Strategii în construirea dovezilor în logică și gândirea criticiă

Vă puteți gândi să construiți dovezi ca pe un joc. Scopul jocului este de a obține concluzia din premisele date folosind doar cele 8 reguli de inferență valide pe care le-am introdus. Nu orice dovadă necesită să folosiți toate regulile, desigur. Dar puteți utiliza oricare dintre reguli – cu condiția ca utilizarea regulii să fie corectă. La fel ca majoritatea jocurilor, oamenii pot fi mai buni sau mai răi la „jocul” de a construi dovezi. Jucătorii mai buni vor putea a) să facă mai puține greșeli, b) să construiască dovezile mai repede și c) să construiască dovezile mai eficient. Pentru a construi dovezi, este imperativ să internalizați cele 8 forme valide de inferență introduse anterior. Veți cita aceste forme de inferență ca reguli care vor justifica fiecare nouă linie a dovezii pe care o adăugați. Prin „internalizare” vreau să spun că le-ați memorat atât de bine încât puteți vedea acele forme manifestate în diferite fraze aproape fără să vă gândiți la asta. Dacă interiorizați regulile în acest fel, construirea dovezilor va fi o diversiune plăcută, mai degrabă decât o activitate frustrantă. Pe lângă internalizarea celor 8 forme valabile de inferență, există câteva strategii diferite care vă pot ajuta atunci când sunteți blocat și nu vă puteți da seama ce să faceți în continuare. Prima este strategia de a lucra înapoi. Când lucrăm înapoi într-o dovadă, ne întrebăm ce regulă putem folosi pentru a obține fraza (frazele) pe care trebuie să o derivăm. Iată un exemplu:

1. R ∙ S
2. T         /∴ (T ˅ L) ∙ (R ∙ S)

Concluzia, care se află în dreapta celei de-a doua premise și urmează simbolulului “/∴”, este o conjuncție (deoarece punctul este operatorul principal). Dacă încercăm să „lucrăm înapoi”, întrebarea relevantă de pus este: ce regulă putem folosi pentru a obține o conjuncție? Dacă cunoașteți regulile, ar trebui să știți răspunsul la această întrebare. Există o singură regulă care ne permite să derivăm (deducem) o propoziție care este o conjuncție. Această regulă se numește „conjuncție”. Forma regulii conjuncție spune că, pentru a obține o conjuncție, trebuie să avem fiecare conjunct pe o linie separată. Deci, care sunt cele două conjuncturi de care am avea nevoie pentru a obține conjuncția care este concluzia (adică „(T ˅ L) ∙ (R ∙ S)”). Am avea nevoie atât de „T ˅ L” pe o linie, cât și de „R ∙ S” pe o linie separată. Dar uitați-vă la premisa 1 – avem deja „R ∙ S” pe propria linie! Deci, singurul alt lucru pe care trebuie să-l derivăm este propoziția „T ˅ L”. Odată ce avem acest lucru pe o linie separată, putem folosi regula conjuncției pentru a lega aceste două propoziții pentru a obține concluzia! Deci următoarea întrebare pe care trebuie să o punem este: Cum pot obține fraza „T ˅ L”? Din nou, dacă lucrăm înapoi, întrebarea relevantă de pus aici este: Ce regulă îmi permite să obțin o disjuncție? Există doar două: dilema constructivă și adiția. Cu toate acestea, știm că nu vom folosi dilema constructivă, deoarece niciuna dintre premise nu este declarație condițională, iar dilema constructivă necesită declarații condiționale ca premise. Asta lasă ca alegere adiția. Adiția ne permite să separăm orice afirmație care ne place de o afirmație existentă. Deoarece avem „T” ca a doua premisă, adăugarea regulii ne permite să separăm „L” de acea afirmație. Prima nouă linie a dovezii ar trebui să arate astfel:

3. T ˅ L Adiția 2

Ceea ce am făcut este să numerotez o nouă linie a dovezii (continuând numerotarea de la premise) și apoi am scris regula care justifică acea nouă linie, precum și linia (liniile) din care a fost derivată acea linie prin respectiva regulă. În acest caz, deoarece adiția este o regulă care vă permite să derivați o frază direct dintr-o singură linie, am citat o singură linie. Următorul pas al dovezii ar trebui să fie clar, deoarece am discutat deja mai sus. Tot ce trebuie să facem acum este să mergem direct la concluzie, deoarece concluzia este o conjuncție și acum avem (pe linii separate ale dovezii) fiecare conjunct. Astfel, linia finală a acestei dovezi (destul de simple) ar trebui să arate astfel:

4. (T ˅ L) ∙ (R ∙ S) Conjuncție 1, 3

Din nou, tot ce am făcut este să scriu noua linie a dovezii (continuând numerotarea de la linia anterioară) și apoi am scris regula care justifică acea nouă linie, precum și linia (liniile) din care a fost derivată acea linie prin această regulă. În acest caz, regula conjuncției impune citarea a două linii (adică, fiecare conjunct pe care îl unim). Deci, trebuie să găsesc liniile care conțineau „(T ˅ L) ∙ (R ∙ S)” și să citez acele linii. Nu contează ordinea în care citați liniile în măsura în care ați citat liniile corecte (de exemplu, aș fi putut scrie la fel de bine „Conjuncția 3, 1” ca justificare). Astfel, dovada completă ar trebui să arate astfel:

1. R ∙ S
2. T                     /∴ (T ˅ L) ∙ (R ∙ S)
3. T ˅ L                         Adiție 2
4. (T ˅ L) ∙ (R ∙ S)         Conjuncție 1, 3

Asta e. Asta este tot ceea ce trebuie pentru construirea unei dovezi. Ultima linie a dovezii este concluzia care trebuie obținută: verificați. Fiecare linie a dovezii urmează după regulă și linia (rândurile) citată: verificați. Deoarece ambele cerințe verifică, dovada noastră este completă și corectă.

Tocmai am parcurs o dovadă simplă folosind strategia de a lucra înapoi. Această strategie funcționează bine atâta timp cât concluzia pe care încercăm să o obținem este complexă – adică dacă conține conectivități funcționale de adevăr. Cu toate acestea, uneori concluzia noastră va fi pur și simplu o afirmație atomică. În acest caz, nu vom putea folosi la fel de ușor strategia de a lucra înapoi. Dar există o altă strategie pe care o putem folosi: strategia de a lucra înainte. Pentru a utiliza strategia de a lucra înainte, ne întrebăm pur și simplu ce reguli putem aplica la premisele existente pentru a obține ceva, chiar dacă nu este concluzia pe care încercăm să o tragem. Ca parte a acestei strategii, ar trebui să separăm de obicei o conjuncție ori de câte ori avem una ca premisă a argumentului nostru. Acest lucru vă poate ajuta să vedeți unde să mergeți mai departe. (Dacă ați jucat vreodată Scrabble, vă puteți gândi la acest lucru ca la rearanjarea literelor pentru a vedea ce cuvinte puteți construi.) Iată un exemplu de dovadă în care ar trebui să utilizăm strategia de a lucra înainte:

1. A ∙ B
2. B ⸧ C        /∴ C

Observați că, deoarece concluzia este atomică, nu putem utiliza strategia de a lucra înapoi. În schimb, ar trebui să încercăm să lucrăm înainte. Ca parte a acestei strategii, ar trebui să separăm conjuncțiile folosind regula „simplificare”. Acesta va fi primul pas al dovezii noastre:

1. A ∙ B
2. B ⸧ C     /∴ C
3. A            Simplificare 1
4. B            Simplificare 1

Primele două linii ale dovezii sunt doar descompunerea conjuncției din linia 1, unde linia 3 este doar conjunctul stâng și linia 4 este doar conjunctul drept. Ambele linii 3 și 4 urmează aceeași regulă și aceeași linie, în acest caz. Următoarea întrebare pe care o punem atunci când utilizăm strategia de a lucra înainte este: la ce linii ale dovezii putem aplica o regulă pentru a obține ceva sau altceva? Uitați-vă la condiționalul de pe linia 2. Nu l-am folosit încă. Deci, ce regulă putem aplica acelei linii? Ar trebui să vă gândiți la regulile care utilizează enunțuri condiționale (modus ponens, modus tollens și silogism ipotetic). Putem exclude silogismul ipotetic, deoarece aici avem un singur condițional și regula silogismului ipotetic impune să avem două. Dacă vă uitați la linia 4 (pe care tocmai am derivat-o) ar trebui să vedeți că este antecedentul enunțului condițional de la linia 2. Și ar trebui să știți că asta înseamnă că putem aplica regula modus ponens. Deci următorul nostru pas este să facem acest lucru:

1. A ∙ B
2. B ⸧ C            /∴ C
3. A                   Simplificare 1
4. B                   Simplificare 1
5. C                   Modus ponens 2, 4

Dar acum observăm, de asemenea, că linia pe care tocmai am derivat-o este de fapt concluzia argumentului. Deci dovada noastră este terminată.

Înainte de închiderea acestei secțiuni, să analizăm o dovadă puțin mai lungă. Amintiți-vă: orice dovadă, lungă sau scurtă, este același proces și utilizează aceeași strategie. Este doar o chestiune de a ține evidența locului în care vă aflați în dovadă și a ceea ce în cele din urmă încercați să obțineți. Așadar, iată o dovadă puțin mai complexă:

1. (~A ˅ B) ⸧ L
2. ~B
3. A ⸧ B
4. L ⸧ (~R ˅ D)
5. ~D ∙ (R ˅ F)         /∴ (L ˅ G) ∙ ~R

Concluzia este o conjuncție între „L ˅ G” și „~ R”, deci știm că, dacă putem obține fiecare dintre aceste propoziții pe o linie separată, atunci putem folosi regula conjuncției pentru a obține concluzia. Acesta va fi obiectivul nostru pe termen lung aici (și acesta este utilizarea strategiei de a lucra înapoi). Cu toate acestea, nu putem vedea cum să ajungem direct de aici în acest moment, așa că vom începe să folosim strategia de a lucra înainte. Primul lucru pe care îl vom face este să simplificăm conjuncția de pe linia 5:

1. ~D             Simplificare 5
2. R ˅ F         Simplificare 5

Uitați-vă la liniile 2 și 6: ambele sunt propoziții atomice negate. O altă parte a strategiei de a lucra înainte este de a folosi propoziții atomice sau atomice negate. Ar trebui să căutăm cum putem utiliza modus tollens sau silogismul disjunctiv prin conectarea acestor propoziții atomice negate în alte linii ale dovezii. Uitați-vă la liniile 2 și 3. Ar trebui să vedeți acolo un modus tollens. Acesta va fi următorul nostru pas:

1. ~A             Modus tollens 2, 3

Următorul pas al acestei dovezi poate fi un pic mai dificil. Există câteva modalități diferite în care am putea merge. Una ar fi utilizarea regulii „adiție”. Puteți vedea cum am putea folosi această regulă folosind linia 6 sau 8? Dacă nu, vă dau un indiciu: ce ar fi dacă ar fi să folosim adiția pe linia 8 pentru a obține „~A ˅ B”? Puteți vedea cum am putea apoi conecta asta la linia 1? De fapt, „~A ˅ B” este antecedentul condiționalului din linia 1, deci am putea folosi apoi modus ponens pentru a obține rezultatul. Astfel, să încercăm să începem cu adiția de pe linia 8:

1. ~A ˅ B             Adiție 8

Apoi, vom folosi linia 9 și linia 1 cu modus ponens pentru a obține următoarea linie:

1. L             Modus ponens 1, 9

Observați în acest moment că ceea ce am derivat pe linia 10 este „L” și ceea ce am spus mai devreme că avem nevoie ca unul dintre conjuncte a fost „L ˅ G”. Ar trebui să recunoașteți că avem o regulă care ne va permite să deducem direct de la „L” la „L ˅ G”. Această regulă este adiția (din nou). Aceasta va fi următoarea linie a dovezii:

1. L ˅ G             Adiție 10

În acest moment, strategia noastră ar trebui să fie să încercăm să derivăm celălalt conjunct, „~ R”. Observați că „~ R” este cuprins în fraza de pe linia 4, dar este încorporat. Cum îl putem „obține gratuit”? Începeți prin a observa că ~ R este o parte a unei disjuncții, care este ea însăși o consecință a unei afirmații condiționate. De asemenea, observați că am derivat deja antecedentul acelei afirmații condiționale, ceea ce înseamnă că putem folosi modus ponens pentru a obține consecința:

1. ~R ˅ D             Modus ponens 4, 10

Penultimul pas este de a folosi un silogism disjunctiv pentru a obține „~ R”.

1. ~R             Silogism disjunctiv 6, 12

Pasul final este pur și simplu o conjucție între liniile 11 și 13 pentru a obține concluzia:

1. (L ˅ G) ∙ ~R             Conjuncție 11, 13

Astfel, iată dovada completă:

1. (~A ˅ B) ⸧ L
2. ~B
3. A ⸧ B
4. L ⸧ (~R ˅ D)
5. ~D ∙ (R ˅ F)         /∴ (L ˅ G) ∙ ~R
6. ~D                        Simplificare 5
7. R ˅ F                   Simplificare 5
8. ~A                       Modus tollens 2, 3
9. ~A ˅ B                 Adiție 8
10. L                          Modus ponens 1, 9
11. L v G                    Adiție 10
12. ~R ˅ D                 Modus ponens 4, 10
13. ~R                        Silogism disjunctiv
14. (L ˅ G) ∙ ~R         Conjuncție 11, 13

Construirea dovezilor este o abilitate care necesită practică. Următoarele exerciții vă vor oferi o anumită practică cu construirea de dovezi.

Exercițiul 17:

Construiți dovezi pentru următoarele argumente valide. Primele cincisprezece dovezi pot fi complete în trei sau mai puține linii suplimentare. Următoarele cinci dovezi vor fi puțin mai lungi. Este important să rețineți că există întotdeauna mai multe modalități de a construi o dovadă. Dacă dovada dvs. diferă de răspunsul nostru, asta nu înseamnă că este greșită.

#1
1. A ∙ B
2. (A ˅ C) ⸧ D /∴ A ∙ D

#2
1. A
2. B /∴ (A ˅ C) ∙ B

#3
1. D ⸧ E
2. D ∙ F /∴ E

#4
1. J ⸧ K
2. J /∴ K ˅ L

#5
1. A ˅ B
2. ~A ∙ ~C /∴ B

#6
1. A ⸧ B
2. ~B ∙ ~C /∴ ~A

#7
1. D ⸧ E
2. (E ⸧ F) ∙ (F⸧ D) /∴D ⸧ F

#8
1. (T ⸧ U) ∙ (T ⸧ V)
2. T /∴ U ˅ V

#9
1. (E ∙ F) ˅ (G ⸧ H)
2. I ⸧ G
3. ~(E ∙ F) /∴ I ⸧ H

#10
1. M ⸧ N
2. O ⸧ P
3. N ⸧ P
4. (N ⸧ P) ⸧ (M ˅ O) /∴N ˅ P

#11
1. A ˅ (B ⸧ A)
2. ~A ∙ C /∴ ~B

#12
1. (D ˅ E) ⸧ (F ∙ G)
2. D /∴ F

#13
1. T ⸧ U
2. V ˅ ~U
3. ~V ∙ ~W /∴ ~T

#14
1. (A ˅ B) ⸧ ~C
2. C ˅ D
3. A /∴ D

#15
1. L ˅ (M ⸧ N)
2. ~L ⸧ (N ⸧ O)
3. ~L /∴ M ⸧ O

#16
1. A ⸧ B
2. A ˅ (C ⸧ D)
3. ~B ∙ ~E /∴ C

#17
1. (F ⸧ G) ∙ (H ⸧ I)
2. J ⸧ K
3. (F ˅ J) ∙ (H ˅ L) /∴ G ˅ K

#18
1. (E ˅ F) ⸧ (G ∙ H)
2. (G ˅ H) ⸧ I
3. E /∴ I

#19
1. (N ˅ O) ⸧ P
2. (P ˅ Q) ⸧ R
3. Q ˅ N
4. ~Q /∴ R

#20
1. J ⸧ K
2. K ˅ L
3. (L ∙ ~J) ⸧ (M ∙ ~J)
4. ~K /∴ M

Sursa: Matthew J. Van Cleave, Introduction to Logic and Critical Thinking, licența CC BY 4.0. Traducere și adaptare de Nicolae Sfetcu

© 2021 MultiMedia Publishing, Logica și gândirea critică în dezvoltarea personală, Volumul 1

Gravitația

Explorați misterele gravitației cu o lucrare fascinantă și cuprinzătoare

Nu a fost votat $6.99 – $32.63 Selectează opțiunile Acest produs are mai multe variații. Opțiunile pot fi alese în pagina produsului.

Singularitățile ca limite ontologice ale relativității generale

Descoperă cartea care unește știința și filosofia! Explorează granițele necunoscute ale Universului.

Nu a fost votat $0.00 Selectează opțiunile Acest produs are mai multe variații. Opțiunile pot fi alese în pagina produsului.

Moartea – Aspecte psihologice, ştiinţifice, religioase, culturale şi filozofice

O incursiune fascinantă în una dintre cele mai vechi teme care au captivat mintea umană.

Nu a fost votat $3.99 – $9.66 Selectează opțiunile Acest produs are mai multe variații. Opțiunile pot fi alese în pagina produsului.