Problema matematică a cuplurilor căsătorite

Diferitele probleme de combinatorică și grupuri ar putea fi numite probleme de „geometria situației”, însă soluția lor depinde într-adevăr de teoria combinărilor care, la rândul său, derivă direct din teoria permutărilor. Este interesant de făcut câteva remarci pe marginea unei probleme bine cunoscute din aceeași clasă, cunoscută de francezi ca La Problême des Ménages (Problema cuplurilor căsătorite). Dacă n doamne căsătorite sunt așezate la o masă rotundă în orice ordine determinată, în câte moduri pot fi plasați cei n soți ai lor, astfel încât fiecare om să fie între două doamne, dar niciunul lângă soția sa?

Această problemă dificilă a fost rezolvată mai întâi de Laisant, iar metoda prezentată în următorul tabel se datorează lui Moreau:

Prima coloană arată numărul de cupluri căsătorite. Numerele din a doua coloană sunt obținute astfel: 5 × 3 + 0 – 2 = 13; 6 × 13 + 3 + 2 = 83; 7 × 83 + 13 – 2 = 592; 8 x 592 + 83 + 2 = 4821; și așa mai departe. Găsiți toate numerele, cu excepția lui 2, în tabel, și metoda va fi evidentă. Se va remarca faptul că numărul 2 este scăzut când primul număr (numărul de cupluri) este impar și adăugat atunci când numărul este par. Numerele din a treia coloană sunt obținute astfel: 13 – 0 = 13; 83 – 3 = 80; 592 – 13 = 579; 4821 – 83 = 4738; și așa mai departe. Numerele din această ultimă coloană oferă soluțiile necesare. Astfel, patru cupluri pot fi așezate în două moduri, cinci cupluri pot fi plasate în treisprezece moduri și șase cupluri în optzeci de moduri.

Următoarea metodă, a lui Lucas, va arăta modul remarcabil în care analiza de șah poate fi aplicată soluției unei probleme circulare de acest tip. Împărțiți un pătrat în treizeci și șase de celule, șase pe șase, și scoateți toate celulele de pe diagonala lungă din colțul din stânga jos în colțul din dreapta sus, și cele cinci celule din diagonală de deasupra ei și celula din colțul din dreapta jos. Răspunsul pentru șase cupluri va fi același cu numărul de modalități prin care puteți plasa șase ture de șah (fără a utiliza celulele anulate) astfel încât nicio tură să nu poată ataca nicio altă tură. Se va constata că cele șase ture pot fi plasate în optzeci de moduri diferite, care sunt în acord cu tabelul de mai sus.

Traducere și adaptare de Nicolae Sfetcu, după ”Amusements in Mathematics”, de Henry Ernest Dudeney