Argumente în filosofia matematicii

Argumentul indispensabil pentru realism

Acest argument, asociat cu Willard Quine și Hilary Putnam, este considerat de Stephen Yablo drept unul dintre cele mai provocatoare argumente în favoarea acceptării existenței unor entități matematice abstracte, precum numerele și seturile. Forma argumentului este următoarea.

1. Trebuie să avem angajamente ontologice față de toate entitățile care sunt indispensabile celor mai bune teorii științifice și numai pentru acele entități (denumite în mod obișnuit „toate și numai”).
2. Entitățile matematice sunt indispensabile celor mai bune teorii științifice. Prin urmare,
3. Trebuie să avem angajamente ontologice cu entitățile matematice.

Justificarea primei premise este cea mai controversată. Atât Putnam, cât și Quine invocă naturalismul pentru a justifica excluderea tuturor entităților non-științifice și, prin urmare, pentru a apăra partea „numai” din „toate și numai”. Afirmația conform căreia „toate” entitățile postulate în teoriile științifice, inclusiv numerele, ar trebui să fie acceptate, întrucât este reală, este justificată de holismul de confirmare. Întrucât teoriile nu sunt confirmate în mod fragmentar, ci în ansamblu, nu există nicio justificare pentru excluderea oricăreia dintre entitățile menționate în teoriile bine confirmate. Aceasta îl pune pe nominalistul care dorește să excludă existența seturilor și geometriei non-euclidiene, dar să includă existența unor cuarci și a altor entități nedetectabile ale fizicii, de exemplu, într-o poziție dificilă.

Argumentul epistemic împotriva realismului

„Argumentul epistemic” anti-realist împotriva platonismului a fost dezvoltat de Paul Benacerraf și Hartry Field. Platonismul susține că obiectele matematice sunt entități abstracte. Prin acord general, entitățile abstracte nu pot interacționa cauzal cu entități concrete, fizice („valorile de adevăr ale afirmațiilor noastre matematice depind de fapte care implică entități platonice care se află într-un tărâm în afara spațiu-timpului”). În timp ce cunoștințele noastre despre obiecte concrete, fizice se bazează pe capacitatea noastră de a le percepe și, prin urmare, de a interacționa cauzal cu ele, nu există nicio relatare paralelă despre modul în care matematicienii au cunoștință despre obiecte abstracte. Un alt mod de a merge pe această idee este că, dacă lumea platonică ar dispărea, nu ar face nicio diferență în capacitatea matematicienilor de a genera dovezi etc., care este deja pe deplin responsabilă în ceea ce privește procesele fizice din creierul lor.

Field și-a dezvoltat opiniile în ficționalism. De asemenea, Benacerraf a dezvoltat filozofia structuralismului matematic, conform căruia nu există obiecte matematice. Cu toate acestea, unele versiuni ale structuralismului sunt compatibile cu unele versiuni ale realismului.

Argumentul se bazează pe ideea că un cont naturalist satisfăcător al proceselor de gândire în termeni de procese cerebrale poate fi dat pentru raționament matematic împreună cu orice altceva. O linie de apărare este de a menține că aceasta este falsă, astfel încât raționamentul matematic folosește o intuiție specială care implică contact cu tărâmul platonic. Sir Roger Penrose oferă o formă modernă a acestui argument.

O altă linie de apărare este de a susține că obiectele abstracte sunt relevante pentru raționamentul matematic într-un mod care nu este cauzal și nu este analog cu percepția. Acest argument este dezvoltat de Jerrold Katz în cartea sa din 2000, Rationalismul realist.

O apărare mai radicală este negarea realității fizice, adică ipoteza universului matematic. În acest caz, cunoștințele unui matematician despre matematică sunt un obiect matematic care face contact cu altul.

Estetică

Mulți matematicieni practicanți au fost atrași de subiectul lor din cauza unui sentiment de frumusețe pe care îl percep în el. Uneori, auzim sentimentul că matematicienii ar dori să lase filozofia filozofilor și să revină la matematică – unde se află, probabil, frumusețea.

În lucrarea sa asupra proporției divine, H. E. Huntley relatează sentimentul de a citi și de a înțelege demonstrația altcuiva a unei teoreme a matematicii asemănător cu cel a unui telespectator al unei capodopere de artă – cititorul unei demonstrații are un sentiment similar de bucurie la înțelegere la fel ca autorul original al demonstrației, susține el, tot așa cum spectatorul unei capodopere are un sentiment de bucurie similar cu pictorul sau sculptorul inițial. Într-adevăr, se pot studia scrierile matematice și științifice ca literatură.

Philip J. Davis și Reuben Hersh au comentat că sentimentul frumuseții matematice este universal în rândul matematicienilor practicanți. Ca exemplu, aceștia furnizează două demonstrații ale iraționalității lui √2. Prima este dovada tradițională prin contradicție, atribuită lui Euclid; a doua este o dovadă mai directă care implică teorema fundamentală a aritmeticii care, susțin ei, ajunge la miezul problemei. Davis și Hersh susțin că matematicienii consideră că a doua demonstrație este mai atrăgătoare din punct de vedere estetic, deoarece se apropie de natura problemei.

Paul Erdős era bine cunoscut pentru noțiunea sa a unei „Cărți” ipotetice care conține cele mai elegante sau frumoase demonstrații matematice. Nu există un acord universal potrivit căruia un rezultat are o demonstrație „cea mai elegantă”; Gregory Chaitin a argumentat împotriva acestei idei.

Filozofii au criticat uneori sentimentul de frumusețe sau eleganță al matematicienilor ca fiind, în cel mai bun caz, declarat vag. Totodată, filosofii matematicii au căutat să caracterizeze ceea ce face ca o demonstrație să fie mai de dorit decât alta, când ambele sunt logice.

Un alt aspect al esteticii în ceea ce privește matematica este opinia matematicienilor față de posibilele utilizări matematicii în scopuri considerate neetice sau inadecvate. Cea mai cunoscută expunere a acestei păreri apare în cartea lui  G. H. Hardy, A Mathematician’s Apology, în care Hardy susține că matematica pură este superioară în frumusețe matematicii aplicate tocmai pentru că nu poate fi folosită pentru război și scopuri similare.