Algebra vectorilor în două dimensiuni

Când vectorii se află într-un plan, adică atunci când sunt în două dimensiuni, ei pot fi înmulțiți cu scalari, adăugați la alți vectori sau scăzuți din alți vectori în conformitate cu legile generale exprimate prin ecuația 2.1, ecuația 2.2, ecuația 2.7. , și ecuația 2.8. Cu toate acestea, regula de adunare pentru doi vectori dintr-un plan devine mai complicată decât regula pentru adunare de vectori într-o singură dimensiune. Trebuie să folosim legile geometriei pentru a construi vectori rezultanți, urmată de trigonometrie pentru a găsi mărimile și direcțiile vectorului. Această abordare geometrică este utilizată în mod obișnuit în navigație (Figura 2.9). În această secțiune, trebuie să avem la îndemână două rigle, un triunghi, un raportor, un creion și o radieră pentru a desena vectori la scară după construcții geometrice.

(În navigație, legile geometriei sunt folosite pentru a desena deplasările rezultate pe hărțile nautice.)

Pentru o construcție geometrică a sumei a doi vectori dintr-un plan, respectăm regula paralelogramului. Să presupunem că doi vectori A⃗ și B⃗ se află în pozițiile arbitrare prezentate în Figura 2.10. Translatați oricare dintre ele în paralel cu începutul celuilalt vector, astfel încât, după translație, ambii vectori să aibă originile în același punct. Acum, la sfârșitul vectorului A⃗ trasăm o linie paralelă cu vectorul B⃗ iar la sfârșitul vectorului B⃗ trasăm o linie paralelă cu vectorul A⃗ (liniile întrerupte din Figura 2.10). În acest fel, obținem un paralelogram. Din originea celor doi vectori trasăm o diagonală care este rezultanta R⃗ a celor doi vectori: R⃗ = A⃗ + B⃗ (Figura 2.10(a)). Cealaltă diagonală a acestui paralelogram este diferența vectorială a celor doi vectori D⃗ = A⃗ − B⃗, așa cum se arată în Figura 2.10(b). Observați că sfârșitul vectorului diferență este plasat la sfârșitul vectorului A⃗ .

(Regula paralelogramului pentru adunarea a doi vectori. Faceți câte o translație paralelă a fiecărui vector într-un punct în care originile lor (marcate cu punct) coincid și construiți un paralelogram cu două laturi pe vectori și celelalte două laturi (indicate prin linii întrerupte) paralele cu vectorii. (a) Desenați vectorul rezultat R⃗ de-a lungul diagonalei paralelogramului de la punctul comun până la colțul opus. Lungimea R a vectorului rezultant nu este egală cu suma mărimilor celor doi vectori. (b) Desenați vectorul diferență D⃗ = A⃗ − B⃗ de-a lungul diagonalei care leagă capetele vectorilor. Plasați originea vectorului D⃗ la sfârșitul vectorului B⃗ și capătul (vârful săgeții) vectorului D⃗ la sfârșitul vectorului A⃗ . Lungimea D a vectorului diferență nu este egală cu diferența de mărimi a celor doi vectori.)

Din regula paralelogramului rezultă că nici mărimea vectorului rezultat, nici mărimea vectorului diferență nu pot fi exprimate ca o simplă sumă sau diferență de mărimi A și B, deoarece lungimea unei diagonale nu poate fi exprimată ca o simplă sumă a lungimi laterale. Când folosim o construcție geometrică pentru a găsi mărimile ∣R⃗∣ și ∣D⃗∣, trebuie să folosim legile trigonometriei pentru triunghiuri, ceea ce poate duce la o algebră complicată. Există două moduri de a ocoli această complexitate algebrică. O modalitate este de a folosi metoda componentelor, pe care o examinăm în secțiunea următoare. Cealaltă modalitate este să desenați vectorii la scară, așa cum se face în navigare, și să citiți lungimi și unghiuri (direcții) aproximative ale vectorului din grafice. În această secțiune examinăm a doua abordare.

Dacă trebuie să adăugăm trei sau mai mulți vectori, repetăm regula paralelogramului pentru perechile de vectori până când găsim rezultanta tuturor rezultatelor. Pentru trei vectori, de exemplu, găsim mai întâi rezultanta vectorului 1 și vectorului 2 și apoi găsim rezultanta acestei rezultante și vectorului 3. Ordinea în care selectăm perechile de vectori nu contează deoarece operația adunarea vectorilor este comutativă și asociativă (vezi ecuația 2.7 și ecuația 2.8). Înainte de a stabili o regulă generală care decurge din aplicațiile repetitive ale regulii paralelogramului, să ne uităm la următorul exemplu.

Să presupunem că plănuiești o excursie de vacanță în Florida. Plecând din Tallahassee, capitala statului, plănuiești să-ți vizitezi unchiul Joe în Jacksonville, să-l vezi pe vărul tău Vinny la Daytona Beach, să te oprești pentru a te distra puțin în Orlando, să vezi un spectacol de circ în Tampa și să vizitezi Universitatea din Florida din Gainesville. Ruta ta poate fi reprezentată de cinci vectori de deplasare A⃗ , B⃗ , C⃗ , D⃗ și E⃗, care sunt indicați de vectorii roșii din Figura 2.11. Care este deplasarea ta totală când ajungi la Gainesville? Deplasarea totală este suma vectorială a tuturor celor cinci vectori de deplasare, care poate fi găsită folosind regula paralelogramului de patru ori. Alternativ, amintiți-vă că vectorul deplasării are începutul în poziția inițială (Tallahassee) și sfârșitul în poziția finală (Gainesville), astfel încât vectorul deplasării totale poate fi desenat direct ca o săgeată care conectează Tallahassee cu Gainesville (vezi vectorul verde din Figura 2.11). Când folosim de patru ori regula paralelogramului, rezultanta R⃗ pe care o obținem este exact acest vector verde care leagă Tallahassee cu Gainesville: R⃗ = A⃗ + B⃗ + C⃗ + D⃗ + E⃗

(Când folosim regula paralelogramului de patru ori, obținem vectorul rezultat R⃗ = A⃗ + B⃗ + C⃗ + D⃗ + E⃗, care este vectorul verde care leagă Tallahassee de Gainesville.)

Desenarea vectorului rezultat al multor vectori poate fi generalizată utilizând următoarea construcție geometrică coadă-la-cap. Să presupunem că vrem să desenăm vectorul rezultant R⃗ a patru vectori A⃗ , B⃗ , C⃗ , și D⃗ (Figura 2.12(a)). Selectăm oricare dintre vectori ca prim vector și facem o translație paralelă a unui al doilea vector într-o poziție în care originea („coada”) celui de-al doilea vector coincide cu sfârșitul („capul”) primului vector. Apoi, selectăm un al treilea vector și facem o translație paralelă a celui de-al treilea vector într-o poziție în care originea celui de-al treilea vector coincide cu sfârșitul celui de-al doilea vector. Repetăm această procedură până când toți vectorii sunt într-un aranjament cap-coadă ca cel prezentat în Figura 2.12. Desenăm vectorul rezultat R⃗ conectând originea („coada”) primului vector cu capătul („sfârșitul”) ultimului vector. Sfârșitul vectorului rezultant este la sfârșitul ultimului vector. Deoarece adăugarea vectorilor este asociativă și comutativă, obținem același vector rezultat indiferent de vectorul pe care îl alegem să fie primul, al doilea, al treilea sau al patrulea în această construcție.

(Metoda coadă-la-cap pentru desenarea vectorului rezultat R⃗ = A⃗ + B⃗ + C⃗ + D⃗ . (a) Patru vectori de mărimi și direcții diferite. (b) Vectorii din (a) sunt translatați în noi poziții în care originea („coada”) unui vector se află la sfârșitul („capul”) altui vector. Vectorul rezultat este desenat de la originea („coada”) primului vector până la sfârșitul („capul”) ultimului vector din acest aranjament.)

EXEMPLUL 2.2

Construcția geometrică a rezultatului

Cei trei vectori de deplasare A⃗ , B⃗ și C⃗ din Figura 2.13 sunt specificați prin mărimile lor A = 10,0, B = 7,0 și, respectiv, C = 8,0 și prin unghiurile lor de direcție cu direcția orizontală α=35°, β= −110° și γ=30°. Unitățile fizice ale mărimilor sunt centimetri. Alegeți o scară convenabilă și folosiți o riglă și un raportor pentru a găsi următoarele sume vectoriale: (a) R⃗ = A⃗ + B⃗ , (b) D⃗ = A⃗ − B⃗ și (c) S⃗ = A⃗ − 3B⃗ + C⃗ .

(Vectorii utilizați în Exemplul 2.2 și în problema care urmează.)

Strategie

În construcția geometrică, a găsi un vector înseamnă a-i găsi mărimea și unghiul de direcție față de direcția orizontală. Strategia este să desenați pentru a scala vectorii care apar în partea dreaptă a ecuației și să construiți vectorul rezultat. Apoi, utilizați o riglă și un raportor pentru a citi mărimea rezultantei și unghiul de direcție. Pentru părțile (a) și (b) folosim regula paralelogramului. Pentru (c) folosim metoda coadă-la-cap.

Soluţie

Pentru părțile (a) și (b), atașăm originea vectorului B⃗ la originea vectorului A⃗, așa cum se arată în Figura 2.14, și construim un paralelogram. Diagonala mai scurtă a acestui paralelogram este suma A⃗ + B⃗ . Cea mai mare dintre diagonale este diferența A⃗ − B⃗ . Folosim o riglă pentru a măsura lungimile diagonalelor și un raportor pentru a măsura unghiurile cu orizontala. Pentru rezultatul R⃗ , obținem R = 5,8 cm și θ_R ≈ 0°. Pentru diferența D⃗ , obținem D = 16,2 cm și θ_D = 49,3°, care sunt prezentate în Figura 2.14.

(Folosind regula paralelogramului pentru a rezolva (a) (găsirea rezultantei, roșu) și (b) (găsirea diferenței, albastru).)

Pentru (c), putem începe cu vectorul −3B⃗ și tragem vectorii rămași coadă la cap, așa cum se arată în Figura 2.15. În plus, ordinea în care desenăm vectorii este neimportantă, dar desenarea vectorilor la scară este foarte importantă. Apoi, desenăm vectorul S⃗ de la originea primului vector până la sfârșitul ultimului vector și plasăm vârful săgeții la sfârșitul lui S⃗ . Folosim o riglă pentru a măsura lungimea lui S⃗ și aflăm că mărimea sa este S = 36,9 cm. Folosim un raportor și aflăm că unghiul său de direcție este θ_S = 52,9°. Această soluție este prezentată în Figura 2.15.

(Folosind metoda coadă-la-cap pentru a rezolva (c) (găsirea vectorului S⃗ , verde).)

PROBLEMA 2.3

Folosind cei trei vectori de deplasare A⃗ , B⃗ , și F⃗ din Figura 2.13, alegeți o scară convenabilă și folosiți o riglă și un raportor pentru a găsi vectorul G⃗ dat de ecuația vectorială G⃗ = A⃗ + 2B⃗ − F⃗ .