(Credit NASA)
Un concept matematic important este ideea funcției. O funcție este un proces matematic care unește în mod unic valoarea unei variabile cu valoarea unei alte variabile dintr-o problemă. Schematic, ne putem gândi la o funcție ca un „procesor” care ia una sau mai multe variabile de intrare și produce o variabilă de ieșire. Vom numi variabila de ieșire variabila dependentă, iar variabila de intrare se numește variabila independentă. Schimbarea valorii unei variabile independente produce o modificare a valorii variabilei dependente care este întotdeauna aceeași. În imagine vom indica o variabilă independentă ca X și variabila dependentă ca Y. Indicăm că Y este o funcție a lui X prin simbolul:
Y = f(X)
Unele funcții apar atât de des în matematică și știință încât le atribuim nume și simboluri speciale. În partea de jos a imaginii sunt enumerate câteva exemple de funcții care apar în inginerie. Funcțiile trigonometrice sinus, cosinus și tangentă se referă la diferitele laturi și unghiuri ale unui triunghi. Valoarea funcției depinde numai de unghiul dintre două laturi ale unui triunghi drept. Deci putem scrie funcțiile ca:
Y = sin(X)
W = cos(X)
Z = tan(X)
unde valoarea lui X este un unghi iar valorile lui Y, W și Z sunt numere. Întrucât valoarea funcției este întotdeauna aceeași, valoarea poate fi tabelată și utilizată pentru a rezolva probleme. Câteva exemple de probleme care implică triunghiuri și unghiuri includ forțele asupra unei rachete în timpul zborului alimentat, aplicarea cuplurilor și rezolvarea componentelor unui vector.
O altă funcție este funcția factorială cu simbolul X!. Valoarea acestei funcții se formează prin înmulțirea lui X cu X-1 și X-2, etc. până când ajungem la 1:
Y = X!
Y = 4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24
Această funcție se folosește în multe probleme de probabilitate și statistică.
Există câteva proprietăți interesante ale funcțiilor. Funcțiile pot fi grupate pentru a forma alte funcții. Pe imagine funcția polinomială:
Y = X^3 + X^2 + 5*X + 12
se obține prin adăugarea puterilor lui X. Funcția aici este:
Y = X^n
unde n este orice număr. Y este generată prin înmulțirea cu X cu el însuși de n ori.
Există câteva funcții speciale, numite funcții inverse, care „fac invers” operația unei alte funcții. Funcția rădăcină pătrată este inversa funcției pătrate. Astfel, dacă
Y = X^2
16 = 4^2
Atunci
X = √Y
4 = √16
Deoarece ridicarea și tragerea depinde de pătratul vitezei, folosim adesea rădăcini pătrate pentru a rezolva problemele de viteză. Această funcție este utilizată pentru determinarea vitezei terminale a unui obiect care cade.
Funcția tan^-1(X) din figură se numește arc-tangenta lui X. Această funcție este inversă a funcției trigonometrice tangenta. Acesta returnează unghiul Y a cărui tangentă este X. Există inverse pentru sinus și cosinus, de asemenea.
Funcția exponențială, exp(X) sau e^X, este o funcție specială care apare din calcul. În calcul, încercăm deseori să determinăm rata la care se schimbă unele funcții. Rata este exprimată ca o altă funcție numită diferențială și rata este panta graficului funcției. Dacă avem o funcție Y = f(X), atunci panta funcției se numește Z și;
Z = dY/dX
Funcția exp este funcția specială a cărei pantă (rata de schimbare) este egală cu valoarea funcției.
Y = exp(X) = d[exp(X)]/dX = dY/dX
Această funcție apare adesea în natură atunci când rata de schimbare a unei variabile este egală cu valoarea variabilei. Schimbarea presiunii atmosferice cu altitudinea este exponențială.
Funcția inversă a funcției exponențiale este funcția logaritmică cu simbolul ln(X). Funcția ln apare în multe probleme de termodinamică, cum ar fi calculul modificării entropiei unui gaz în timpul unui proces termodinamic.
Funcția cosh(X) din imagine este funcția cosinus hiperbolic. Este o funcție specială tabulară care rezultă din rezolvarea unei anumite forme de ecuație diferențială și este similară cu funcția trigonometrică cos. Această funcție apare în soluția la problema unei linii care se înconvoaie sub propria ei greutate ca și cablurile de sprijin ale unui pod.
Lasă un răspuns