Un argument puternic inductiv este unul în care adevărul premiselor face concluzia extrem de probabilă. Distincția dintre argumentele inductive puternice și argumentele valide (deductive) este că, în timp ce premisele argumentelor inductive puternice fac concluziile extrem de probabile, premisele argumentelor valide fac concluziile lor certe. Ne putem gândi la probabilitate ca la cât de probabil este că ceva este (sau va fi) adevărat, având în vedere un anumit corp de dovezi. Folosind numere între 0 și 1, putem exprima probabilitățile numeric. De exemplu, dacă am un pachet complet de cărți de joc și aleg una la întâmplare, care este probabilitatea ca respectiva carte pe care o aleg să fie o damă? Deoarece există 52 de cărți de joc în pachet și doar patru dintre ele sunt dame, probabilitatea de a alege o damă este de 4/52 sau 0,077. Adică, am aproximativ 7,7% șanse să aleg o damă la întâmplare. În comparație, șansele mele de a alege orice carte „cu figură” ar fi mult mai mari. Există trei cărți cu figuri în fiecare pachet și patru culori diferite, ceea ce înseamnă că există 12 cărți cu figuri în total. Deci, 12/52 = .23 sau 23%. În orice caz, important este că probabilitățile pot fi exprimate numeric. Utilizând o schemă numerică pentru a reprezenta probabilitățile, luăm 0 pentru a reprezenta un eveniment imposibil (cum ar fi o contradicție) și 1 pentru a reprezenta un eveniment cert (cum ar fi o tautologie).
Probabilitatea este important să fie înțeleasă, deoarece oferă baza metodelor formale de evaluare a argumentelor inductive. Deși nu există o metodă convenită universal de evaluare a argumentelor inductive în modul în care există pentru argumentele deductive, există câteva legi de bază ale probabilității pe care este important să le avem în vedere. Deși aceste legi ale probabilității sunt aparent simple, le aplicăm greșit tot timpul.
Ne putem gândi la regulile probabilității în termenii unora dintre operatorii funcționali ai adevărului: probabilitatea conjuncțiilor, probabilitatea negațiilor și probabilitatea disjuncțiilor. Probabilitatea conjuncțiilor este probabilitatea ca ambele evenimente independente să apară. De exemplu, care este probabilitatea ca tu să extragi la întâmplare o damă și apoi (după ce o întorci în pachet și ai amestecat cărțile de joc) să tragi o altă damă? Întrucât ne întrebăm care este probabilitatea ca aceste două evenimente să apară ambele, aceasta este o chestiune de calcul al probabilității unei apariții comune. În cele ce urmează, „a” și „b” se vor referi la evenimente independente, iar locuțiunea „P(a)” înseamnă „probabilitatea unui a”. Iată cum calculăm probabilitatea conjuncțiilor:
P(a și b) = P(a) × P(b)
Deci, pentru a aplica această formulă exemplului meu de extragere a două dame, trebuie să înmulțim probabilitatea de a atrage o damă, „P(a)” cu probabilitatea de a atrage încă o damă, „P(b)”. Deoarece am calculat deja probabilitatea de a extrage o damă la 0,077, matematica este destul de simplă:
0,077 × 0,077 = 0,0059
Adică, există o șansă de mai puțin de 1% (mai precis, 0,59%) de a extrage două dame în acest scenariu. Deci, evident, nu ați fi înțelept să pariați pe acest lucru! Să încercăm un alt exemplu în care trebuie să calculăm probabilitatea unei conjuncții. Să presupunem că vreau să știu care este probabilitatea ca atât tatăl unei persoane cât și mama sa să moară de cancer la creier. (Macabru, știu.) Ar trebui să știu probabilitatea de a muri de cancer cerebral, care este de aproximativ 5/100.000. Adică, 5 din 100.000 de oameni mor de cancer la creier. Acesta este un număr foarte mic: 0,00005. Dar șansa ca ambii să moară de cancer la creier va fi un număr și mai mic:
0,00005 × 0,00005 = 0,0000000025
Aceasta este aproape o șansă dintr-un miliard. Deci nu foarte probabil. Să luăm în considerare un ultim exemplu cu numere mai ușor de gestionat. Să presupunem că am vrut să știu probabilitatea de a obține un 12 atunci când arunci două zaruri de șase fețe. Deoarece singura modalitate de a arunca un 12 este când cade 6 pe fiecare zar, pot calcula probabilitatea de a arunca un 6 și apoi probabilitatea independentă de a arunca încă un 6 pe celălalt zar. Probabilitatea de a arunca un șase pe 1 zar este doar 1/6 = 0,166. Prin urmare,
0166 × 0,166 = 0028
Astfel, aveți șanse de 2,8% să obțineți un 12. Am fi putut calcula acest lucru folosind fracții în loc de zecimale:
1/6 × 1/6 = 1/36
Calculul probabilității negațiilor este pur și simplu o chestiune de scădere a probabilității ca un eveniment, să spunem evenimentul a, să aibă loc, din 1. Rezultatul este probabilitatea ca evenimentul a să nu aibă loc:
P(nu-a) = 1 – P(a)
De exemplu, să presupunem că la jocul monopol, am vrut să stabilesc probabilitatea ca eu să nu arunc un 12 (deoarece dacă dau un 12 voi ateriza pe Boardwalk, pe care adversarul meu îl deține la hoteluri). Deoarece am stabilit deja că probabilitatea de a arunca un 12 este 0,028, putem calcula probabilitatea de a nu arunca un 12 astfel:
1 – 0,028 = 0,972
Astfel, am 97,2% șanse să nu obțin un 12. Deci, este foarte probabil să nu o fac (din fericire).
Iată un alt exemplu. Care sunt șansele ca fiica mea să nu intre la Harvard? Deoarece rata de acceptare la Harvard este de aproximativ 6% (sau 0,06), pur și simplu o scăd din 1, rezultând 0,94 sau 94%. Așadar, fiica mea are 94% șanse să nu intre la Harvard.
Ar trebui să facem o pauză aici pentru a face câteva comentarii despre probabilitate. Probabilitatea producerii unui eveniment este relativă la o anumită clasă de referință. De exemplu, probabilitatea de a face osteoporoză este mult mai mare dacă sunteți o femeie de peste 50 de ani (16%) decât dacă sunteți un bărbat de peste 50 de ani (4%). Deci, dacă doriți date exacte privind probabilitatea, trebuie să țineți cont de toți factorii relevanți. În cazul osteoporozei, asta înseamnă să știi dacă ești femeie sau bărbat și ai peste 50 de ani. Iată o anecdotă care va ilustra ideea. Cu câțiva ani în urmă, am fost de acord să fac parte dintr-un proces de interviuri pentru candidații la „bursa prezidențială” la colegiul la care predam în acel moment. Intervievații erau elevi de liceu și am fi putut calcula probabilitatea ca oricare dintre ei să câștige bursa prin simpla notare a numărului de burse disponibile și a numărului de solicitanți pentru acestea. Dar, după ce am intervievat candidații pe care trebuia să-i intervievez, mi-a fost foarte clar că unul dintre ei a depășit cu ușurință pe restul. Astfel, având în vedere noile informații pe care le aveam, ar fi fost o prostie să atribui aceeași probabilitate generică acestui student care câștigă premiul. Acest student a vorbit extrem de bine, bine pus la punct, și a răspuns chiar și la cele mai grele întrebări ale mele (cu care s-au luptat alți candidați) cu o ușurință și încredere care m-au uimit. Pe lângă toate acestea, era o femeie hispanică, și știam că aceasta o va ajuta în acest proces (deoarece colegiile apreciază diversitatea în populația lor studențească). Am recomandat-o pentru bursă, dar știam și că va ajunge la o instituție mult mai bună (și probabil cu una dintre cele mai competitive burse ale acestora). Ceva mai târziu, mă întrebam unde a ajuns să meargă la facultate, așa că am făcut o căutare rapidă pe numele ei și, bineînțeles, am găsit-o la Harvard. Nicio surpriză pentru mine. Ideea poveștii este că, deși am fi putut spune că șansele acestei femei de a nu intra în Harvard sunt de aproximativ 94%, acest lucru ar neglija toate celelalte lucruri despre ea, care, de fapt, îi cresc drastic șansele de a intra la Harvard (și astfel scad drastic șansele de a nu intra). Deci, evaluările noastre de probabilitate sunt la fel de bune ca și informațiile pe care le folosim pentru a le evalua. Dacă am fi atotștiutori atunci, fără îndoială, am putea cunoaște fiecare detaliu și am putea prezice cu o precizie de 100% orice eveniment. Întrucât nu suntem, trebuie să ne bazăm pe cele mai bune informații pe care le avem și să le folosim pentru a determina șansele ca un eveniment să aibă loc.
Calculul probabilității disjuncțiilor este pur și simplu o chestiune de a afla probabilitatea ca fie un eveniment, fie altul să apară. Pentru a calcula probabilitatea unei disjuncții adăugăm pur și simplu probabilitatea celor două evenimente împreună:
P(a sau b) = P(a) + P(b)
De exemplu, să presupunem că am vrut să calculez probabilitatea de a extrage la întâmplare dintr-un pachet de cărți de joc amestecate, fie o pică, fie o treflă. Întrucât există patru culori (pică, treflă, caro, cupă) fiecare cu un număr egal de cărți, probabilitatea de a trage o pică este 1/4 sau 0,25. De asemenea, probabilitatea de a extrage o treflă este de 0,25. Astfel, probabilitatea de a extrage fie o pică fie o treflă este:
0,25 + 0,25 = 0,50
Deci, aveți o șansă de 50% să extrageți fie o pică, fie o treflă.
Uneori evenimentele nu sunt independente. De exemplu, să presupunem că ai vrut să știi probabilitatea de a extrage 5 trefle din pachetul de cărți de joc (ceea ce în poker se numește „culoare”). De data aceasta păstrați cartea de joc după ce ați extras-o, în loc să o introduceți din nou în pachet. Probabilitatea de a extrage prima treflă este pur și simplu 13/52 (sau 1/4). Cu toate acestea, fiecare dintre cele patru extrageri rămase va fi afectată de extragerile anterioare. Astfel, după prima extragere ar mai rămâne doar 51 de cărți, dintre care 12 doar ar mai fi trefle; după a doua extragere ar mai rămâne doar 50 de cărți de joc, dintre care 11 trefle, și așa mai departe, astfel:
13/52 × 12/51 × 11/50 × 10/49 × 9/48 = 33/66.640
După cum puteți vedea, a trebuit să stabilim probabilitatea unei conjuncții, deoarece vrem ca 1 și 2 și 3 etc. să fie trefle. Aceasta este o conjuncție de evenimente diferite. După cum puteți vedea, probabilitatea de a extrage o astfel de mână este extrem de scăzută – aproximativ 0,0005 sau 0,05%. O ”culoare” este într-adevăr o mână rară la poker.
Dar să presupunem că am vrut să știm nu șansele de a extrage o ”culoare” la poker de o anume culoare, ci doar șansele de a extrage o ”culoare” de orice culoare. În acest caz, ar trebui să calculăm probabilitatea unei disjuncții de a extrage fie o ”culoare” de treflă, fie o ”culoare” de pică, fie o ”culoare” de caro, fie o ”culoare” de cupă. Reamintim că, pentru a calcula o disjuncție, trebuie să adunăm probabilitățile:
0,0005 + 0,0005 + 0,0005 + 0,0005 = 0,002
Așadar, probabilitatea de a extrage o ”culoare” în orice culoare este încă doar de aproximativ 2,2% sau o cincime dintr-un procent – deci, foarte mică.
Să examinăm un alt exemplu la final. Să presupunem că vrem să știm șansele de a obține cel puțin o dată stema din 6 aruncări răsucite ale unei monede. S-ar putea să argumentați după cum urmează: Există o șansă de 50% să obțin stema pe prima aruncare, o șansă de 50% pe a doua etc. Deoarece vreau să știu șansa de a obține cel puțin o dată stema, atunci ar trebui să calculez pur și simplu probabilitatea disjuncției astfel:
0,5 + 0,5 + 0,5 + 0,5 + 0,5 + 0,5 = 3 (sau 300%)
Cu toate acestea, acest lucru nu poate fi corect, deoarece probabilitatea oricărui eveniment este între 1 și 0 (inclusiv 0 și 1 pentru evenimente care sunt imposibile și absolut sigure). Cu toate acestea, acest mod de a calcula probabilitatea ne lasă cu un eveniment care este de trei ori mai mult decât sigur. Și nimic nu este mai mult de 100% sigur – 100% certitudine este limita. Deci ceva nu este în regulă cu calculul. Un alt mod de a vedea că ceva trebuie să fie în neregulă cu calculul este că nu este imposibil să obțin de 6 la rând ban (opusul stemei). Deoarece aceasta este o posibilitate reală (oricât de improbabilă), nu poate fi sigur 100% că obțin cel puțin o dată stema. Iată modalitatea de a vă gândi la această problemă. Care este probabilitatea ca eu să obține ban de 6 ori? Aceasta este pur și simplu probabilitatea conjuncției a 6 evenimente, fiecare dintre acestea având probabilitatea de 0,5 (sau 50%):
0,5 × 0,5 × 0,5 × 0,5 × 0,5 × 0,5 = 0,015 (sau 1,5%)
Apoi, pur și simplu folosim regula pentru calcularea probabilității unei negații, deoarece vrem să știm șansele de a nu obține bani de 6 ori la rând (adică, să obținem stema cel puțin o dată):
1 – 0,015 = 0,985
Deci, probabilitatea de a obține cel puțin o dată stema din 6 aruncări ale monedei este de 98,5%. (Ar fi exact aceeași probabilitate de a obține ban cel puțin o dată în 6 aruncări.)
Exercițiul 27
Utilizați cele trei reguli diferite de calcul al probabilităților (conjuncții, negații, disjuncții) pentru a calcula următoarele probabilități, care toate se referă la aruncarea de zaruri cu șase fețe.
- Care este probabilitatea de a arunca un cinci din o singură aruncare a unui zar?
- Care este probabilitatea de a nu arunca un cinci din o singură aruncare a unui zar?
- Care este probabilitatea de a arunca un cinci la prima aruncare și un alt cinci la a doua aruncare a aceluiași zar?
- Dacă arunci două zaruri simultan, care sunt șansele ca la ambele zaruri să apară doi?
- Dacă arunci două zaruri simultan, care sunt șansele ca la unul sau la altul (sau la ambele) zaruri să apară doi?
- Dacă arunci două zaruri simultan, care sunt șansele ca la cel mult unul dintre zaruri să apară doi?
- Dacă arunci două zaruri simultan, care sunt șansele ca la cel puțin unul dintre zaruri să apară patru?
- Dacă arunci două zaruri simultan, care sunt șansele ca să nu apară patru?
- Dacă arunci două zaruri simultan, care sunt șansele ca să apară cinci la două din ele?
- Dacă arunci două zaruri simultan, care sunt șansele ca să apară două cifre identice (de orice număr)?
Sursa: Matthew J. Van Cleave, Introduction to Logic and Critical Thinking, licența CC BY 4.0. Traducere și adaptare de Nicolae Sfetcu
© 2021 MultiMedia Publishing, Logica și gândirea critică în dezvoltarea personală, Volumul 1
Lasă un răspuns