Condiționale materiale în logica propozițională

Până acum, am învățat cum să traducem și să construim tabele de adevăr pentru trei conectivități funcționale ale adevărului. Cu toate acestea, există încă un conectiv funcțional de adevăr  pe care nu l-am învățat încă: condiționalul. (2) Expresia care este cel mai des utilizată pentru a exprima afirmații condiționate este „dacă… atunci”. De exemplu,

Dacă plouă atunci pământul este umed.

Ca și conjuncțiile și disjuncțiile, condiționalele conectează două propoziții atomice. Există două propoziții atomice în condiționalul de mai sus:

Plouă.

Pământul este umed.

Propoziția care urmează după „dacă” se numește antecedentul condiționalului și propoziția care urmează după „atunci” se numește consecința condiționalului. Afirmația condițională de mai sus nu afirmă niciuna dintre aceste propoziții atomice. Mai degrabă, ne spune despre relația dintre ele. Să simbolizăm „plouă” ca „R” și „pământul este ud” ca „G.” Astfel, simbolizarea noastră a condiționalului de mai sus ar fi:

R ⸧ G

Simbolul „⸧” se numește „potcoavă” și reprezintă ceea ce se numește „condițional material”. Un condițional material este definit ca fiind adevărat în fiecare caz, cu excepția cazului în care antecedentul este adevărat și consecința este falsă. Mai jos este tabelul de adevăr pentru condiționalul material. Observați că, așa cum s-a menționat, există un singur scenariu în care numărăm falsul condiționat: atunci când antecedentul este adevărat și consecința este falsă.

p	q	p ⸧ q
A	A	A
A	F	F
F	A	A
F	F	A

Să vedem cum se aplică acest lucru condiționalului de mai sus, „dacă plouă, atunci pământul este umed”. La fel ca înainte, ne putem gândi la semnificația conectivelor funcționale ale adevărului întrebând dacă frazele care conțin acele conective ar fi adevărate sau false în cele patru scenarii posibile. Primele două sunt destul de ușoare. Dacă afirm condiționalul de mai sus „dacă plouă, atunci pământul este umed” atunci când plouă și pământul este umed (adică prima linie a tabelului de adevăr de mai jos), atunci afirmația condițională ar fi adevărată în acel scenariu . Cu toate acestea, dacă o afirm și plouă, dar pământul nu este umed (adică a doua linie a tabelului adevărului de mai jos), atunci afirmația mea s-a dovedit a fi falsă. De ce? Pentru că afirm că de fiecare dată când plouă, pământul este umed. Dar dacă plouă, dar pământul nu este umed, atunci acest scenariu este un contraexemplu al afirmației mele – arată că afirmația mea este falsă. Acum ia în considerare scenariul în care nu plouă, dar pământul este umed. Ar arăta acest scenariu că afirmația mea condițională este falsă? Nu. Motivul este că afirmația condițională R ⸧ G afirmă doar ceva despre ceea ce este cazul atunci când plouă. Deci, această afirmație condițională nu afirmă nimic despre acele scenarii în care nu plouă. Spune doar că, atunci când plouă, pământul este umed. Dar asta nu înseamnă că pământul nu ar putea fi umed din alte motive (de exemplu, un aspersor care udă iarba). Deci, semnificația condiționalului material ar trebui să ia în considerare o afirmație adevărată ori de câte ori antecedentul său este fals. Astfel, într-un scenariu în care nu plouă și nici pământul nu este umed (adică a patra linie a tabelului adevărului), afirmația condițională ar trebui să fie încă adevărată. Ar arăta faptul că o zi însorită și un teren uscat ar arăta că condiționalul R ⸧ G este fals? Desigur că nu! Astfel, după cum am văzut, condiționalul material este fals numai atunci când antecedentul este adevărat și consecința este falsă.

R	G	R ⸧ G
A	A	A
A	F	F
F	A	A
F	F	A

Uneori este util să ne gândim la condiționalul material ca regulă. De exemplu, să presupunem că spun cursanților mei:

Dacă promovați toate examenele, veți promova clasa.

Să simbolizăm „promovați toate examenele” ca „E” și „promovați clasa” ca „C.” Am simboliza atunci condiționalul ca:

E ⸧ C

În ce condiții s-ar arăta că afirmația mea E ⸧ C este falsă? Există patru scenarii posibile:

E	C	E ⸧ C
A	A	A
A	F	F
F	A	A
F	F	A

Să presupunem că promovați toate examenele și promovați clasa (primul rând). Asta ar confirma afirmația mea condițională E ⸧ C. Să presupunem, pe de altă parte, că, deși ați promovat toate examenele, nu ați promovat clasa (al doilea rând). Acest lucru ar fi în cazul în care declarația mea este falsă (și ați avea motive legitime de plângere!). Ce ziceți dacă nu promovați toate examenele și totuși promovați clasa (al treilea rând)? Afirmația mea permite acest lucru să fie adevărat și este important să vedem de ce. Când afirm E ⸧ C, nu afirm nimic despre situația în care E este fals. Pur și simplu spun că o modalitate de a promova clasa este prin promovarea tuturor examenelor; dar asta nu înseamnă că nu există alte modalități de promovare a clasei. În cele din urmă, luați în considerare cazul în care nu promovați toate examenele și, de asemenea, nu promovezi clasa (al patrulea rând). Din același motiv, acest scenariu este compatibil cu declarația mea adevărată. Astfel, din nou, vedem că un condițional material este fals într-o singură circumstanță: când antecedentul este adevărat și consecința este falsă.

Există și alte expresii care sunt utilizate în mod obișnuit pentru a exprima afirmații condiționate. Iată câteva moduri echivalente de exprimare a condiționalului, „dacă plouă, atunci pământul este umed”:

Plouă numai dacă pământul este umed

Pământul este umed dacă plouă

Doar dacă pământul este umed, plouă

Faptul că plouă implică faptul că pământul este umed

Faptul că plouă presupune că pământul este umed

Atâta timp cât plouă, pământul va fi umed

Întrucât plouă, pământul va fi umed

Pământul este umed, cu condiția să plouă

Oricând plouă, pământul este umed

Dacă plouă, pământul este umed

Toate aceste afirmații condiționate sunt simbolizate în același mod, și anume R ⸧ G. Antecedentul unei afirmații condiționale stabilește întotdeauna ceea ce logicienii numesc o condiție suficientă. O condiție suficientă este o condiție care este suficientă pentru a obține o altă stare. A spune că x este o condiție suficientă pentru y înseamnă că oricând x este prezent, y va fi astfel prezent. De exemplu, condiția suficientă pentru a muri este să fii decapitat; o condiție suficientă pentru a fi cetățean american să te naști în SUA. Consecința unei declarații condiționate stabilește întotdeauna o condiție necesară. O condiție necesară este o condiție care trebuie să fie prezentă pentru a obține o altă condiție. A spune că x este o condiție necesară pentru y înseamnă că dacă x nu ar fi prezent, nici y nu ar fi prezent. De exemplu, o condiție necesară pentru a fi președinte al SUA este să fii cetățean american; o condiție necesară pentru a avea un frate este să ai un frate sau soră. Observați, totuși, că a fi cetățean american nu este o condiție suficientă pentru a fi președinte și a avea un frate sau soră nu este o condiție suficientă pentru a avea un frate. La fel, a fi născut în SUA nu este o condiție necesară pentru a fi cetățean american (oamenii pot deveni „cetățeni naturalizați”), iar decapitarea nu este o condiție necesară pentru a muri (se poate muri fără a fi decapitat).

Exercițiu

Traduceți următoarele fraze în propoziții logice simbolice folosind constantele indicate. Asigurați-vă că scrieți care sunt propozițiile atomice. În unele cazuri, acest lucru va fi simplu, dar nu în toate cazurile. Nu uitați: propozițiile atomice nu conțin niciodată conectivități funcționale ale adevărului – și asta include și negarea! Notă: deși multe dintre aceste propoziții pot fi traduse folosind doar potcoava, altele necesită conectivități funcționale de adevăr altele decât potcoava.

1. Tigers vor câștiga numai dacă Indians vor pierde jucătorul lor de top. (T, I)
2. Tom va trece clasa cu condiția să își facă toate temele. (P, H)
3. Mașina va funcționa numai dacă are benzină. (R, G)
4. Faptul că mă întrebați despre nota dvs. implică faptul că vă pasă de nota dvs. (A, C)
5. Deși Frog va înota fără costum de baie, Toad va înota numai dacă poartă costum de baie. (F, T, B)
6. Dacă Obama nu este cetățean american, atunci eu sunt unchiul unei maimuțe. (O, M)
7. Deși Toad poartă costumul de baie, nu vrea ca Frog să-l vadă în el. (T, F)
8. Dacă Tom nu promovează examenul, atunci este fie prost fie leneș. (P, S, L)
9. Bekele va câștiga cursa atâta timp cât va rămâne sănătos. (W, H)
10. Dacă Bekele este fie bolnav, fie accidentat, nu va câștiga cursa. (S, I, W)
11. Bob va deveni președinte numai dacă va organiza o campanie bună și nu va spune nimic prost. (P, C, S)
12. Dacă planta are trei frunze, atunci este otrăvitoare. (T, P)
13. Faptul că planta este otrăvitoare implică faptul că are trei frunze. (T, P)
14. Planta este otrăvitoare doar dacă are trei frunze. (T, P)
15. Planta are trei frunze dacă este otrăvitoare. (T, P)
16. Olga va înota în apă deschisă atâta timp cât există o plasă de rechini. (PE)
17. Olga va înota în apă deschisă numai dacă există plasă de rechini. (PE)
18. Faptul că Olga înoată implică faptul că poartă un costum de baie. (O, B)
19. Dacă Olga este la Nisa, nu poartă costum de baie. (N, B)
20. Dacă Terrence îi trage de deget pe Philip, se va întâmpla ceva rău. (T, B)

Nota

(2) De fapt, există încă un conectiv funcțional de adevăr pe care nu îl vom învăța acum, și este ceea ce se numește „bicondițional” sau „echivalență materială”. Cu toate acestea, întrucât bicondiționalul este echivalent cu o conjuncție a două condiționale diferite, nu avem nevoie de el. Deși voi discuta echivalența materială mai târziu, nu o vom folosi în mod regulat.

Sursa: Matthew J. Van Cleave, Introduction to Logic and Critical Thinking, licența CC BY 4.0. Traducere și adaptare de Nicolae Sfetcu

© 2021 MultiMedia Publishing, Logica și gândirea critică în dezvoltarea personală, Volumul 1