Testarea validității afirmațiilor cu tabele de adevăr

Prin traducerea anumitor fraze în limbajul nostru simbolic vom avea o metodă pur formală de a determina validitatea unei anumite clase de argumente – și anume, acele argumente a căror validitate depinde de funcționarea conectivităților funcționale de adevăr. Aceasta este ceea ce logicienii numesc „logică propozițională” sau „logică sentențială”.

Prin testul informal al validității, care ne impune să încercăm să ne imaginăm un scenariu în care premisele argumentului sunt adevărate și totuși concluzia falsă, dacă ne putem imagina un astfel de scenariu, argumentul este invalid. Pe de altă parte, dacă nu este posibil să ne imaginăm un scenariu în care premisele sunt adevărate și totuși concluzia este falsă, atunci argumentul este valid. Luați în considerare acest argument:

Condamnatul a scăpat fie târându-se prin conductele de canalizare, fie ascunzându-se în spatele camionului de livrare.
Dar condamnatul nu a scăpat târându-se prin conductele de canalizare.
Prin urmare, condamnatul a scăpat ascunzându-se în spatele camionului de livrare.

Folosind testul informal al validității, putem vedea că, dacă ne imaginăm că prima premisă și a doua premisă sunt adevărate, atunci trebuie să urmeze concluzia. Cu toate acestea, putem dovedi, de asemenea, că acest argument este valid fără a fi nevoie să ne imaginăm scenarii și să ne întrebăm dacă concluzia ar fi adevărată în aceste scenarii. Putem face acest lucru prin a) traducerea acestei propoziții în limbajul nostru simbolic și apoi b) folosind un tabel de adevăr pentru a determina dacă argumentul este valid. Să începem cu traducerea. Prima premisă conține două propoziții atomice. Iată propozițiile și constantele pe care le voi folosi pentru a le reprezenta:

S = Condamnatul a scăpat prin conductele de canalizare

D = Condamnatul a scăpat ascunzându-se în spatele dubei de livrare

După cum putem vedea, prima premisă este o disjuncție și astfel, folosind constantele indicate mai sus, putem traduce prima premisă după cum urmează:

S ˅ D

A doua premisă este pur și simplu negarea lui S:

În cele din urmă, concluzia este pur și simplu propoziția atomică, D. Punând totul împreună într-o formă standard, avem:

S ˅ D
~S
∴ D

Vom folosi simbolul ∴ pentru a indica o concluzie și îl vom citi ca „rezultă”.

Următorul lucru pe care trebuie să-l facem este să construim un tabel de adevăr. Am văzut deja câteva exemple de tabele de adevăr când am definit conectivitățile funcționale de adevăr pe care le-am introdus până acum (conjuncție, disjuncție și negație). Un tabel de adevăr este pur și simplu un instrument pe care îl folosim pentru a reprezenta modul în care valoarea adevărului unei propoziții complexe depinde de adevărul propozițiilor care o compun în fiecare scenariu posibil. Când construim un tabel de adevăr, primul lucru de întrebat este câte propoziții atomice trebuie să fie reprezentate în tabelul de adevăr. În acest caz, răspunsul este „două”, deoarece există doar două propoziții atomice conținute în acest argument (și anume, S și D). Având în vedere că există doar două propoziții atomice, tabelul nostru de adevăr va conține doar patru rânduri – un rând pentru fiecare scenariu posibil. Va exista un rând în care atât S cât și D sunt adevărate, un rând în care atât S cât și D sunt false, un rând în care S este adevărat și D este fals și un rând în care S este fals și D este adevărat.

D	S	S ˅ D	~	D
A	A
A	F
F	A
F	F

Cele două coloane din stânga cele mai din stânga sunt ceea ce numim coloanele de referință ale tabelului adevărului. Coloanele de referință atribuie orice aranjament posibil al valorilor adevărului propozițiilor atomice ale argumentului (în acest caz, doar D și S). Coloanele de referință surprind fiecare scenariu logic posibil. Procedând astfel, putem elimina nevoia de a vă folosi imaginația pentru a imagina diferite scenarii (ca în testul informal al validității) cu o procedură mecanică, care nu ne impune să ne imaginăm sau chiar să gândim deloc. Astfel, vă puteți gândi la fiecare rând al tabelului adevărului ca specificând unul dintre scenariile posibile. Adică, fiecare rând este una dintre atribuțiile posibile ale valorilor adevărului la propozițiile atomice. De exemplu, rândul 1 al tabelului adevărului (primul rând după rândul antet) este un scenariu în care este adevărat că condamnatul a scăpat ascunzându-se în spatele camionetei de livrare și este, de asemenea, adevărat că condamnatul a scăpat de târându-se prin conductele de canalizare. În schimb, rândul 4 este un scenariu în care condamnatul nu a reușit în niciuna dintre aceste situații.

Următorul lucru pe care trebuie să-l facem este să ne dăm seama care sunt valorile adevărului premiselor și concluziile pentru fiecare rând al tabelului adevărului. Suntem capabili să determinăm care sunt aceste valori de adevăr pentru că înțelegem cum valoarea de adevăr a propoziției compuse depinde de valoarea de adevăr a propozițiilor atomice. Având în vedere semnificațiile conectivelor funcționale ale adevărului (discutate în secțiunile anterioare), putem completa tabelul nostru de adevăr astfel:

D	S	S ˅ D	~S	D
A	A	A	F	A
A	F	A	A	A
F	A	A	F	F
F	F	F	A	F

Pentru a determina valorile adevărului pentru prima premisă a argumentului („S ˅ D”) trebuie doar să cunoaștem valorile adevărului S și D și semnificația conectivității funcționale de adevăr, disjuncția. Tabelul adevărului pentru disjuncție spune că o disjuncție este adevărată atâta timp cât cel puțin una dintre disjuncțiile sale este adevărată. Astfel, fiecare rând de sub coloana „S ˅ D” ar trebui să fie adevărat, cu excepția ultimului rând, deoarece pe ultimul rând atât D cât și S sunt false (în timp ce în primele trei rânduri cel puțin unul sau celălalt este adevărat). Valorile de adevăr pentru a doua premisă (~S) sunt ușor de determinat: ne uităm pur și simplu la ceea ce am atribuit lui „S” în coloana noastră de referință și apoi negăm acele valori de adevăr – A devine F și F devine A. Exact asta am făcut în a patra coloană a tabelului adevărului de mai sus. În cele din urmă, concluzia din ultima coloană a tabelului adevărului va repeta pur și simplu ceea ce am atribuit lui „D” în coloana noastră de referință, deoarece ultima concluzie repetă pur și simplu propoziția atomică „D”.

Tabelul adevărului de mai sus este complet. Acum întrebarea este: Cum folosim acest tabel de adevăr completat pentru a determina dacă argumentul este valid sau nu? Pentru a face acest lucru, trebuie să aplicăm ceea ce voi numi „testul validității tabelului de adevăr”. Conform testului de validitate al tabelului de adevăr, un argument este valid dacă și numai dacă pentru fiecare atribuire a valorilor adevărului la propozițiile atomice, dacă premisele sunt adevărate, atunci concluzia este adevărată. Un argument este invalid dacă există o atribuire de valori de adevăr propozițiilor atomice pe care premisele sunt adevărate și totuși concluzia este falsă. Este imperativ să înțelegeți (și nu pur și simplu să memorați) ce înseamnă aceste definiții. Ar trebui să vedeți că aceste definiții ale validității și invalidității au o structură similară definițiilor informale ale validității și invalidității. Similitudinea este că noi căutăm posibilitatea ca premisele să fie adevărate și totuși concluzia să fie falsă. Dacă acest lucru este posibil, atunci argumentul este invalid; dacă nu este posibil, argumentul este valid. Diferența, așa cum am menționat mai sus, este că, cu testul de validitate al tabelului de adevăr, înlocuim nevoia de a ne folosi imaginația cu o procedură mecanică de atribuire a valorilor de adevăr propunerilor atomice și apoi de determinare a valorilor de adevăr ale premiselor și concluziei pentru fiecare dintre aceste sarcini.

Aplicând aceste definiții tabelului de adevăr de mai sus, putem vedea că argumentul este valid deoarece nu există o atribuire de valori de adevăr propozițiilor atomice (adică, niciun rând al tabelului nostru de adevăr) în care toate premisele sunt adevărate și totuși concluzia este falsă. Priviți la primul rând. Este acesta un rând în care toate premisele sunt adevărate și totuși concluzia este falsă? Nu, nu este, pentru că nu toate premisele sunt adevărate în acel rând. În special, „~S” este fals în acel rând. Priviți la al doilea rând. Este acesta un rând în care toate premisele sunt adevărate și totuși concluzia este falsă? Nu, nu este; deși ambele premise sunt adevărate în acel rând, concluzia este adevărată și în acel rând. Acum să luăm în considerare al treilea rând. Este acesta un rând în care toate premisele sunt adevărate și totuși concluzia este falsă? Nu, pentru că nu este un rând în care ambele premise sunt adevărate. În cele din urmă, să luăm în considerare ultimul rând. Este acesta un rând în care toate premisele sunt adevărate și totuși concluzia este falsă? Din nou, răspunsul este „nu”, deoarece ambele premise nu sunt adevărate în acel rând. Astfel, putem vedea că nu există niciun rând din tabelul adevărului în care premisele să fie adevărate și totuși concluzia să fie falsă. Și asta înseamnă că argumentul este valid.

Deoarece testul de validitate al tabelului de adevăr este o metodă formală de evaluare a validității unui argument, putem determina dacă un argument este valid doar în virtutea formei sale, fără a ști chiar despre ce este argumentul! Iată un exemplu:

(A ˅ B) ˅ C
~A
∴ C

Iată un argument scris în limbajul nostru simbolic. Nu știu ce înseamnă A, B și C (adică ce propoziții atomice reprezintă), dar nu contează deoarece putem stabili dacă argumentul este valid fără a fi nevoie să știm ce înseamnă A, B și C. A, B și C ar putea fi orice propoziție atomică. Dacă această formă de argument nu este validă, oricare ar fi semnificația pe care o acordăm lui A, B și C, argumentul va fi întotdeauna invalid. Pe de altă parte, dacă această formă de argument este validă, atunci orice semnificație i-am da lui A, B și C, argumentul va fi întotdeauna valid.

Primul lucru de recunoscut în legătură cu acest argument este că există trei propoziții atomice, A, B și C. Și asta înseamnă că tabelul nostru de adevăr va avea 8 rânduri în loc de doar 4 rânduri ca ultimul nostru tabel de adevăr. Motivul pentru care avem nevoie de 8 rânduri este că este nevoie de două ori mai multe rânduri pentru a reprezenta fiecare scenariu logic posibil atunci când lucrăm cu trei propoziții diferite. Iată o formulă simplă pe care o puteți utiliza pentru a determina câte rânduri are nevoie tabelul dvs. de adevăr:

2ⁿ (unde n este numărul de propoziții atomice)

Citiți această formulă ca „doi la puterea a n-a”. Deci, dacă aveți o propoziție atomică (ca în tabelul de adevăr pentru negație), tabelul de adevăr va avea doar două rânduri. Dacă aveți două propoziții atomice, va avea patru rânduri. Dacă aveți trei propoziții atomice, va avea 8 rânduri. Numărul de rânduri necesare crește exponențial pe măsură ce numărul propozițiilor atomice crește liniar. Tabelul de mai jos reprezintă aceeași relație cu formula de mai sus:

Număr de propoziții atomice	Numărul de rânduri în tabelul de adevăr
1	2
2	4
3	8
4	16
5	32

Deci, tabelul nostru de adevăr pentru argumentul de mai sus trebuie să aibă 8 rânduri. Iată cum arată tabelul adevărului:

A	B	C	(A ˅ B) ˅ C	~A	C
A	A	A
A	A	F
A	F	A
A	F	F
F	A	A
F	A	F
F	F	A
F	F	F

Iată un punct important de remarcat despre înființarea unui tabel de adevăr. Trebuie să vă asigurați că coloanele dvs. de referință surprind fiecare posibilă atribuire distinctă a valorilor adevărului. O modalitate de a vă asigura că faceți acest lucru este urmând același model de fiecare dată când construiți un tabel de adevăr. Nu există un mod corect de a face acest lucru, dar iată cum o fac (și vă recomand să o faceți și voi). Construiți coloanele de referință astfel încât propozițiile atomice să fie aranjate alfabetic, de la stânga la dreapta. Apoi, în coloana de referință din dreapta (coloana C de mai sus), alternați fiecare rând adevărat și fals, până la capăt. În coloana de referință din stânga acesteia (coloana B de mai sus), alternați două rânduri adevărate, două rânduri false, până la partea de jos. În următoarea coloană din stânga (coloana A de mai sus), alternați 4 adevărat, 4 fals, până la capăt.

Următorul pas este de a determina valorile de adevăr ale premiselor și concluzia. Rețineți că prima noastră premisă este o frază mai complexă care constă din două disjuncții. Operatorul principal este a doua disjuncție, deoarece cele două grupări principale, notate prin paranteze, sunt „A ˅ B” și „C”. Observați, totuși, că nu putem să ne dăm seama de valorile adevărului operatorului principal al propoziției până nu descoperim valorile adevărului disjunctului stâng, „A ˅ B.” Deci, de aici trebuie să începem. Astfel, în tabelul adevărului de mai jos, am completat valorile adevărului direct sub partea „A ˅ B” a propoziției folosind valorile adevărului pe care le-am atribuit lui A și B în coloanele de referință. După cum puteți vedea în tabelul de adevăr de mai jos, fiecare linie este adevărată, cu excepția ultimelor două rânduri, care sunt false, deoarece o disjuncție este falsă numai atunci când ambele disjuncturi sunt false.

A	B	C	(A ˅ B) ˅ C	~A	C
A	A	A	A
A	A	F	A
A	F	A	A
A	F	F	A
F	A	T	A
F	A	F	A
F	F	A	F
F	F	F	F

Acum, din moment ce am descoperit valorile adevărului disjunctului stâng, putem afla valorile adevărului sub operatorul principal (pe care l-am subliniat cu bold în tabelul de adevăr de mai jos). Cele două coloane pe care le urmăriți pentru a determina valorile adevărului operatorului principal sunt coloana „A ˅ B” pe care tocmai am aflat-o mai sus și coloana de referință „C” în stânga. Este imperativ să înțelegem că valorile adevărului sub „A ˅ B” sunt irelevante odată ce am descoperit valorile adevărului sub operatorul principal al frazei. Coloana respectivă a fost doar un mijloc de finalizare (finalul determinării operatorului principal) și, așadar, le-am subliniat pentru a arăta că nu le mai acordăm nicio atenție. (Când vă construiți propriile tabele de adevăr, este posibil să doriți chiar să ștergeți aceste coloane subsidiare odată ce ați determinat valorile de adevăr ale operatorului principal al propoziției. Sau pur și simplu doriți să încercuiți valorile adevărului sub operatorul principal pentru a le distinge de restul.)

A	B	C	(A ˅ B) ˅ C	~A	C
T	T	T	T T
T	T	F	T T
T	F	T	T T
T	F	F	T T
F	T	T	T T
F	T	F	T T
F	F	T	F T
F	F	F	F F

În cele din urmă, vom completa celelalte două coloane, ceea ce este foarte simplu. Tot ce trebuie să facem pentru „~A” este să inversăm valorile adevărului pe care le-am atribuit coloanei noastre de referință „A”. Și tot ce trebuie să facem pentru coloana finală „C” este pur și simplu să repetăm textual valorile de adevăr pe care le-am atribuit coloanei noastre de referință „C”.

A	B	C	(A ˅ B) ˅ C	~A	C
T	T	T	T T	F	T
T	T	F	T T	F	F
T	F	T	T T	F	T
T	F	F	T T	F	F
F	T	T	T T	T	T
F	T	F	T T	T	F
F	F	T	F T	T	T
F	F	F	F F	T	F

Tabelul adevărului de mai sus este acum complet. Următorul pas este aplicarea testului de validitate al tabelului de adevăr pentru a determina dacă argumentul este valid sau invalid. Amintiți-vă că ceea ce căutăm este un rând în care premisele sunt adevărate și concluzia este falsă. Dacă găsim un astfel de rând, argumentul este invalid. Dacă nu găsim un astfel de rând, atunci argumentul este valid. Aplicând această definiție tabelului de adevăr de mai sus, putem vedea că argumentul este invalid din cauza celui de-al șaselea rând al tabelului (pe care l-am evidențiat). Astfel, explicația pentru care acest argument este invalid este că al șaselea rând al tabelului arată un scenariu în care atât premisele sunt adevărate, cât și concluzia este falsă.