Cei șase pioni

Formula generală pentru șase pioni de pe toate pătratele mai mari de 2² este aceasta: de șase ori pătratul numărului combinărilor de n lucruri luate câte trei, unde n reprezintă numărul de pătrate pe latura tablei de șah. Desigur, dacă n este par pătratele neocupate din rânduri și coloane vor fi pare, și dacă n este impar, numărul pătratelor va fi impar. Aici n este 8, deci răspunsul este de 18.816 moduri diferite.

Pentru a explica o metodă de rezolvare care va fi ușor de înțeles de novice, în primul rând este evident că dacă punem un pion pe orice linie, trebuie să punem un al doilea pion în acea linie pentru ca restul să fie par la număr. Nu putem pune patru sau șase în niciun rând fără a face imposibil să obținem un număr par în toate coloanele cu care interferează. Prin urmare, trebuie să punem câte două pioni în trei rânduri și în trei coloane. Acum, există doar șase scheme sau aranjamente care îndeplinesc aceste condiții, iar acestea sunt prezentate în diagramele A până la F, inclusiv.

Voi remarca doar că A și B sunt singurele aranjamente distincte, pentru că, dacă îi dai lui A o răsucire la 90 grade obții F; și dacă răsucești B cu 270 grade în sensul acelor de ceasornic vei obține succesiv C, D și E. Indiferent cum ai plasa cei șase pioni, dacă ai respectat condițiile puzzle-ului. va intra sub unul dintre aceste aranjamente. Desigur, se va înțelege că simplele expansiuni nu distrug caracterul esențial al aranjamentelor. Astfel G este doar o expansiune a formei A. Soluția constă, așadar, în găsirea numărului acestor expansiuni. Presupunem că limităm operațiunile noastre în primele trei rânduri, ca în G, apoi cu perechile a și b plasate în prima și a doua coloană, perechea c poate fi dispusă în oricare dintre cele șase coloane rămase, și astfel să oferim șase soluții. Acum glisați perechea b în a treia coloană și există cinci poziții posibile pentru c. Glisați b în a patra coloană, și c poate produce patru soluții noi. Și așa mai departe, până când (lăsând încă a în prima coloană) veți avea b în a șaptea coloană și există un singur loc pentru c – în a opta coloană. Apoi, puteți pune a în coloana a doua, b în a treia și c în a patra și să începeți să glisați c și b ca înainte pentru o altă serie de soluții.

Constatăm astfel că, folosind forma A doar și limitând operațiunile noastre pe cele trei rânduri de sus, obținem un număr de răspunsuri egal cu combinările de 8 luate câte 3. Acesta este (8 × 7 × 6) / (1 × 2 × 3) = 56. Și imediat va vedea cititorul că, dacă există 56 de moduri diferite de alegere a coloanelor, trebuie să existe pentru fiecare din aceste moduri exact 56 modalități de selectare a rândurilor, pentru că putem lucra simultan acea „glisare” în jos până în partea de jos exact în același mod în care am lucrat de la stânga la dreapta. Prin urmare, numărul total de modalități prin care se poate aplica forma A este de 56 × 6 = 3.136. Există, așa cum am văzut, șase aranjamente și nu ne-am ocupat decât de una dintre acestea, A. Prin urmare, trebuie să înmulțim acest rezultat cu 6, ceea ce ne oferă 3.136 × 6 = 18.816, care este numărul total de moduri, așa cum am spus deja.