Algebra vectorilor în o dimensiune

Vectorii pot fi înmulțiți cu scalari, adăugați la alți vectori sau scăzuți din alți vectori. Putem ilustra aceste concepte vectoriale folosind un exemplu de excursie de pescuit vizualizată în Figura 2.6.

(Figura 2.6 Vectori de deplasare pentru o excursie de pescuit. (a) Oprirea pentru a vă odihni în punctul C în timp ce mergeți de la tabără (punctul A) la iaz (punctul B). (b) Întoarcerea pentru trusa de scule care i-a căzut (punctul D). (c) Finalizarea la iazul de pescuit.)

Să presupunem că prietenul tău pleacă din punctul A (zona de camping) și merge în direcția către punctul B (iazul de pescuit), dar, pe parcurs, se oprește să se odihnească într-un punct C situat la trei sferturi din distanța dintre A și B, începând cu punctul A (Figura 2.6(a)). Care este vectorul său de deplasare D_AC când atinge punctul C? Știm că dacă merge până la B, vectorul său de deplasare în raport cu A este D_AB, care are magnitudinea D_AB = 6 km și o direcție spre nord-est. Dacă parcurge doar o fracțiune de 0,75 din distanța totală, menținând direcția nord-est, în punctul C trebuie să fie la 0,75D_AB = 4,5 km distanță de campingul de la A. Deci, vectorul său de deplasare în punctul de repaus C are magnitudinea D_AC = 4,5 km = 0,75D_AB și este paralel cu vectorul deplasare D_AB. Toate acestea pot fi afirmate succint sub forma următoarei ecuații vectoriale:

D_AC = 0,75D_AB.

Într-o ecuație vectorială, ambele părți ale ecuației sunt vectori. Ecuația anterioară este un exemplu de vector înmulțit cu un scalar pozitiv (număr) α = 0,75. Rezultatul, D_AC, al unei astfel de înmulțiri este un vector nou cu o direcție paralelă cu direcția vectorului original D_AB.

În general, când un vector A este înmulțit cu un scalar pozitiv α, rezultatul este un nou vector B care este paralel cu A:

(2.1) B =αA

Mărimea ∣∣B∣∣ a acestui nou vector se obține prin înmulțirea mărimii ∣∣A∣∣ a vectorului original, exprimată prin ecuația scalară:

(2.2) B=|α|A

Într-o ecuație scalară, ambele părți ale ecuației sunt numere. Ecuația 2.2 este o ecuație scalară deoarece mărimile vectorilor sunt mărimi scalare (și numere pozitive). Dacă scalarul α este negativ în ecuația vectorială Ecuația 2.1, atunci mărimea ∣∣B∣∣ a noului vector este încă dată de ecuația 2.2, dar direcția noului vector B este antiparalelă cu direcția lui A . Aceste principii sunt ilustrate în Figura 2.7(a) prin două exemple în care lungimea vectorului A este de 1,5 unități. Când α = 2, noul vector B = 2A are lungimea B = 2A = 3,0 unități (de două ori mai mare decât vectorul original) și este paralel cu vectorul original. Când α = −2, noul vector C = −2A are lungimea C = |−2|A = 3,0 unități (de două ori mai mare decât vectorul original) și este antiparalel cu vectorul original.

(Figura 2.7 Algebra vectorilor în o dimensiune. (a) Înmulțirea cu un scalar. (b) Adunarea a doi vectori (R se numește rezultanta vectorilor A și B ). (c) Scăderea a doi vectori (D este diferența vectorilor A și B ).)

Acum să presupunem că prietenul tău de pescuit pleacă din punctul A (locul de campare), mergând în direcția către punctul B (locul de pescuit), dar își dă seama că i-a căzut trusa de scule când s-a oprit să se odihnească în punctul C (situat la trei sferturi din distanța dintre A și B, începând cu punctul A). Așadar, se întoarce în direcția spre camping și găsește trusa pe potecă la un punct D la doar 1,2 km distanță de punctul C (vezi Figura 2.6(b)). Care este vectorul său de deplasare D_AD când găsește caseta în punctul D? Care este vectorul lui de deplasare D_DB de la punctul D la punctul de pescuit? Am stabilit deja că în punctul de repaus C vectorul său de deplasare este D_AC = 0,75D_AB. Începând din punctul C, merge spre sud-vest (spre camping), ceea ce înseamnă că noul său vector de deplasare D_CD de la punctul C la punctul D este antiparalel cu D_AB. Mărimea sa ∣∣D_CD∣∣ este D_CD = 1,2 km = 0,2D_AB, deci al doilea vector al său de deplasare este D_CD = −0,2D_AB. Deplasarea lui totală D_AD în raport cu locul de campare este suma vectorială a celor doi vectori de deplasare: vectorul D_AC (de la locul de campare la punctul de odihnă) și vectorul D_CD (de la punctul de repaus până la punctul în care își găsește cutia):

(2.3) D_AD = D_AC + D_CD

Suma vectorială a doi (sau mai mulți) vectori se numește vector rezultant sau, pe scurt, rezultantă. Când vectorii din partea dreaptă a ecuației 2.3 sunt cunoscuți, putem găsi rezultanta D_AD după cum urmează:

(2.4) D_AD = D_AC + D_CD = 0,75 D_AB − 0,2 D_AB = (0,75 − 0,2) D_AB = 0,55D_AB

Când prietenul tău ajunge în sfârșit la iaz de la B, vectorul său de deplasare D_AB din punctul A este suma vectorială a vectorului său de deplasare D_AD de la punctul A la punctul D și a vectorului său de deplasare D_DB de la punctul D la punctul de pescuit: D_AB = D_AD + D_DB (vezi Figura 2.6(c)). Aceasta înseamnă că vectorul său de deplasare D_DB este diferența dintre doi vectori:

(2.5) D_DB = D_AB − D_AD = D_AB + (−D_AD)

Observați că o diferență a doi vectori nu este altceva decât o sumă vectorială a doi vectori deoarece al doilea termen din ecuația 2.5 este vector −D_AD (care este antiparalel cu D_AD). Când înlocuim ecuația 2.4 în ecuația 2.5, obținem al doilea vector de deplasare:

(2.6) D_DB = D_AB − D_AD = D_AB − 0,55D_AB = (1,0 − 0,55)D_AB = 0,45D_AB

Acest rezultat înseamnă că prietenul tău a mers D_DB = 0,45D_AB = 0.45(6,0 km) = 2,7 km de la punctul în care își găsește trusa până la punctul de pescuit.

Când vectorii A și B se află de-a lungul unei linii (adică într-o singură dimensiune), ca în exemplul de campare, rezultanta lor R = A + B și diferența lor D = A − B se află ambele de-a lungul aceleiași direcții. Putem ilustra adăugarea sau scăderea vectorilor desenând vectorii corespunzători la scară în o dimensiune, așa cum se arată în Figura 2.7.

Pentru a ilustra rezultanta atunci când A și B sunt doi vectori paraleli, îi desenăm de-a lungul unei linii, plasând originea unui vector la sfârșitul celuilalt vector în mod cap-coadă (vezi Figura 2.7(b)). Mărimea acestei rezultante este suma mărimilor lor: R = A + B. Direcția rezultantei este paralelă cu ambii vectori. Când vectorul A este antiparalel cu vectorul B, le desenăm de-a lungul unei linii fie în mod cap la cap (Figura 2.7(c)), fie în mod coadă la coadă. Mărimea diferenței vectoriale este, deci, valoarea absolută D = |A − B| a diferenţei de mărimi ale acestora. Direcția vectorului de diferență D este paralelă cu direcția vectorului mai lung.

În general, în o singură dimensiune, precum și în dimensiuni mai mari, cum ar fi într-un plan sau în spațiu, putem adăuga orice număr de vectori și putem face acest lucru în orice ordine, deoarece adunarea vectorilor este comutativă,

(2.7) A + B = B + A

și asociativă,

(2.8) (A + B) + C = A + (B + C)

În plus, înmulțirea cu un scalar este distributivă:

(2.9) α₁A + α₂ A = (α₁+α₂) A

Am folosit proprietatea distributivității din ecuația 2.4 și ecuația 2.6.

Când adăugați mai mulți vectori într-o dimensiune, este convenabil să folosiți conceptul de vector unitar. Un vector unitar, care este notat printr-o literă simbol cu o pălărie, cum ar fi uˆ, are o mărime de unu și nu are nicio unitate fizică, astfel încât |uˆ| ≡ u = 1. Singurul rol al unui vector unitar este de a specifica direcția. De exemplu, în loc să spunem că vectorul D_AB are o magnitudine de 6,0 km și o direcție nord-est, putem introduce un vector unitar uˆ care indică spre nord-est și să spunem succint că D_AB = (6,0 km)uˆ. Atunci direcția sud-vest este dată pur și simplu de vectorul unitar −uˆ. În acest fel, deplasarea de 6,0 km în direcția sud-vest este exprimată prin vectorul

D_BA = (−6,0 km)uˆ.

EXEMPLUL 2.1

Plimbarea unei gărgărițe

Un băț de măsurat lung se sprijină pe un perete într-un laborator de fizică, cu capătul său la 200 cm pe podea. O gărgăriță aterizează pe marcajul de 100 cm și se târăște la întâmplare de-a lungul bățului. Mai întâi merge 15 cm spre podea, apoi merge 56 cm în sus spre perete, apoi merge din nou 3 cm spre podea. Apoi, după o scurtă oprire, continuă timp de 25 cm spre podea și apoi, din nou, se târăște în sus 19 cm spre perete înainte de a se odihni complet (Figura 2.8). Găsiți vectorul deplasării sale totale și al poziției sale finale de repaus pe băț.

Strategie

Dacă alegem direcția de-a lungul bățului către podea ca direcție a vectorului unitar uˆ, atunci direcția către podea este +uˆ și direcția către perete este −uˆ. Gărgărița face un total de cinci deplasări:

D₁ = (15 cm) (+uˆ),

D₂ = (56 cm)(− uˆ),

D₃ = (3 cm)(+ uˆ),

D₄ = (25 cm)(+ uˆ), și

D₅ = (19 cm)(− uˆ).

Deplasarea totală D este rezultanta tuturor vectorilor săi de deplasare.

(Figura 2.8 Cinci deplasări ale gărgăriței. Rețineți că în acest desen schematic, mărimile deplasărilor nu sunt desenate la scară. (Credit „ladybug”: modificarea lucrării „Persian Poet Gal”/Wikimedia Commons. Traducere Nicolae Sfetcu)(

Soluţie

Rezultanta tuturor vectorilor de deplasare este

D = D₁ + D₂ + D₃ + D₄ + D₅

= (15 cm)(+uˆ) + (56 cm)(− uˆ) + (3 cm) (+uˆ) + (25 cm)(+ uˆ) + (19 cm)(− uˆ)

= (15 – 56 + 3 + 25−19)cm uˆ

= −32 cm uˆ.

În acest calcul, folosim legea distributivă dată de ecuația 2.9. Rezultatul arată că vectorul de deplasare totală se îndepărtează de marcajul de 100 cm (locul de aterizare inițial) spre capătul bățului care atinge peretele. Capătul care atinge peretele este marcat cu 0 cm, deci poziția finală a gărgăriței este la marcajul (100 – 32) cm = 68 cm.

PROBLEMA 2.2

Un scafandru de peșteră intră într-un tunel lung subacvatic. Când deplasarea ei față de punctul de intrare este de 20 m, ea scăpă din greșeală camera, dar nu observă că lipsește până când ajunge la aproximativ 6 m în tunel. Ea înoată înapoi 10 m, dar nu găsește camera, așa că decide să încheie scufundarea. Cât de departe este de punctul de intrare? Luând direcția pozitivă din tunel, care este vectorul ei de deplasare în raport cu punctul de intrare?

CLIC AICI PENTRU RĂSPUNS

Sursa: Physics, University Physics (OpenStax), acces gratuit sub licență CC BY 4.0. Traducere și adaptare de Nicolae Sfetcu