Cele opt vile

de Nicolae Sfetcu | postat în: Amuzamente matematice | 0

Într-una din suburbiile de la periferia Bucureștiului, un constructor deținea un teren pătrat pe care a decis să construiască opt vile, așa cum se arată în ilustrație, cu un teren comun de recreere la mijloc. După ce casele au fost finalizate și vândute proprietarilor, a descoperit că numărul de ocupanți din cele trei case care formează fiecare latură a pătratului este în fiecare caz nouă. El nu a precizat modul în care au fost repartizați ocupanții, dar am arătat prin numerele de pe laturile caselor un fel în care s-ar fi putut întâmpla. Puzzle-ul este să descoperi numărul total de modalități în care toate casele sau oricare dintre case ar putea fi ocupate, astfel încât să fie nouă persoane pe fiecare latură. Pentru a nu exista nicio neînțelegere, voi explica faptul că, deși B este ceea ce numim o reflecție a lui A, acestea ar fi considerate două aranjamente diferite, în timp ce C, dacă este întoarsă, va oferi patru aranjamente; și dacă se întoarce în fața unei oglinzi, alte patru aranjamente. Toate cele opt variante trebuie numărate.

Există mai multe moduri de rezolvare a puzzle-ului, dar există foarte puține diferențe între ele. Totuși, trebuie să ții cont de faptul că, pentru a face calculele, trebuie să iei în considerare doar cele patru vile din colțuri, deoarece vilele intermediare nu pot varia niciodată atunci când sunt cunoscute colțurile. O modalitate este să așezi numerele de la zero la 9pe rând în colțul din stânga sus și apoi să iei în considerare fiecare caz pe rând.

Acum, dacă plasăm 9 în colț, așa cum este arătat în diagrama A, două dintre colțuri nu pot fi ocupate, în timp ce colțul care este în diagonală opusă poate fi umplut cu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 , 8 sau 9 persoane. Vedem astfel că există 10 soluții cu un 9 în colț. Dacă înlocuim cu 8, cele două colțuri din același rând și coloană pot conține 0, 0 sau 1, 1 sau 0, 1 sau 1, 0. În cazul B, se pot face zece selecții diferite pentru al patrulea colț; dar în fiecare dintre cazurile C, D și E sunt posibile doar nouă selecții, deoarece nu putem folosi 9. Prin urmare, cu 8 în colțul din stânga sus există 10 + (3 × 9) = 37 soluții diferite. Dacă apoi folosim 7 în colț, rezultatul va fi 10 + 27 + 40, sau 77 de soluții. Cu 6 obținem 10 + 27 + 40 + 49 = 126; cu 5, 10 + 27 + 40 + 49 + 54 = 180; cu 4, la fel ca cu 5, + 55 = 235; cu 3, la fel ca cu 4, + 52 = 287; cu 2, la fel ca cu 3, + 45 = 332; cu 1, la fel ca cu 2, + 34 = 366, și cu nimic în colțul din stânga sus, numărul de soluții va fi de 10 + 27 + 40 + 49 + 54 + 55 + 52 + 45 + 34 + 19 = 385. Cum nu există niciun alt număr care să fie plasat în colțul din stânga sus, trebuie acum doar să adăugăm aceste totaluri astfel, 10 + 37 + 77 + 126 + 180 + 235 + 287 + 332 + 366 + 385 = 2.035. Prin urmare, descoperim că numărul total de modalități prin care locatarii pot ocupa unele sau toate cele opt vile, astfel încât să existe întotdeauna nouă persoane care locuiesc de-a lungul fiecărei laturi a pătratului este de 2.035. Desigur, această metodă trebuie să acopere în mod evident toate inversările și reflecțiile, deoarece fiecare colț la rândul său este ocupat de fiecare număr în toate combinațiile posibile cu celelalte două colțuri care sunt în conformitate cu acesta.

Iată o formulă generală pentru rezolvarea puzzle-ului: (n² + 3n + 2) (n² + 3n + 3)/6. Oricare ar fi numărul de rezidenți stabiliți de-a lungul fiecărei laturi (care este reprezentat cu n), se poate calcula numărul total de aranjamente diferite. În cazul nostru particular numărul de rezidenți a fost de nouă. Prin urmare (81 + 27 + 2) × (81 + 27 + 3) și produsul, împărțit la 6, dă 2.035. Dacă numărul de rezidenți ar fi fost 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 sau 8, aranjamentele totale ar fi 1, 7, 26, 70, 155, 301, 532, 876, respectiv 1.365 .