată din legile lui Newton, unde funcția de undă reprezintă deplasarea materiei, și undele electromagnetice din ecuațiile lui Maxwell, unde funcțiile de undă sunt câmpuri electrice și magnetice. Baza ecuației lui Schrödinger, pe de altă parte, este energia sistemului și un postulat separat al mecanicii cuantice: funcția de undă este o descriere a sistemului. Ecuația Schrödinger este, prin urmare, un concept nou în sine; după cum a spus Feynman:

„De unde am obținut (ecuația) asta? De nicăieri. Nu este posibil să se deducă din ceea ce știi. A ieșit din mintea lui Schrödinger.“
– Richard Feynman

Fundația ecuației este structurată astfel încât să fie o ecuație diferențială liniară bazată pe conservarea clasică a energiei și în concordanță cu relațiile De Broglie. Soluția este funcția de undă ψ, care conține toate informațiile despre sistem. În interpretarea de la Copenhaga, modulul lui ψ este legat de probabilitatea ca particulele să fie într-o anumită configurație spațială la un moment dat. Rezolvarea ecuației pentru ψ poate fi utilizată pentru a prezice modul în care particulele se vor comporta sub influența potențialului specificat și cu fiecare dintre ele.

Ecuația Schrödinger a fost dezvoltată în principal din ipoteza lui De Broglie, o ecuație de undă care descrie particule.