Algebra vectorială – Exemple și exerciții

Algebra vectorială

Aflați mărimea vectorului C⃗ care satisface ecuația 2A⃗ − 6B⃗ + 3C⃗ = 2jˆ, unde A⃗ = iˆ − 2kˆ și B⃗ = −jˆ + kˆ/2.

Strategie

Mai întâi rezolvăm ecuația dată pentru vectorul necunoscut C⃗ . Apoi înlocuim A⃗ și B⃗; grupați termenii de-a lungul fiecăreia dintre cele trei direcții iˆ, jˆ și kˆ; și identificați componentele scalare C_x, C_y și C_z. În cele din urmă, înlocuim în ecuația 2.21 pentru a găsi magnitudinea C.

Soluție

2A⃗ − 6B⃗ + 3C⃗ = 2jˆ

3C⃗ = 2jˆ − 2A⃗ + 6B⃗

C⃗ = 23jˆ − 2/3 A⃗ + 2B⃗ = 2/3 jˆ − 23(iˆ − 2kˆ) + 2(−jˆ + kˆ/2) = 2/3 jˆ − 2/3 iˆ + 4/3 kˆ − 2jˆ + kˆ = −2/3 iˆ + (2/3 − 2)jˆ + (4/3 + 1)kˆ = −2/3 iˆ − 4/3 jˆ + 7/3 kˆ.

Componentele sunt C_x = −2/3, C_y = −4/3 și C_z = 7/3, iar înlocuirea în ecuația 2.21 dă

C = √(C²_x + C²_y + C²_z) = √((−2/3) ² + (−4/3) ² + (7/3) ²) = √(23/3).

Deplasarea unui schior

Pornind de la o cabană de schi, un schior de fond merge 5,0 km nord, apoi 3,0 km vest și în final 4,0 km sud-vest înainte de a se odihni. Găsiți vectorul deplasării lui totale în raport cu cabana atunci când este în punctul de repaus. Cât de departe și în ce direcție trebuie să schieze de la punctul de repaus pentru a se întoarce direct la cabană?

Strategie

Presupunem un sistem de coordonate dreptunghiular cu originea la cabana de schi și cu vectorul unitar iˆ îndreptat spre est și vectorul unitar jˆ îndreptat spre nord. Există trei deplasări: D⃗₁, D⃗₂ și D⃗₃. Le identificăm magnitudini ca D₁ = 5,0 km, D₂ = 3,0 km și D₃ = 4,0 km. Identificăm direcțiile lor sunt unghiurile θ₁ = 90°, θ₂ = 180° și θ₃ = 180° + 45° = 225°. Rezolvăm fiecare vector de deplasare la componentele sale scalare și înlocuim componentele în ecuația 2.25 pentru a obține componentele scalare ale deplasării rezultate D⃗ de la cabană la punctul de repaus. Pe drumul de întoarcere de la punctul de repaus la cabană, deplasarea este B⃗ = −D⃗ . În cele din urmă, găsim mărimea și direcția lui B⃗ .

Soluție

Componentele scalare ale vectorilor de deplasare sunt

D_1x = D₁cosθ₁ = (5,0 km)cos90° = 0

D_1y = D₁sinθ₁ = (5,0 km)sin90° = 5,0 km

D_2x = D₂cosθ₂ = (3,0 km)cos180°= −3,0 km

D_2y = D₂sinθ₂ = (3,0 km)sin180° = 0

D_3x = D₃cosθ₃ = (4,0 km)cos225° = −2,8 km

D_3y = D₃sinθ₃ = (4,0 km)sin225° = −2,8 km.

Componentele scalare ale vectorului deplasare netă sunt

D_x = D_1x + D_2x + D_3x = (0 − 3,0 − 2,8) km = −5,8 km

D_y = D_1y + D_2y + D_3y = (5,0 + 0 − 2,8) km = +2,2km.

Prin urmare, vectorul deplasării nete a schiorului este D⃗ = D_xiˆ + D_yjˆ = (−5.8iˆ + 2,2jˆ) km. Pe drumul de întoarcere la cabană, deplasarea lor este B⃗ = −D⃗ = −(−5,8iˆ + 2,2jˆ) km = (5,8iˆ − 2,2jˆ) km. Mărimea sa este B = √(B²_x + B²_y) = √((5,8)² + (−2,2)² km = 6,2 km iar unghiul său de direcție este θ = tan⁻¹(−2,2/5,8) = −20,8°. Prin urmare, pentru a se întoarce la cabană, trebuie să meargă 6,2 km într-o direcție de aproximativ 21° sud-est.

Semnificație

Observați că nu este necesară nicio figură pentru a rezolva această problemă prin metoda analitică. Figurile sunt necesare atunci când se utilizează o metodă grafică; cu toate acestea, putem verifica dacă soluția noastră are sens prin schițarea acesteia, ceea ce este un pas final util în rezolvarea oricărei probleme vectoriale.

Deplasarea unui alergător

Un alergător urcă în fugă o scară de 200 de trepte identice până la vârful unui deal și apoi aleargă de-a lungul vârfului dealului cu 50,0 m înainte de a se opri la o fântână de băut (Figura 2.26). Vectorul său de deplasare de la punctul A din partea de jos a treptelor până la punctul B de la fântână este D⃗_AB = (−90.0iˆ + 30.0jˆ) m. Care este înălțimea și lățimea fiecărei trepte din scară? Care este distanța reală pe care o parcurge alergătorul? Dacă face o buclă și revine la punctul A, care este vectorul său de deplasare netă?

Figura 2.26 Un alergător urcă în fugă o scară.

Strategie

Vectorul de deplasare D⃗_AB este suma vectorială a vectorului de deplasare al alergătorului D⃗_AT de-a lungul scărilor (de la punctul A din partea de jos a scărilor până la punctul T din partea de sus a scărilor) și vectorul său de deplasare D⃗_TB în partea de sus a scărilor. deal (de la punctul T din vârful scărilor până la fântâna din punctul B). Trebuie să găsim componentele orizontale și verticale ale lui D⃗_AT. Dacă fiecare treaptă are lățimea w și înălțimea h, componenta orizontală a lui D⃗_AT trebuie să aibă lungimea de 200w, iar componenta verticală trebuie să aibă lungimea de 200h. Distanța reală pe care o parcurge alergătorul este suma distanței pe care o parcurge pe scări și distanța de 50,0 m pe care o parcurge de-a lungul vârfului dealului.

Soluție

În sistemul de coordonate indicat în figura 2.26, vectorul deplasării alergătorului pe vârful dealului este D⃗_TB = (−50,0 m)iˆ. Vectorul său de deplasare netă este

D⃗_AB = D⃗_AT + D⃗_TB.

Prin urmare, vectorul său de deplasare D⃗_AT de-a lungul scărilor este

D⃗_AT = D⃗_AB − D⃗_TB = (−90,0iˆ + 30,0jˆ) m − (−50,0 m)iˆ = [(−90,0 + 50,0)iˆ + 30,0jˆ] m = (−40,0iˆ + 30,0jˆ) m.

Componentele sale scalare sunt D_ATx = −40,0 m și D_ATy = 30,0 m. Prin urmare, trebuie să avem

200w = |−40,0|m și 200h = 30,0m.

Prin urmare, lățimea treptei este w = 40,0 m/200 = 0,2 m = 20 cm, iar înălțimea treptei este h = 30,0 m/200 = 0,15 m = 15 cm. Distanța pe care o parcurge alergătorul de-a lungul scărilor este

D_AT = √(D²_ATx + D²_ATy) = √((−40,0)² + (30,0)²) m = 50,0 m.

Astfel, distanța reală pe care o parcurge este D_AT + D_TB = 50,0 m + 50,0 m = 100,0 m. Când face o buclă și se întoarce de la fântână la poziția sa inițială în punctul A, distanța totală pe care o parcurge este de două ori această distanță, sau 200,0 m. Totuși, vectorul său de deplasare netă este zero, deoarece atunci când poziția sa finală este aceeași cu poziția inițială, componentele scalare ale vectorului său de deplasare netă sunt zero (Ecuația 2.13).

Vectorul unitar al direcției

Dacă vectorul viteză al convoiului militar din Exemplul 2.8 este v⃗ = (4,000iˆ + 3,000jˆ + 0,100kˆ) km/h, care este vectorul unitar al direcției sale de mișcare?

Strategie

Vectorul unitar al direcției de mișcare a convoiului este vectorul unitar vˆ care este paralel cu vectorul viteză. Vectorul unitar se obține prin împărțirea unui vector la mărimea sa, în conformitate cu ecuația 2.26.

Soluție

Mărimea vectorului v⃗ este

v = √(v²_x + v²_y + v²_z) = √(4,000² + 3,000² + 0,100²) km/h = 5,001 km/h.

Pentru a obține vectorul unitar vˆ, împărțiți v⃗ la mărimea sa:

vˆ = v⃗/v = (4,000iˆ + 3,000jˆ + 0,100kˆ) km/h/5,001 km/h = (4,000iˆ + 3,000jˆ + 0,100kˆ)/5,001 = 4,000/5,001 iˆ + 3,000/5,001 jˆ + 0,100/5,001 kˆ = (79,98iˆ + 59,99jˆ + 2,00kˆ) × 10⁻².

Semnificație

Rețineți că, atunci când utilizați metoda analitică cu un calculator, este recomandabil să efectuați calculele cu cel puțin trei zecimale și apoi să rotunjiți răspunsul final la numărul necesar de cifre semnificative, acesta este modul în care am efectuat calculele în acest exemplu . Dacă rotunjiți răspunsul parțial prea devreme, riscați ca răspunsul final să aibă o eroare numerică uriașă și poate fi departe de răspunsul exact sau de o valoare măsurată într-un experiment.

Verificați că vectorul vˆ obținut în Exemplul 2.14 este într-adevăr un vector unitar prin calculul mărimii sale. Dacă convoiul din Exemplul 2.8 se deplasa printr-o zonă plată deșertică – adică dacă a treia componentă a vitezei sale era zero – care este vectorul unitar al direcției sale de mișcare? Ce direcție geografică reprezintă?