Un vector poate fi înmulțit cu un alt vector, dar nu poate fi împărțit la un alt vector. Există două tipuri de produse de vectori utilizate pe scară largă în fizică și inginerie. Un tip de înmulțire este o înmulțire scalară a doi vectori. Produsul scalar a doi vectori are ca rezultat un număr (un scalar), așa cum indică și numele său. Produsele scalare sunt utilizate pentru a defini relațiile de lucru mecanic și energie. De exemplu, lucrul mecanic pe care o forță (un vector) îl efectuează asupra unui obiect în timp ce îi provoacă deplasarea (un vector) este definit ca un produs scalar al vectorului forță cu vectorul de deplasare. Un tip destul de diferit de înmulțire este înmulțirea vectorială a vectorilor. Produsul vectorial a doi vectori are ca rezultat un vector, așa cum sugerează și numele său. Produsele vectoriale sunt utilizate pentru a defini alte mărimi vectoriale derivate. De exemplu, în descrierea rotațiilor, o mărime vectorială numită cuplu este definită ca un produs vectorial al unei forțe aplicate (un vector) și distanța sa de la pivot la forță (un vector). Este important să se facă distincția între aceste două tipuri de înmulțiri vectoriale, deoarece produsul scalar este o mărime scalară, iar un produs vectorial este o mărime vectorială.
Produsul scalar a doi vectori
Înmulțirea scalară a doi vectori are ca rezultat un produs scalar.
| PRODUS SCALAR
Produsul scalar 𝐀→ · 𝐁→ a doi vectori 𝐀→ și 𝐁→ este un număr definit de ecuația 𝐀→ · 𝐁→ = 𝐴𝐵cos𝜑, (2.27) unde 𝜑 este unghiul dintre vectori (prezentat în Figura 2.27). Produsul scalar este indicat prin o notație punctuală. |
În definiția produsului scalar, direcția unghiului 𝜑 nu contează, iar 𝜑 poate fi măsurat de la oricare dintre cei doi vectori la celălalt deoarece cos𝜑 = cos(−𝜑) = cos(2𝜋−𝜑). Produsul scalar este un număr negativ când 90° < 𝜑 ≤ 180° și este un număr pozitiv când 0° ≤ 𝜑 < 90°. Mai mult, produsul scalar a doi vectori paraleli este 𝐀→ · 𝐁→ = 𝐴𝐵cos0° = 𝐴𝐵, iar produsul scalar a doi vectori antiparaleli este 𝐀→ · 𝐁→ = 𝐴𝐵cos180° = −𝐴𝐵. Produsul scalar a doi vectori ortogonali se anulează: 𝐀→ · 𝐁→ = 𝐴𝐵cos90° = 0. Produsul scalar al unui vector cu sine însuși este pătratul magnitudinii sale:
𝐀→2 ≡ 𝐀→ · 𝐀→ = 𝐴𝐴cos0° =𝐴2. (2.28)
Figura 2.27 Produsul scalar a doi vectori. (a) Unghiul dintre cei doi vectori. (b) Proiecția ortogonală 𝐴ǁ‖ a vectorului 𝐀→ pe direcția vectorului 𝐁→. (c) Proiecția ortogonală 𝐵ǁ‖ a vectorului 𝐁→ pe direcția vectorului 𝐀→.
| EXEMPLUL 2.15
Produsul scalar Pentru vectorii prezentați în Figura 2.13, găsiți produsul scalar 𝐀→ · 𝐅→. Strategie
Figura 2.13 Vectori. Din Figura 2.13, magnitudinile vectorilor 𝐀→ și 𝐅→ sunt A = 10,0 și F = 20,0. Unghiul 𝜃, dintre ele, este diferența: 𝜃 = 𝜑 – 𝛼 = 110° − 35° = 75°. Înlocuirea acestor valori în Ecuația 2.27 dă produsul scalar. Soluție Un calcul simplu ne dă 𝐀→ · 𝐅→ = 𝐴𝐹cos𝜃 = (10,0)(20,0)cos75° = 51,76. |
| EXERCIȚIUL 2.11
Pentru vectorii dați în Figura 2.13, găsiți produsele scalare 𝐀→ · 𝐁→ și 𝐅→ · 𝐂→. |
Sursa: Physics, University Physics (OpenStax), gratuit sub licență CC BY 4.0. Traducere și adaptare de Nicolae Sfetcu. © 2026 MultiMedia Publishing, Fizica, Volumul 1
Introducere în tehnologiile cuantice – Calculul cuantic, criptografia cuantică, filosofia tehnologiilor cuantice
Un ghid clar și riguros despre calcul cuantic, criptografie cuantică (QKD/BB84) și implicații etice.
Teoria relativității – Relativitatea specială și relativitatea generală
O lucrare fundamentală, destinată tuturor celor pasionați de fizică, știință și filosofia universului.
Isaac Newton despre acțiunea la distanță în gravitație – Cu sau fără Dumnezeu?
Intră într-o călătorie a descoperirii intelectuale care îmbină istoria științei cu teologia și filozofia!
Descoperă mai multe la MultiMedia
Abonează-te ca să primești ultimele articole prin email.
Lasă un răspuns